Најважније из лекције
- Формула: Површина круга се рачуна по формули \( P = r^2\pi \), где је \( r \) полупречник.
- Мерне јединице: Површина се увек изражава у квадратним јединицама (нпр. \( \text{cm}^2, \text{m}^2, \text{km}^2 \)).
- Пропорционалност: Ако се полупречник круга повећа \( n \) пута, његова површина се повећава \( n^2 \) пута.
- Уписани/описани кругови: За одређивање површине кругова везаних за многоуглове, кључно је пронаћи везу између полупречника и елемената многоугла (нпр. дијагонала правоугаоника, висина ромба), често коришћењем Питагорине теореме.
Површина круга се може замислити тако што се круг подели на велики број кружних исечака. Ако се ти исечци пресложе, формирају фигуру сличну паралелограму чија је висина једнака полупречнику \( r \), а основица једнака половини обима круга \( (r\pi) \).
\[ P = r^2\pi \]
\( P \) – површина круга, \( r \) – полупречник круга, \( \pi \) – математичка константа (приближно 3,14)
Ако је полупречник круга \( r = 3 \text{ cm} \), његова површина је:
\( P = 3^2 \cdot \pi \text{ cm}^2 = 9\pi \text{ cm}^2 \)
\( P = 3^2 \cdot \pi \text{ cm}^2 = 9\pi \text{ cm}^2 \)
Израчунај површину круга чији је полупречник \( r = 6 \text{ cm} \).
Користимо формулу за површину:
\( P = r^2\pi \)
\( P = 6^2 \cdot \pi \)
Одговор: \( P = 36\pi \text{ cm}^2 \)
\( P = r^2\pi \)
\( P = 6^2 \cdot \pi \)
Одговор: \( P = 36\pi \text{ cm}^2 \)
Ако нам је позната површина круга, дужину његовог полупречника можемо израчунати решавањем једначине по непознатој \( r \).
Ако је површина круга \( P = 25\pi \text{ cm}^2 \), полупречник рачунамо на следећи начин:
\( r^2\pi = 25\pi \text{ cm}^2 \) (делимо обе стране са \( \pi \))
\( r^2 = 25 \text{ cm}^2 \)
\( r = 5 \text{ cm} \)
\( r^2\pi = 25\pi \text{ cm}^2 \) (делимо обе стране са \( \pi \))
\( r^2 = 25 \text{ cm}^2 \)
\( r = 5 \text{ cm} \)
Површина круга износи \( 81\pi \text{ cm}^2 \). Колика је дужина његовог полупречника?
\( r^2\pi = 81\pi \)
\( r^2 = 81 \)
\( r = \sqrt{81} \)
Одговор: \( r = 9 \text{ cm} \)
\( r^2 = 81 \)
\( r = \sqrt{81} \)
Одговор: \( r = 9 \text{ cm} \)
У задацима са површином често се сусрећемо са круговима који су уписани или описани око правилних многоуглова, правоугаоника или ромбова. Да бисмо израчунали њихову површину, прво морамо одредити полупречник \( r \).
- Правоугаоник (описани круг): Полупречник \( R \) је једнак половини дијагонале правоугаоника (\( R = \frac{d}{2} \)).
- Ромб (уписани круг): Полупречник \( r \) је једнак половини висине ромба (\( r = \frac{h}{2} \)).
Израчунај површину круга уписаног у ромб чија је висина \( h = 8 \text{ cm} \).
Полупречник уписаног круга је половина висине:
\( r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \)
Површина круга је:
\( P = 4^2\pi \)
Одговор: \( P = 16\pi \text{ cm}^2 \)
\( r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \)
Површина круга је:
\( P = 4^2\pi \)
Одговор: \( P = 16\pi \text{ cm}^2 \)
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Антена предајника радио-станице има домет \( 10 \text{ km} \). Колика је приближна вредност површине регије у којој се може чути та радио-станица? (Узми \( \pi \approx 3,14 \)).
Површина регије облика круга полупречника \( r = 10 \text{ km} \).
\( P = r^2\pi \)
\( P \approx (10 \text{ km})^2 \cdot 3,14 \)
\( P \approx 100 \cdot 3,14 = 314 \text{ km}^2 \)
Одговор: Приближна површина је \( 314 \text{ km}^2 \).
\( P = r^2\pi \)
\( P \approx (10 \text{ km})^2 \cdot 3,14 \)
\( P \approx 100 \cdot 3,14 = 314 \text{ km}^2 \)
Одговор: Приближна површина је \( 314 \text{ km}^2 \).
Средњи ниво: Површина круга \( K_1 \) је \( 16\pi \text{ cm}^2 \). Колика је површина круга \( K_2 \) чији је полупречник два пута већи од полупречника круга \( K_1 \)?
Прво рачунамо полупречник првог круга:
\( r_1^2\pi = 16\pi \Rightarrow r_1^2 = 16 \Rightarrow r_1 = 4 \text{ cm} \).
Полупречник другог круга је два пута већи:
\( r_2 = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \).
Површина другог круга је:
\( P_2 = r_2^2\pi = 8^2\pi = 64\pi \text{ cm}^2 \).
Напомена: Ако се полупречник повећа 2 пута, површина се повећа \( 2^2 = 4 \) пута.
\( r_1^2\pi = 16\pi \Rightarrow r_1^2 = 16 \Rightarrow r_1 = 4 \text{ cm} \).
Полупречник другог круга је два пута већи:
\( r_2 = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm} \).
Површина другог круга је:
\( P_2 = r_2^2\pi = 8^2\pi = 64\pi \text{ cm}^2 \).
Напомена: Ако се полупречник повећа 2 пута, површина се повећа \( 2^2 = 4 \) пута.
Тежи ниво: Израчунај разлику површина круга описаног око правоугаоника чије су странице \( a = 3 \text{ cm} \) и \( b = 4 \text{ cm} \) и круга уписаног у ромб чија је висина \( h = 2\sqrt{5} \text{ cm} \).
1. Круг описан око правоугаоника:
Дијагоналу \( d \) рачунамо Питагорином теоремом: \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \).
Полупречник \( R = \frac{d}{2} = 2,5 \text{ cm} \).
Површина: \( P_1 = 2,5^2\pi = 6,25\pi \text{ cm}^2 \).
2. Круг уписан у ромб:
Полупречник \( r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \text{ cm} \).
Површина: \( P_2 = (\sqrt{5})^2\pi = 5\pi \text{ cm}^2 \).
3. Разлика површина:
\( P_1 - P_2 = 6,25\pi - 5\pi = 1,25\pi \text{ cm}^2 \).
Дијагоналу \( d \) рачунамо Питагорином теоремом: \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \).
Полупречник \( R = \frac{d}{2} = 2,5 \text{ cm} \).
Површина: \( P_1 = 2,5^2\pi = 6,25\pi \text{ cm}^2 \).
2. Круг уписан у ромб:
Полупречник \( r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \text{ cm} \).
Површина: \( P_2 = (\sqrt{5})^2\pi = 5\pi \text{ cm}^2 \).
3. Разлика површина:
\( P_1 - P_2 = 6,25\pi - 5\pi = 1,25\pi \text{ cm}^2 \).
