Најважније из лекције
Кружни лук је део кружнице којем одговара тачно одређени централни угао.
Кључна формула: Дужина лука се рачуна по формули \( l = \frac{r\pi}{180} \cdot \alpha \).
Зависност: Дужина лука је директно пропорционална мери централног угла.
Пример из праксе: За \( r = 18 \text{ cm} \) и угао \( \alpha = 10^\circ \), дужина лука је \( l = \frac{18\pi}{180} \cdot 10 = \pi \text{ cm} \).
Кључна формула: Дужина лука се рачуна по формули \( l = \frac{r\pi}{180} \cdot \alpha \).
Зависност: Дужина лука је директно пропорционална мери централног угла.
Пример из праксе: За \( r = 18 \text{ cm} \) и угао \( \alpha = 10^\circ \), дужина лука је \( l = \frac{18\pi}{180} \cdot 10 = \pi \text{ cm} \).
Кружни лук је један од делова кружнице између две различите тачке те кружнице, укључујући и те тачке.
Сваком кружном луку одговара тачно један централни угао одговарајућег круга. Полупречник кружног лука једнак је полупречнику те кружнице.
Свакој тетиви кружнице одговарају два кружна лука те кружнице (јер тетива и лукови имају исте крајње тачке).
Кружни лук коме одговара централни угао мере \( 180^\circ \) назива се полукружница.
Ако две тачке деле кружницу на два једнака кружна лука, како се зову ти лукови и колики је њихов централни угао?
Одговор: Ти лукови се називају полукружнице, а централни угао који им одговара износи \( 180^\circ \).
Дужина кружног лука директно је пропорционална одговарајућем централном углу. Дужина полукружнице (угао \( 180^\circ \)) полупречника \( r \) износи \( r\pi \). Из тога следи да луку од \( 1^\circ \) одговара сто осамдесети део те дужине.
Дужина \( l \) кружног лука полупречника \( r \) коме одговара централни угао \( \alpha \) (изражен у степенима) рачуна се по формули:
\[ l = \frac{r\pi}{180} \cdot \alpha \]
Ако је полупречник кружнице \( r = 9 \text{ cm} \) и централни угао \( \alpha = 60^\circ \), дужина лука је:
\[ l = \frac{9\pi}{180} \cdot 60 \text{ cm} = \frac{9\pi}{3} \text{ cm} = 3\pi \text{ cm} \]
Израчунај полупречник кружнице \( r \) ако је дужина лука \( l = 5\pi \text{ cm} \), а одговарајући централни угао \( \alpha = 45^\circ \).
Користимо формулу за дужину лука:
\[ 5\pi = \frac{r\pi}{180} \cdot 45 \]
Скраћивањем \( 45 \) и \( 180 \) добијамо:
\[ 5\pi = \frac{r\pi}{4} \]
Множењем једначине са \( 4 \) следи:
\[ r\pi = 20\pi \implies r = 20 \text{ cm} \]
Када централни угао није цео број степени, већ садржи и минуте, најлакше је цео угао претворити у минуте. Како је \( 1^\circ = 60' \), угао од \( 180^\circ \) износи \( 180 \cdot 60' = 10800' \).
Ако је централни угао изражен укупно у минутима (\( \alpha' \)), формула за дужину лука гласи:
\[ l = \frac{r\pi}{10800} \cdot \alpha' \]
Израчунавање дужине лука за \( r = 48 \text{ mm} \) и угао \( 11^\circ 15' \):
Прво претварамо угао у минуте: \( 11 \cdot 60' + 15' = 660' + 15' = 675' \).
Затим примењујемо формулу: \[ l = \frac{48\pi}{10800} \cdot 675 \text{ mm} = 3\pi \text{ mm} \]
Прво претварамо угао у минуте: \( 11 \cdot 60' + 15' = 660' + 15' = 675' \).
Затим примењујемо формулу: \[ l = \frac{48\pi}{10800} \cdot 675 \text{ mm} = 3\pi \text{ mm} \]
Израчунај дужину лука полупречника \( 12 \text{ cm} \) коме одговара централни угао од \( 7^\circ 30' \).
Претварамо угао у минуте: \( 7 \cdot 60' + 30' = 420' + 30' = 450' \).
Примењујемо формулу: \[ l = \frac{12\pi}{10800} \cdot 450 \text{ cm} = \frac{12\pi \cdot 450}{10800} \text{ cm} = \frac{12\pi}{24} \text{ cm} = \frac{\pi}{2} \text{ cm} \] Одговор: Дужина лука је \( \frac{\pi}{2} \text{ cm} \).
Примењујемо формулу: \[ l = \frac{12\pi}{10800} \cdot 450 \text{ cm} = \frac{12\pi \cdot 450}{10800} \text{ cm} = \frac{12\pi}{24} \text{ cm} = \frac{\pi}{2} \text{ cm} \] Одговор: Дужина лука је \( \frac{\pi}{2} \text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај дужину кружног лука ако је полупречник кружнице \( r = 10 \text{ cm} \), а централни угао \( \alpha = 72^\circ \).
Примењујемо основну формулу:
\[ l = \frac{r\pi}{180} \cdot \alpha \]
\[ l = \frac{10\pi}{180} \cdot 72 = \frac{10\pi}{180:72} = \frac{10\pi}{2,5} = 4\pi \text{ cm} \]
(или краће: скратимо \( 72 \) и \( 180 \) са \( 36 \), добијамо \( \frac{2}{5} \), па је \( 10\pi \cdot \frac{2}{5} = 4\pi \)).
Одговор: \( l = 4\pi \text{ cm} \).
Одговор: \( l = 4\pi \text{ cm} \).
Средњи: Колики је централни угао \( \alpha \) који одговара кружном луку дужине \( l = 4\pi \text{ cm} \), ако је полупречник кружнице \( r = 3 \text{ cm} \)?
Убацујемо познате вредности у формулу:
\[ 4\pi = \frac{3\pi}{180} \cdot \alpha \]
Скраћујемо \( 3 \) и \( 180 \):
\[ 4\pi = \frac{\pi}{60} \cdot \alpha \]
Множимо целу једначину са \( 60 \) и делимо са \( \pi \):
\[ 240 = \alpha \implies \alpha = 240^\circ \]
Одговор: Централни угао је \( 240^\circ \).
Одговор: Централни угао је \( 240^\circ \).
Тежак: Аутомобил се креће кружном путањом полупречника \( 16 \text{ m} \) под централним углом од \( 135^\circ \). Израчунај дужину пређеног пута \( s \). (За \( \pi \) узети приближну вредност \( 3,1 \)).
Пут \( s \) представља дужину кружног лука.
\[ s = \frac{16 \cdot \pi}{180} \cdot 135 \]
Уместо \( \pi \) пишемо \( 3,1 \) и скраћујемо \( 135 \) и \( 180 \) са \( 45 \):
\[ s = \frac{16 \cdot 3,1}{4} \cdot 3 = 4 \cdot 3,1 \cdot 3 = 12 \cdot 3,1 = 37,2 \text{ m} \]
Одговор: Дужина пређеног пута је \( 37,2 \text{ m} \).
Одговор: Дужина пређеног пута је \( 37,2 \text{ m} \).
