Најважније из лекције
Једначина је једнакост два израза \( L = D \) од којих бар један садржи променљиву; \( L \) је лева, а \( D \) десна страна. Домен једначине с једном непознатом је пресек домена израза \( L \) и \( D \) (искључујемо вредности за које се дели нулом). Решење је сваки реалан број за који је једнакост \( L=D \) тачна, а скуп свих решења означавамо са \( R_r \). Решити једначину значи одредити \( R_r \). Скуп решења може имати једно или више решења (\( R_r=\{3\} \)), бити цео скуп реалних бројева (\( R_r=R \)) или бити празан (\( R_r=\varnothing \)). Две једначине су еквивалентне ако имају једнаке скупове решења.
Под појмом израз подразумевамо рационални алгебарски израз — израз састављен од бројева и променљивих (нпр. \( 2x+3 \), \( \dfrac{x-6}{x+1} \)).
Домен (област дефинисаности) израза с једном променљивом јесте скуп свих вредности те променљиве за које тај израз има бројевну вредност.
Израз нема бројевну вредност онда када би требало делити нулом. Зато из домена искључујемо све вредности за које би именилац разломка био једнак нули.
Пример (домен израза):
- Домен израза \( 5:x \) јесте \( R \setminus \{0\} \), јер за \( x=0 \) дељење нулом није изводљиво.
- Домен израза \( \dfrac{x-6}{x+1} \) јесте \( R \setminus \{-1\} \), јер за \( x=-1 \) именилац постаје \( -1+1=0 \).
Два израза с једном променљивом јесу еквивалентни ако имају једнаке домене и једнаке бројевне вредности за све вредности променљиве из домена.
Ако се домени разликују (или се бар за једну вредност из домена вредности израза разликују), изрази нису еквивалентни.
Пример (еквивалентни изрази):
- Изрази \( x+x \) и \( 2x \) јесу еквивалентни: оба имају домен \( R \) и за свако \( x \in R \) важи \( x+x=2x \).
- Изрази \( 2x \) и \( 3x \) нису еквивалентни: домен је исти (\( R \)), али вредности се разликују — нпр. за \( x=1 \) је \( 2x=2 \), а \( 3x=3 \).
- Изрази \( \dfrac{x^2}{x} \) и \( x \) нису еквивалентни: домен израза \( \dfrac{x^2}{x} \) јесте \( R \setminus \{0\} \), а домен израза \( x \) јесте \( R \) — домени нису једнаки.
Једначину схватамо као једнакост двају израза од којих је бар један с једном или више променљивих.
Једначину записујемо у облику \( L = D \): израз \( L \) је лева страна једначине, а израз \( D \) је десна страна једначине.
Једначина с једном непознатом јесте једначина \( L = D \) код које су \( L \) и \( D \) изрази с највише једном истом променљивом.
Пример (једначине):
- \( x+5 = 7-x \) јесте једначина с једном непознатом \( x \) (лева страна \( x+5 \), десна страна \( 7-x \)).
- \( x+y+1 = 0 \) јесте једначина с две непознате, \( x \) и \( y \) (лева страна \( x+y+1 \), десна \( 0 \)).
У наставку се разматрају једначине с једном непознатом.
Домен (област дефинисаности) једначине \( L = D \) с једном непознатом јесте пресек домена израза \( L \) и израза \( D \).
Пресек скупова \( A \) и \( B \) јесте скуп свих елемената који припадају и скупу \( A \) и скупу \( B \); означава се са \( A \cap B \).
Пример (домен једначине):
- Домен једначине \( x+6=-15 \) јесте \( R \) (обе стране су дефинисане за свако \( x \)).
- Домен једначине \( \dfrac{1}{x}=5 \) јесте \( R \setminus \{0\} \) (лева страна није дефинисана за \( x=0 \)).
Решење једначине \( L = D \) с једном непознатом јесте сваки реалан број такав да је једнакост \( L = D \) тачна ако је вредност непознате једнака том броју.
Скуп решења једначине јесте скуп чији су елементи сва решења те једначине; означава се са \( R_r \).
Решити једначину \( L = D \) с једном непознатом значи одредити скуп њених решења \( R_r \).
Проверу да ли је број решење вршимо тако што вредност непознате уврстимо у обе стране и проверимо да ли је једнакост тачна.
Пример (провера решења):
- Број \( 3 \) јесте решење једначине \( 2\cdot x = 6 \), јер је једнакост \( 2\cdot 3=6 \) тачна.
- Број \( 0 \) јесте решење једначине \( 2\cdot x = 0 \), јер је \( 2\cdot 0=0 \) тачно.
- Сваки реалан број \( t \) јесте решење једначине \( 0\cdot x = 0 \), јер је \( 0\cdot t=0 \) тачно за свако \( t \).
- Бројеви \( 5 \) и \( -5 \) јесу решења једначине \( x^2 = 25 \), јер је \( 5^2=25 \) и \( (-5)^2=25 \).
- Једначина \( 0\cdot x = 6 \) нема решења, јер не постоји реалан број \( t \) за који је \( 0\cdot t=6 \) тачно.
Скуп решења записујемо у витичастим заградама. Празан скуп (без иједног елемента) означавамо са \( \varnothing \).
| Једначина | Скуп решења \( R_r \) |
|---|---|
| \( 2\cdot x = 6 \) | \( R_r = \{3\} \) |
| \( 2\cdot x = 0 \) | \( R_r = \{0\} \) |
| \( 0\cdot x = 0 \) | \( R_r = R \) |
| \( x^2 = 25 \) | \( R_r = \{-5, 5\} \) |
| \( 0\cdot x = 6 \) | \( R_r = \varnothing \) |
Две једначине с једном непознатом јесу еквивалентне ако имају једнаке скупове решења.
Пример (еквивалентне једначине):
- \( x=2 \) и \( 2\cdot x = 4 \) јесу еквивалентне — скуп решења обе је \( R_r = \{2\} \).
- \( 0\cdot x = 2 \) и \( 0\cdot x = 3 \) јесу еквивалентне — скуп решења обе је \( R_r = \varnothing \).
- \( x+2 = x+1+1 \) и \( 2x=2x \) јесу еквивалентне — скуп решења обе је \( R_r = R \).
- \( 2\cdot x = 4 \) и \( 2\cdot x = 6 \) нису еквивалентне: \( R_r = \{2\} \) за прву, а \( R_r = \{3\} \) за другу.
Задаци за вежбање
Лак: Одреди домен једначине \( \dfrac{5}{x} = 5 \).
Десна страна \( 5 \) дефинисана је за свако \( x \). Лева страна \( \dfrac{5}{x} \) није дефинисана када је именилац једнак нули, тј. за \( x=0 \).
Домен једначине је пресек домена леве и десне стране: \[ \text{Домен} = R \setminus \{0\}. \] Одговор: \( R \setminus \{0\} \).
Домен једначине је пресек домена леве и десне стране: \[ \text{Домен} = R \setminus \{0\}. \] Одговор: \( R \setminus \{0\} \).
Средњи: Да ли је број \( 0 \) решење једначине \( x+7=7 \)? А једначине \( 7-x=0 \)?
Проверу вршимо тако што уврстимо \( x=0 \) у сваку једначину.
За \( x+7=7 \): \( 0+7=7 \) — једнакост је тачна, па \( 0 \) јесте решење.
За \( 7-x=0 \): \( 7-0=7 \neq 0 \) — једнакост није тачна, па \( 0 \) није решење (решење је \( 7 \)).
Одговор: \( 0 \) јесте решење једначине \( x+7=7 \), али није решење једначине \( 7-x=0 \).
За \( x+7=7 \): \( 0+7=7 \) — једнакост је тачна, па \( 0 \) јесте решење.
За \( 7-x=0 \): \( 7-0=7 \neq 0 \) — једнакост није тачна, па \( 0 \) није решење (решење је \( 7 \)).
Одговор: \( 0 \) јесте решење једначине \( x+7=7 \), али није решење једначине \( 7-x=0 \).
Тежак: Дате су једначине: (1) \( x+2 = x+1+1 \), (2) \( 0\cdot x = 5 \), (3) \( x\cdot 0 = 0 \). За сваку одреди скуп решења \( R_r \), па утврди које су међусобно еквивалентне.
(1) \( x+2 = x+1+1 \): десна страна је \( x+1+1 = x+2 \), па је једнакост \( x+2 = x+2 \) тачна за свако \( x \in R \). Дакле \( R_r = R \).
(2) \( 0\cdot x = 5 \): за свако \( x \) лева страна је \( 0 \), а \( 0 \neq 5 \), па нема решења: \( R_r = \varnothing \).
(3) \( x\cdot 0 = 0 \): за свако \( x \) лева страна је \( 0 = 0 \), па је једнакост увек тачна: \( R_r = R \).
Једначине су еквивалентне ако имају једнаке скупове решења. Пошто је \( R_r = R \) и за (1) и за (3), оне су међусобно еквивалентне. Једначина (2) има \( R_r = \varnothing \), па није еквивалентна ни са једном од њих.
Одговор: (1) \( R_r=R \), (2) \( R_r=\varnothing \), (3) \( R_r=R \); еквивалентне су једначине (1) и (3).
(2) \( 0\cdot x = 5 \): за свако \( x \) лева страна је \( 0 \), а \( 0 \neq 5 \), па нема решења: \( R_r = \varnothing \).
(3) \( x\cdot 0 = 0 \): за свако \( x \) лева страна је \( 0 = 0 \), па је једнакост увек тачна: \( R_r = R \).
Једначине су еквивалентне ако имају једнаке скупове решења. Пошто је \( R_r = R \) и за (1) и за (3), оне су међусобно еквивалентне. Једначина (2) има \( R_r = \varnothing \), па није еквивалентна ни са једном од њих.
Одговор: (1) \( R_r=R \), (2) \( R_r=\varnothing \), (3) \( R_r=R \); еквивалентне су једначине (1) и (3).
