Најважније из лекције
Основно правило: Када се множе степени са истим изложиоцима, основе се поможе, а изложилац остаје исти:
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]
Практична примена: Ово правило олакшава рачунање. На пример, уместо да рачунамо огромне бројеве одвојено, можемо их прво помножити: \( 0,2^3 \cdot 5^3 = (0,2 \cdot 5)^3 = 1^3 = 1 \).
Степен производа: Правило ради и уназад, где се сваки чинилац у загради степенује: \( (xy)^4 = x^4 \cdot y^4 \).
Степен производа: Правило ради и уназад, где се сваки чинилац у загради степенује: \( (xy)^4 = x^4 \cdot y^4 \).
Производ степена једнаких изложилаца јесте степен чија је основа једнака производу основа чинилаца, а изложилац једнак изложиоцима чинилаца.
За \( a, b \in \mathbb{R} \) и \( n \in \mathbb{N} \) важи:
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]
Израчунавање производа:
\( 2^3 \cdot 7^3 = (2 \cdot 7)^3 = 14^3 \)
\( 0,001^3 \cdot (-1000)^3 = (0,001 \cdot (-1000))^3 = (-1)^3 = -1 \)
\( 2^3 \cdot 7^3 = (2 \cdot 7)^3 = 14^3 \)
\( 0,001^3 \cdot (-1000)^3 = (0,001 \cdot (-1000))^3 = (-1)^3 = -1 \)
Израчунај вредност израза: \( (-4)^3 \cdot (-0,5)^3 \).
Примењујемо правило множења степена једнаких изложилаца:
\( (-4)^3 \cdot (-0,5)^3 = ((-4) \cdot (-0,5))^3 = 2^3 = 8 \)
\( (-4)^3 \cdot (-0,5)^3 = ((-4) \cdot (-0,5))^3 = 2^3 = 8 \)
Правило за множење степена једнаких изложилаца важи и у обрнутом смеру. Степен производа једнак је производу степена чинилаца.
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]
Примена на изразе са коренима и разломцима:
\( (2 \cdot \sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4 = 16 \cdot (\sqrt{5}^2)^2 = 16 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400 \)
\( (\frac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3}))^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (-\sqrt{3})^3 = \frac{1}{27} \cdot (-3\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{9} \)
\( (2 \cdot \sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4 = 16 \cdot (\sqrt{5}^2)^2 = 16 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400 \)
\( (\frac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3}))^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (-\sqrt{3})^3 = \frac{1}{27} \cdot (-3\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{9} \)
Упрости израз: \( (-2x)^4 \).
Степен производа записујемо као производ степена:
\( (-2x)^4 = (-2)^4 \cdot x^4 = 16x^4 \)
\( (-2x)^4 = (-2)^4 \cdot x^4 = 16x^4 \)
За множење више од два степена једнаких изложилаца користе се својство комутативности (\(a \cdot b = b \cdot a\)) и својство асоцијативности (\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)) множења реалних бројева.
Ово значи да важи: \( a^n \cdot b^n \cdot c^n = (a \cdot b \cdot c)^n \).
Ово значи да важи: \( a^n \cdot b^n \cdot c^n = (a \cdot b \cdot c)^n \).
Пажња: Не постоји опште правило за сабирање степена са једнаким изложиоцима! Дакле, \( a^n + b^n \neq (a + b)^n \).
Да ли је тачна једнакост \( 3^2 + 4^2 = (3 + 4)^2 \)?
Не, једнакост није тачна. Проверимо рачунањем:
Лева страна: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Десна страна: \( (3 + 4)^2 = 7^2 = 49 \)
Како је \( 25 \neq 49 \), правило не важи за сабирање.
Лева страна: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Десна страна: \( (3 + 4)^2 = 7^2 = 49 \)
Како је \( 25 \neq 49 \), правило не важи за сабирање.
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза користећи правило за множење степена једнаких изложилаца:
\( 5^4 \cdot 2^4 \)
\( 5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000 \)
Средњи: Израчунај вредност израза:
\( \left(- \frac{3}{7}\right)^{10} \cdot \left(\frac{7}{6}\right)^{10} \)
Примењујемо правило множења основа:
\( \left(- \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6}\right)^{10} \)
Скраћујемо разломке (7 и 7, као и 3 и 6):
\( = \left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} \)
\( \left(- \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6}\right)^{10} \)
Скраћујемо разломке (7 и 7, као и 3 и 6):
\( = \left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} \)
Тежак: Нека је дати израз \( A = (3\sqrt{2} - \sqrt{7})^2 \cdot (3\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 \). Докажи да је вредност израза \( A \) цео број.
Прво применимо правило \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \):
\( A = \left( (3\sqrt{2} - \sqrt{7}) \cdot (3\sqrt{2} + \sqrt{7}) \right)^2 \)
Унутар велике заграде препознајемо разлику квадрата \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):
\( A = \left( (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 \right)^2 \)
\( A = (9 \cdot 2 - 7)^2 \)
\( A = (18 - 7)^2 = 11^2 = 121 \)
Како је 121 цео број, тврђење је доказано.
\( A = \left( (3\sqrt{2} - \sqrt{7}) \cdot (3\sqrt{2} + \sqrt{7}) \right)^2 \)
Унутар велике заграде препознајемо разлику квадрата \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):
\( A = \left( (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 \right)^2 \)
\( A = (9 \cdot 2 - 7)^2 \)
\( A = (18 - 7)^2 = 11^2 = 121 \)
Како је 121 цео број, тврђење је доказано.
