Најважније из лекције
Логика И Скупови
Исказ је тврдња која може бити само тачна или нетачна.
Истинитосну вредност тачно означавамо са \(\top\), а нетачно са \(\perp\). Вредност исказа \(p\) пишемо као \(\tau(p)\).
Од једноставних исказа градимо сложене користећи логичке везнике:
- Дисјункција (\(p \lor q\)): "или" - нетачна само ако су оба нетачна.
- Конјункција (\(p \land q\)): "и" - тачна само ако су оба тачна.
- Негација (\(\neg p\)): "није" - мења \(\top\) у \(\perp\) и обрнуто.
- Импликација (\(p \Rightarrow q\)): "ако... онда" - нетачна само када из тачног (\(p\)) следи нетачно (\(q\)).
- Еквиваленција (\(p \Leftrightarrow q\)): "ако и само ако" - тачна ако искази имају исту истинитосну вредност.
Истинитосне таблице логичких операција:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p \lor q & p \land q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\ \hline \top & \top & \top & \top & \top & \top \\ \hline \top & \perp & \top & \perp & \perp & \perp \\ \hline \perp & \top & \top & \perp & \top & \perp \\ \hline \perp & \perp & \perp & \perp & \top & \top \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p \lor q & p \land q & p \Rightarrow q & p \Leftrightarrow q \\ \hline \top & \top & \top & \top & \top & \top \\ \hline \top & \perp & \top & \perp & \perp & \perp \\ \hline \perp & \top & \top & \perp & \top & \perp \\ \hline \perp & \perp & \perp & \perp & \top & \top \\ \hline \end{array} \]
Ако је исказ \(p\) тачан, а исказ \(q\) нетачан, одредите истинитосну вредност формуле \(p \Rightarrow (p \land q)\).
\(\tau(p) = \top\), \(\tau(q) = \perp\).
Прво решавамо заграду: \(\tau(p \land q) = \top \land \perp = \perp\).
Затим импликацију: \(\tau(p \Rightarrow \perp) = \top \Rightarrow \perp = \perp\).
Одговор: Формула је нетачна (\(\perp\)).
Прво решавамо заграду: \(\tau(p \land q) = \top \land \perp = \perp\).
Затим импликацију: \(\tau(p \Rightarrow \perp) = \top \Rightarrow \perp = \perp\).
Одговор: Формула је нетачна (\(\perp\)).
Таутологија је исказна формула која је тачна за све могуће истинитосне вредности исказних слова која у њој учествују.
Важни закони (таутологије):
- Закон искључења трећег: \(p \lor \neg p\)
- Modus ponens: \((p \land (p \Rightarrow q)) \Rightarrow q\)
- Modus tollens: \(((p \Rightarrow q) \land \neg q) \Rightarrow \neg p\)
- Транзитивност: \(((p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow r)\)
- Закон контрапозиције: \((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)\)
- Де Морганови закони: \(\neg(p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q\) и \(\neg(p \lor q) \Leftrightarrow \neg p \land \neg q\)
Метода свођења на апсурд (reductio ad absurdum): Да бисмо доказали да је формула таутологија, претпоставимо супротно (да је нетачна, \(\perp\)). Ако нас та претпоставка доведе до немогуће ситуације (апсурда, нпр. \(p\) је истовремено и \(\top\) и \(\perp\)), закључујемо да је почетна формула сигурно таутологија.
Универзални квантификатор (\(\forall\)): Чита се "за сваки", "било који".
Егзистенцијални квантификатор (\(\exists\)): Чита се "постоји (бар један)", "неки".
Егзистенцијални квантификатор (\(\exists\)): Чита се "постоји (бар један)", "неки".
Де Морганови закони за квантификаторе:
Негацијом се квантификатори међусобно мењају, а само тврђење се негира.
\(\neg(\forall x)F \Leftrightarrow (\exists x)\neg F\)
\(\neg(\exists x)F \Leftrightarrow (\forall x)\neg F\)
Негацијом се квантификатори међусобно мењају, а само тврђење се негира.
\(\neg(\forall x)F \Leftrightarrow (\exists x)\neg F\)
\(\neg(\exists x)F \Leftrightarrow (\forall x)\neg F\)
Негација исказа "Сваки природан број је паран" (\((\forall x \in \mathbb{N}) (x \text{ је паран})\)) гласи "Постоји природан број који није паран" (\((\exists x \in \mathbb{N}) \neg(x \text{ је паран})\)).
Скуп је одређен својим елементима. Ознака \(x \in A\) значи да елемент \(x\) припада скупу \(A\). Празан скуп обележавамо са \(\varnothing\).
Подскуп (\(\subseteq\)): \(A \subseteq B\) ако је сваки елемент скупа \(A\) истовремено и елемент скупа \(B\).
Партитивни скуп (\(\mathcal{P}(S)\)): Скуп свих подскупова скупа \(S\).
Операције са скуповима:
- Пресек (\(A \cap B\)): Елементи који припадају и скупу \(A\) и скупу \(B\).
- Унија (\(A \cup B\)): Елементи који припадају скупу \(A\) или скупу \(B\) (или оба).
- Разлика (\(A \setminus B\)): Елементи који припадају скупу \(A\), али не припадају скупу \(B\).
- Комплемент (\(A^c\)): Сви елементи универзалног скупа који не припадају скупу \(A\).
Ако је \(S = \{1, 2\}\), одреди партитивни скуп \(\mathcal{P}(S)\).
\(\mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}\).
Уређени пар \((a, b)\): Пар елемената где је битан редослед. \((a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a=c \land b=d\).
Декартов производ (\(A \times B\)): Скуп свих уређених парова \((a, b)\) таквих да \(a \in A\) и \(b \in B\).
Бинарна релација (\(\rho\)): Било који подскуп Декартовог производа \(A \times A\). Записујемо \(x \rho y\) или \((x, y) \in \rho\).
Особине релација:
Релација је релација поретка ако је рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.
- Рефлексивност: \((\forall x) (x \rho x)\)
- Симетричност: \((\forall x,y) (x \rho y \Rightarrow y \rho x)\)
- Антисиметричност: \((\forall x,y) (x \rho y \land y \rho x \Rightarrow x = y)\)
- Транзитивност: \((\forall x,y,z) (x \rho y \land y \rho z \Rightarrow x \rho z)\)
Релација је релација поретка ако је рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.
Функција (\(f: A \to B\)): Правило (релација) које сваком елементу домена \(A\) додељује тачно један елемент кодомена \(B\).
Својства функција:
- 1-1 (Инјекција): Различити елементи из \(A\) сликају се у различите елементе из \(B\) (\(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\)).
- На (Сурјекција): Сваки елемент из \(B\) је слика бар једног елемента из \(A\).
- Бијекција: Функција која је истовремено и "1-1" и "на". Само бијективне функције имају инверзну функцију (\(f^{-1}\)).
Композиција функција: За \(f: A \to B\) и \(g: B \to C\), композиција \(g \circ f\) је функција из \(A\) у \(C\) дефинисана са:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Комбинаторика се бави пребројавањем елемената коначних скупова без њиховог директног набрајања.
Принцип укључења-искључења:
За два скупа: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)
За три скупа: \(|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|\)
За два скупа: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)
За три скупа: \(|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|\)
Принцип производа: Број елемената Декартовог производа једнак је производу броја елемената појединачних скупова: \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\). Користи се приликом формирања коначних низова (нпр. шифре, бројеви).
Колико има троцифрених бројева састављених само од непарних цифара (1, 3, 5, 7, 9) код којих се цифре не понављају?
За 1. цифру имамо 5 опција. За 2. цифру остају 4 опције. За 3. цифру остају 3 опције. Укупно: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).
За 1. цифру имамо 5 опција. За 2. цифру остају 4 опције. За 3. цифру остају 3 опције. Укупно: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).
Задаци за вежбање
Лак: Дата су два скупа: \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) и \(B = \{3, 4, 5\}\). Одредите \(A \cup B\), \(A \cap B\) и \(A \setminus B\).
Унија (сви елементи без понављања): \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
Пресек (само заједнички елементи): \(A \cap B = \{3, 4\}\)
Разлика (у \(A\), али не у \(B\)): \(A \setminus B = \{1, 2\}\)
Пресек (само заједнички елементи): \(A \cap B = \{3, 4\}\)
Разлика (у \(A\), али не у \(B\)): \(A \setminus B = \{1, 2\}\)
Средњи: У одељењу од 30 ученика, 20 ученика тренира кошарку, а 15 тренира одбојку. Ако сваки ученик тренира бар један од ова два спорта, колико ученика тренира оба спорта?
Користимо принцип укључења-искључења: \(|K \cup O| = |K| + |O| - |K \cap O|\).
Знамо да је укупан број ученика \(|K \cup O| = 30\).
\(30 = 20 + 15 - |K \cap O|\)
\(30 = 35 - |K \cap O| \Rightarrow |K \cap O| = 5\).
Одговор: 5 ученика тренира оба спорта.
Знамо да је укупан број ученика \(|K \cup O| = 30\).
\(30 = 20 + 15 - |K \cap O|\)
\(30 = 35 - |K \cap O| \Rightarrow |K \cap O| = 5\).
Одговор: 5 ученика тренира оба спорта.
Тежак: Дата је релација \(\rho\) на скупу \(\mathbb{Z}\) (цели бројеви) дефинисана са: \(x \rho y \Leftrightarrow x - y\) је дељиво са 3. Докажите да је ово релација еквиваленције.
Морамо проверити три особине:
1. Рефлексивност: За свако \(x\), разлика \(x - x = 0\), а 0 је дељиво са 3. Дакле, \(x \rho x\) важи.
2. Симетричност: Ако је \(x \rho y\), онда је \(x - y = 3k\). Тада је \(y - x = -(x - y) = -3k = 3(-k)\), што је такође дељиво са 3, па важи \(y \rho x\).
3. Транзитивност: Ако је \(x \rho y\) (\(x - y = 3k\)) и \(y \rho z\) (\(y - z = 3m\)). Сабирањем ове две једначине добијамо \((x - y) + (y - z) = 3k + 3m\), односно \(x - z = 3(k + m)\). Ово значи да је \(x - z\) дељиво са 3, па важи \(x \rho z\).
Пошто су испуњена сва три услова, \(\rho\) јесте релација еквиваленције.
1. Рефлексивност: За свако \(x\), разлика \(x - x = 0\), а 0 је дељиво са 3. Дакле, \(x \rho x\) важи.
2. Симетричност: Ако је \(x \rho y\), онда је \(x - y = 3k\). Тада је \(y - x = -(x - y) = -3k = 3(-k)\), што је такође дељиво са 3, па важи \(y \rho x\).
3. Транзитивност: Ако је \(x \rho y\) (\(x - y = 3k\)) и \(y \rho z\) (\(y - z = 3m\)). Сабирањем ове две једначине добијамо \((x - y) + (y - z) = 3k + 3m\), односно \(x - z = 3(k + m)\). Ово значи да је \(x - z\) дељиво са 3, па важи \(x \rho z\).
Пошто су испуњена сва три услова, \(\rho\) јесте релација еквиваленције.
Увод У Геометрију
Основни геометријски објекти су тачке (\( A, B, C \dots \)), праве (\( a, b, c \dots \)) и равни (\( \alpha, \beta, \gamma \dots \)).
Тачке су колинеарне ако припадају истој правој, а компланарне ако припадају истој равни.
Одређеност равни: Раван је јединствено одређена ако је задато једно од следећег:
- Три неколинеарне тачке.
- Права и једна тачка која јој не припада.
- Две праве које се секу.
- Две паралелне праве.
Број правих одређених скупом од \( n \) тачака (\( n \ge 2 \)), где не постоје три колинеарне:
\[ \frac{n(n-1)}{2} \]
Број равни одређених скупом од \( n \) тачака (\( n \ge 3 \)), где не постоје четири компланарне:
\[ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \]
Равни могу бити паралелне (немају заједничких тачака) или се сећи (пресек је једна права). Права и раван могу бити паралелне или се сећи у једној тачки (тачка продора).
| Међусобни положај две праве | Број заједничких тачака | Припадају истој равни? |
|---|---|---|
| Праве се секу | Тачно 1 (\( a \cap b = \{P\} \)) | Да |
| Паралелне праве | 0 (\( a \parallel b \)) | Да |
| Мимоилазне праве | 0 (\( a \nparallel b \)) | Не |
Аксиома паралелности: За сваку праву \( p \) и тачку \( A \) која јој не припада постоји јединствена права \( q \) која садржи тачку \( A \) и паралелна је са правом \( p \).
Паралелност је симетрична (\( a \parallel b \Rightarrow b \parallel a \)) и транзитивна (\( a \parallel b \) и \( b \parallel c \Rightarrow a \parallel c \)). Свака права и раван је паралелна сама са собом.
Однос "између" описује распоред тачака на правој. Ако је тачка \( B \) између тачака \( A \) и \( C \), то записујемо као \( A-B-C \).
Дуж \( AB \) чине тачке \( A \) и \( B \) (крајеви) заједно са свим тачкама које се налазе између њих.
Полуправа је део праве који чине једна њена тачка (почетак) и све тачке праве са исте стране те тачке.
Полураван је део равни који чине једна права (гранична права) и све тачке равни са исте стране те праве.
Пашова теорема: Ако у равни имамо троугао \( ABC \) и праву \( p \) која не садржи ниједно његово теме, а сече једну страницу (нпр. \( BC \)), онда она мора сећи тачно још једну од преостале две странице (или \( AB \) или \( AC \)), и не може сећи обе.
Геометријска фигура је конвексна ако свака дуж чији крајеви припадају фигури у потпуности лежи унутар те фигуре. У супротном је неконвексна.
Пресек било које две конвексне фигуре је увек конвексна фигура.
Угао је фигура коју чини угаона линија (две полуправе са заједничким почетком) и један од делова равни на које та линија дели раван.
Многоугао (полигон) је унија затворене изломљене многоугаоне линије и њене унутрашњости. Дуж која спаја несуседна темена многоугла зове се дијагонала.
За сваки конвексни \( n \)-тоугао важи:
Укупан број дијагонала: \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Збир унутрашњих углова: \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \)
Укупан број дијагонала: \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Збир унутрашњих углова: \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \)
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Израчунајте број дијагонала конвексног десетоугла (\( n = 10 \)).
Примењујемо формулу за број дијагонала: \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \).
\( D_{10} = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \)
Одговор: Десетоугао има 35 дијагонала.
\( D_{10} = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \)
Одговор: Десетоугао има 35 дијагонала.
Средњи задатак: Колико правих је одређено са 6 тачака у равни, ако међу њима не постоје три колинеарне тачке?
Сваке две тачке одређују по једну праву. Користимо формулу за број правих одређених са \( n \) тачака (без колинеарних тројки):
Број правих \( = \frac{n(n-1)}{2} \)
За \( n = 6 \): Број правих \( = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
Одговор: Ове тачке одређују 15 правих.
Број правих \( = \frac{n(n-1)}{2} \)
За \( n = 6 \): Број правих \( = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
Одговор: Ове тачке одређују 15 правих.
Тежи задатак: Да ли две праве у простору могу да немају ниједну заједничку тачку, а да ипак нису паралелне? Ако могу, како се оне називају и који је услов за њихово постојање?
Одговор: Да, могу. Такве праве се називају мимоилазне праве.
Основни услов да две праве које се не секу не буду паралелне је да не припадају истој равни (односно, не постоји раван која их обе садржи).
Основни услов да две праве које се не секу не буду паралелне је да не припадају истој равни (односно, не постоји раван која их обе садржи).
Тежи задатак: Конвексни многоугао има укупно 20 дијагонала. Колики је збир његових унутрашњих углова?
Прво одређујемо број темена \( n \) преко броја дијагонала:
\( \frac{n(n-3)}{2} = 20 \Rightarrow n(n-3) = 40 \)
Решавањем ове једначине налазимо да је \( n = 8 \) (јер је \( 8 \cdot 5 = 40 \)). Ради се о осмоуглу.
Сада рачунамо збир углова по формули \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \):
\( S_8 = (8-2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \)
Одговор: Збир унутрашњих углова тог многоугла је \( 1080^\circ \).
\( \frac{n(n-3)}{2} = 20 \Rightarrow n(n-3) = 40 \)
Решавањем ове једначине налазимо да је \( n = 8 \) (јер је \( 8 \cdot 5 = 40 \)). Ради се о осмоуглу.
Сада рачунамо збир углова по формули \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \):
\( S_8 = (8-2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \)
Одговор: Збир унутрашњих углова тог многоугла је \( 1080^\circ \).
Пропорционалност
Размера два броја различита од нуле је њихов количник. Означава се са \( a : b \) или \( \frac{a}{b} \).
Пропорција је једнакост две размере. За парове бројева кажемо да су пропорционални ако је \( a : b = c : d \).
Основна особина пропорције: Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова.
\[ a : b = c : d \quad \text{акко} \quad a \cdot d = b \cdot c \]
Одредите непознати члан пропорције: \( 0,12 : 0,4 = x : 0,01 \)
Применом основне особине (множењем спољашњих и унутрашњих чланова):
\( 0,4 \cdot x = 0,12 \cdot 0,01 \)
\( 0,4 \cdot x = 0,0012 \)
\( x = \frac{0,0012}{0,4} = 0,003 \)
\( 0,4 \cdot x = 0,12 \cdot 0,01 \)
\( 0,4 \cdot x = 0,0012 \)
\( x = \frac{0,0012}{0,4} = 0,003 \)
Једнакост три или више размера назива се продужена пропорција. Записује се као \( a:b = c:d = e:f \) или \( a:c:e = b:d:f \).
Ако су углови троугла у размери \( \alpha : \beta : \gamma = 2 : 3 : 4 \), уводимо коефицијент \( k \).
\( \alpha = 2k, \beta = 3k, \gamma = 4k \)
\( 2k + 3k + 4k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \). Углови су \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \).
\( \alpha = 2k, \beta = 3k, \gamma = 4k \)
\( 2k + 3k + 4k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \). Углови су \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \).
Линеарна комбинација: Ако је \( a_1 : b_1 = a_2 : b_2 = \dots = a_n : b_n \), тада за бројеве \( k_1, \dots, k_n \) важи:
\[ \frac{k_1a_1 + k_2a_2 + \dots + k_na_n}{k_1b_1 + k_2b_2 + \dots + k_nb_n} = \frac{a_1}{b_1} \]
(под условом да је именилац различит од нуле). Ово значи да је нпр. \( (a+c):(b+d) = a:b \).
Две зависне величине су директно пропорционалне ако се истовремено повећавају или смањују исти број пута. Њихов количник је константан.
\[ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k \quad \text{или} \quad y = k \cdot x \]
k - коефицијент директне пропорционалности
Примери:
• Пређени пут и време (константа је брзина: \( v = s/t \))
• Маса и запремина (константа је густина: \( \rho = m/V \))
• Цена и количина робе
• Пређени пут и време (константа је брзина: \( v = s/t \))
• Маса и запремина (константа је густина: \( \rho = m/V \))
• Цена и количина робе
Две зависне величине су обрнуто пропорционалне ако при повећању једне одређен број пута, друга величина се толико пута смањује. Њихов производ је константан.
\[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k \quad \text{или} \quad y = \frac{k}{x} \]
k - коефицијент обрнуте пропорционалности
Примери:
• Број радника и време потребно да се заврши посао (\( n \cdot t = \text{const} \))
• Запремина и густина за тела исте масе (\( V \cdot \rho = \text{const} \))
• Број радника и време потребно да се заврши посао (\( n \cdot t = \text{const} \))
• Запремина и густина за тела исте масе (\( V \cdot \rho = \text{const} \))
При постављању задатака, директна пропорционалност се означава паром стрелица истог смера, док се обрнута означава паром супротно усмерених стрелица.
Проценти (%) представљају стоте делове (\( p/100 \)), а промили (‰) хиљадите делове (\( p/1000 \)) неке величине.
Проста каматна формула:
\[ K = G \cdot \frac{p}{100} \cdot t \]
\( K \) - камата, \( G \) - главница, \( p\% \) - каматна стопа, \( t \) - време у годинама.
Сложена каматна формула: \[ G_n = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \]
Сложена каматна формула: \[ G_n = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \]
Финоћа злата у каратима:
\[ X = 24 \cdot \frac{M_z}{M_s} \]
\( M_z \) - маса чистог злата, \( M_s \) - укупна маса легуре. Чисто злато има 24 карата.
Задаци за вежбање
Лак: Ако се сушењем 70 kg свежег грожђа добија 14 kg сувог, колико ће се килограма сувог грожђа добити сушењем 50 kg свежег?
У питању је директна пропорционалност (мање свежег -> мање сувог).
\( 70 : 50 = 14 : x \)
\( 70 \cdot x = 50 \cdot 14 \)
\( 70x = 700 \implies x = 10 \text{ kg} \)
\( 70 : 50 = 14 : x \)
\( 70 \cdot x = 50 \cdot 14 \)
\( 70x = 700 \implies x = 10 \text{ kg} \)
Средњи: Цена једног производа је снижена за 20% и сада износи 2 450 динара. Колика је била цена робе пре појефтињења?
Нека је почетна цена \( x \). Након снижења цена је \( 80\% \) од \( x \).
\( \frac{80}{100} \cdot x = 2450 \)
\( \frac{4}{5} \cdot x = 2450 \)
\( x = \frac{2450 \cdot 5}{4} = 3062,5 \text{ динара.} \)
\( \frac{80}{100} \cdot x = 2450 \)
\( \frac{4}{5} \cdot x = 2450 \)
\( x = \frac{2450 \cdot 5}{4} = 3062,5 \text{ динара.} \)
Тежак: Три машине за 10 дана, радећи 6 сати дневно, запакују 9 000 пакета. За колико дана ће 4 машине запаковати 11 200 пакета радећи 8 сати дневно?
Постављамо сложену пропорцију у односу на непознату \( x \) (дани):
• Дани и машине су обрнуто пропорционални (више машина -> мање дана): \( 3/4 \)
• Дани и сати дневно су обрнуто пропорционални (више сати -> мање дана): \( 6/8 \)
• Дани и пакети су директно пропорционални (више пакета -> више дана): \( 11200/9000 \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{11200}{9000} \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{112}{90} \)
\( x = 7 \text{ дана.} \)
• Дани и машине су обрнуто пропорционални (више машина -> мање дана): \( 3/4 \)
• Дани и сати дневно су обрнуто пропорционални (више сати -> мање дана): \( 6/8 \)
• Дани и пакети су директно пропорционални (више пакета -> више дана): \( 11200/9000 \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{11200}{9000} \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{112}{90} \)
\( x = 7 \text{ дана.} \)
Рационални Алгебраски Изрази
Изрази се граде од променљивих (слова попут \( x, y, a \)) и константи (бројева) повезаних знацима за математичке операције (\( +, -, \cdot, : \)) и заградама.
Дрво израза је визуелни приказ структуре израза и редоследа израчунавања.
Изрази се означавају великим словима латинице, нпр. \( A(x, y) \), где су у загради наведене променљиве од којих израз зависи. Вредност израза за конкретне бројеве добија се заменом променљивих тим бројевима.
Моном је израз у којем је једина дозвољена операција множење (производ константе и променљивих). Полином (цео алгебарски израз) је збир или разлика монома. Збир два неслична монома је бином, а три је трином.
Два израза су еквивалентна ако су њихове вредности једнаке за сваки избор вредности променљивих.
Важне формуле за трансформацију и растављање:
\[ (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \]
\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]
\[ (A \pm B)^3 = A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3 \]
\[ A^3 \pm B^3 = (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2) \]
Растављање на чиниоце је поступак записивања збира или разлике у облику производа (извлачењем заједничког чиниоца, груписањем или применом формула).
Канонски облик полинома је: \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \).
Највећи изложилац \( n \) представља степен полинома. Број \( a_n \) је водећи коефицијент, а \( a_0 \) слободни члан.
Теорема о дељењу: За свака два полинома \( A \) и \( B \) (\( B \neq 0 \)), постоје јединствени количник \( Q \) и остатак \( R \) тако да важи:
\[ A = B \cdot Q + R \]
где је степен остатка \( R \) мањи од степена делиоца \( B \) или је \( R = 0 \).
Безуова теорема: Остатак при дељењу полинома \( P(x) \) биномом \( (x - a) \) једнак је вредности полинома у тачки \( a \), односно \( R = P(a) \). Број \( a \) је корен полинома ако је \( P(a) = 0 \).
Највећи заједнички делилац (НЗД) полинома \( A \) и \( B \) је полином највећег могућег степена који дели оба полинома без остатка.
Најмањи заједнички садржалац (НЗС) је полином најмањег степена који је дељив и са \( A \) и са \( B \).
Да бисмо одредили НЗД и НЗС, полиноме прво морамо раставити на просте чиниоце.
Веза између НЗД и НЗС два полинома:
\[ A \cdot B = \text{НЗД}(A, B) \cdot \text{НЗС}(A, B) \]
Рационални алгебарски израз је израз у којем учествује дељење променљивим (количник два полинома).
Дељење нулом није дефинисано! Зато рационални израз није дефинисан за оне вредности променљивих за које је именилац једнак нули.
Израз \( \frac{x+5}{(x-2)(x+3)} \) је дефинисан под условом: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -3 \).
Операције са рационалним изразима (скраћивање, проширивање, сабирање, множење, дељење) изводе се потпуно аналогно операцијама са обичним разломцима, при чему имениоци морају бити различити од нуле.
Неједнакост квадрата: За свака два реална броја \( a \) и \( b \) важи:
\[ a^2 + b^2 \ge 2ab \]
АГ неједнакост: За произвољне ненегативне бројеве \( x \) и \( y \), аритметичка средина је већа или једнака геометријској средини:
\[ \frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} \]
Једнакост важи ако и само ако је \( x = y \).
Из ових неједнакости произилази и важно правило за позитивне бројеве: \( x + \frac{1}{x} \ge 2 \).
Задаци за вежбање
Лак: Одредите услов под којим је дефинисан рационални алгебарски израз: \( R(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 16} \).
Да би израз био дефинисан, именилац мора бити различит од нуле:
\( x^2 - 16 \neq 0 \)
\( (x - 4)(x + 4) \neq 0 \)
Одговор: Израз је дефинисан за \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \).
\( x^2 - 16 \neq 0 \)
\( (x - 4)(x + 4) \neq 0 \)
Одговор: Израз је дефинисан за \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \).
Средњи: Одредите НЗД и НЗС за полиноме \( A(x) = x^2 - 9 \) и \( B(x) = x^2 - 3x \).
Прво растављамо полиноме на чиниоце:
\( A(x) = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\( B(x) = x(x - 3) \)
Заједнички чинилац је \( (x - 3) \), па је:
НЗД: \( x - 3 \)
За НЗС узимамо све чиниоце са највећим изложиоцем:
НЗС: \( x(x - 3)(x + 3) \)
\( A(x) = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\( B(x) = x(x - 3) \)
Заједнички чинилац је \( (x - 3) \), па је:
НЗД: \( x - 3 \)
За НЗС узимамо све чиниоце са највећим изложиоцем:
НЗС: \( x(x - 3)(x + 3) \)
Тежак: Користећи Безуову теорему, одредите остатак при дељењу полинома \( P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 7 \) биномом \( x - 2 \). Да ли је 2 корен овог полинома?
Према Безуовој теореми, остатак \( R \) при дељењу са \( x - 2 \) једнак је вредности полинома за \( x = 2 \), односно \( P(2) \).
\( P(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 7 \)
\( P(2) = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 10 - 7 \)
\( P(2) = 16 - 16 + 10 - 7 = 3 \)
Одговор: Остатак је \( R = 3 \). Пошто остатак није 0, број 2 није корен овог полинома.
\( P(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 7 \)
\( P(2) = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 10 - 7 \)
\( P(2) = 16 - 16 + 10 - 7 = 3 \)
Одговор: Остатак је \( R = 3 \). Пошто остатак није 0, број 2 није корен овог полинома.
Сличност
Јединица мере је унапред изабрана и фиксирана дуж са којом упоређујемо друге дужи. Поступак мерења заснива се на надовезивању подударних дужи.
Архимедова аксиома: За сваку дуж \( AB \) постоји коначно много надовезаних јединичних дужи чија укупна дужина премашује дужину \( AB \).
Ако се јединица мере стално дели (нпр. у декадном систему), поступак мерења се или завршава (коначан децималан број) или се не завршава (бесконачан низ који тежи јединственом реалном броју).
Основне особине функције дужине:
- \( |II| = 1 \) (дужина јединичне дужи).
- \( AB \cong CD \iff |AB| = |CD| \)
- \( A - B - C \iff |AB| + |BC| = |AC| \)
- За неколинеарне тачке: \( |AC| < |AB| + |BC| \)
Положај средишта: Ако је \( S \) средиште дужи \( AB \), а \( C \) тачка на правој, важи:
\( SC = \frac{AC + BC}{2} \) (ако је поредак \( A-B-C \))
\( SC = \frac{|AC - BC|}{2} \) (ако је поредак \( A-C-B \))
\( SC = \frac{AC + BC}{2} \) (ако је поредак \( A-B-C \))
\( SC = \frac{|AC - BC|}{2} \) (ако је поредак \( A-C-B \))
За мерење углова користи се степен (\( ^\circ \)). Мера угла се рачуна као разлика вредности придружених крацима на угломеру.
Размера дужи: Број \( r \) такав да је \( AB = r \cdot CD \), односно \( AB : CD = r \).
Ако је \( r \) рационалан број, дужи су самерљиве, а ако је ирационалан, несамерљиве.
Ако је \( r \) рационалан број, дужи су самерљиве, а ако је ирационалан, несамерљиве.
Талесова теорема: Међусобно паралелне праве \( a, b, c \) секу праве \( p \) и \( p_1 \) редом у тачкама \( A, B, C \), односно \( A_1, B_1, C_1 \). Тада су одсечци пропорционални:
\[ AB : BC = A_1B_1 : B_1C_1 \]
Такође, ако се праве секу у тачки \( O \):
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \]
Хармонијска спрегнутост: Пар тачака \( A, B \) је хармонијски спрегнут са паром \( C, D \) (\( H(A, B; C, D) \)) ако тачке \( C \) и \( D \) деле дуж \( AB \) (унутрашње и спољашње) у истој размери: \( AC:BC = AD:BD \).
Аполонијева кружница: Скуп тачака \( P \) за које важи \( PA:PB = m:n \) (константа) је кружница са пречником \( CD \).
Хомотетија \( \mathcal{H}_{O,k} \) равни са центром \( O \) и коефицијентом \( k \neq 0 \) је пресликавање где је за сваку тачку \( X \), њена слика \( X' \) одређена са:
\[ \vec{OX'} = k\vec{OX} \]
Особине хомотетије:
- Вектори слика: \( \vec{X'Y'} = k\vec{XY} \) и растојање: \( X'Y' = |k|XY \).
- Дуж се пресликава у дуж, а права у паралелну праву.
- Угао се пресликава у себи подударан угао.
Хомотетијом из тежишта \( T \) са коефицијентом \( k = -1/2 \), ортоцентар \( H \) се пресликава у центар описане кружнице \( O \). Права кроз \( H, T \) и \( O \) је Ојлерова права.
Сличност \( \mathcal{P}_k \) са коефицијентом \( k > 0 \) је функција која мења сва растојања пропорционално: \( A'B' = k \cdot AB \). Свака сличност је композиција изометрије и хомотетије.
Ставови сличности троуглова (\( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \)):
- УУ (Први став): Два угла једног троугла подударна су са два угла другог.
- СУС (Други став): Две странице су пропорционалне, а захваћени углови подударни.
- ССС (Трећи став): Све три странице су међусобно пропорционалне.
- ССУ (Четврти став): Две странице су пропорционалне, угао наспрам једне је подударан, а угао наспрам друге је исте врсте (оштар/туп/прав).
Симетрала угла: Симетрала унутрашњег угла дели наспрамну страницу на одсечке пропорционалне другим двема страницама: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \).
Односи у правоуглом троуглу: Ако висина \( h_c \) дели хипотенузу \( c \) на одсечке \( p \) (суседан катети \( b \)) и \( q \) (суседан катети \( a \)), важи:
- \( h_c^2 = p \cdot q \) (Висина је геометријска средина одсечака)
- \( a^2 = c \cdot q \) и \( b^2 = c \cdot p \) (Катета је геометријска средина хипотенузе и суседног одсечка)
- Питагорина теорема: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Потенција тачке у односу на кружницу:
Ако права кроз тачку \( P \) сече кружницу у \( A_1 \) и \( A_2 \), производ \( PA_1 \cdot PA_2 \) је константан.
Ако је \( t \) тангента са додирном тачком \( T \), важи: \( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \).
Вредност потенције је \( PO^2 - r^2 \).
Ако права кроз тачку \( P \) сече кружницу у \( A_1 \) и \( A_2 \), производ \( PA_1 \cdot PA_2 \) је константан.
Ако је \( t \) тангента са додирном тачком \( T \), важи: \( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \).
Вредност потенције је \( PO^2 - r^2 \).
Златни пресек: Тачка \( Z \) дели дуж \( AB \) тако да важи \( AZ : ZB = AB : AZ \) (где је \( AZ > ZB \)).
Птоломејева теорема: У тетивном четвороуглу производ дијагонала једнак је збиру производа наспрамних страница: \( AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA \).
Задаци за вежбање
Лак: У троуглу \( ABC \) конструисана је права паралелна страници \( AB \), која сече странице \( AC \) и \( BC \) у тачкама \( M \) и \( N \). Ако је \( CM = 4 \), \( MA = 2 \) и \( CN = 6 \), колика је дужина дужи \( NB \)?
На основу Талесове теореме важи пропорција:
\[ \frac{CM}{MA} = \frac{CN}{NB} \]
Заменом датих вредности добијамо:
\[ \frac{4}{2} = \frac{6}{NB} \]
\[ 2 = \frac{6}{NB} \implies NB = 3 \]
Средњи: У правоуглом троуглу, висина која одговара хипотенузи дели је на одсечке дужина \( p = 4 \) и \( q = 9 \). Израчунајте дужину те висине (\( h_c \)) и дужине катета (\( a \) и \( b \)).
Према теореми о висини правоуглог троугла:
\[ h_c^2 = p \cdot q = 4 \cdot 9 = 36 \implies h_c = 6 \]
Хипотенуза је \( c = p + q = 4 + 9 = 13 \).
Катете рачунамо по формулама \( a^2 = c \cdot q \) и \( b^2 = c \cdot p \):
\[ a^2 = 13 \cdot 9 = 117 \implies a = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \]
\[ b^2 = 13 \cdot 4 = 52 \implies b = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
Тежак: Из тачке \( P \) ван кружнице повучене су тангента и сечица. Тангента додирује кружницу у тачки \( T \), а сечица је сече у тачкама \( A \) и \( B \) (тако да је \( P-A-B \)). Ако је дужина тангенте \( PT = 6 \), а спољашњи део сечице \( PA = 4 \), израчунајте дужину тетиве \( AB \).
Према теореми о потенцији тачке важи:
\[ PA \cdot PB = PT^2 \]
Нека је дужина тетиве \( AB = x \). Тада је цела сечица \( PB = PA + AB = 4 + x \). Заменом у формулу добијамо:
\[ 4 \cdot (4 + x) = 6^2 \]
\[ 16 + 4x = 36 \]
\[ 4x = 20 \implies x = 5 \]
Дужина тетиве \( AB \) износи 5.
Линеарне Једначине, Неједначине И Системи
Када величина \( y \) линеарно зависи од величине \( x \), та зависност се описује једначином \( y = kx + n \). График ове зависности у координатном систему је права линија.
Број \( k \) се назива коефицијент правца праве, док \( n \) представља пресек праве са \( y \)-осом (у тачки \( (0, n) \)).
Особине коефицијента правца \( k \):
- Ако је \( k > 0 \), права захвата оштар угао са позитивним смером \( x \)-осе (растућа је).
- Ако је \( k < 0 \), права захвата туп угао (опадајућа је).
- Ако је \( k = 0 \), права је паралелна \( x \)-оси (једначина \( y = n \)).
- Праве које имају исти коефицијент правца су паралелне.
Општи облик једначине праве:
\[ ax + by + c = 0 \]
Ако је \( b \neq 0 \), овај облик се може превести у експлицитни облик: \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \).
Дата је права у општем облику: \( 2x - 3y + 6 = 0 \). Преведите је у експлицитни облик и одредите коефицијент правца.
Изражавамо \( y \):
\( -3y = -2x - 6 \)
\( y = \frac{-2}{-3}x - \frac{6}{-3} \)
\( y = \frac{2}{3}x + 2 \)
Одговор: Експлицитни облик је \( y = \frac{2}{3}x + 2 \), а коефицијент правца је \( k = \frac{2}{3} \).
\( -3y = -2x - 6 \)
\( y = \frac{-2}{-3}x - \frac{6}{-3} \)
\( y = \frac{2}{3}x + 2 \)
Одговор: Експлицитни облик је \( y = \frac{2}{3}x + 2 \), а коефицијент правца је \( k = \frac{2}{3} \).
Свака једначина која се еквивалентним трансформацијама (додавање, одузимање, множење или дељење истим бројем различитим од нуле) може свести на облик \( ax = b \) сматра се линеарном једначином.
Дискусија решења једначине \( ax = b \):
- Ако је \( a \neq 0 \): једначина има јединствено решење \( x = \frac{b}{a} \).
- Ако је \( a = 0 \) и \( b \neq 0 \): једначина нема решења (нпр. \( 0 \cdot x = 5 \)).
- Ако је \( a = 0 \) и \( b = 0 \): сваки реалан број је решење (бесконачно много решења).
Ако једначина садржи параметар (непознату вредност изражену словом, нпр. \( \lambda \)), потребно је анализирати решење за различите вредности тог параметра.
Решите једначину: \( 3(x - 2) = 3x - 6 \).
Ослобађамо се заграда:
\( 3x - 6 = 3x - 6 \)
Пребацујемо непознате на леву, а познате на десну страну:
\( 3x - 3x = -6 + 6 \)
\( 0 \cdot x = 0 \)
Одговор: Пошто је једнакост тачна за сваки број, решење је сваки реалан број (\( x \in \mathbb{R} \)).
\( 3x - 6 = 3x - 6 \)
Пребацујемо непознате на леву, а познате на десну страну:
\( 3x - 3x = -6 + 6 \)
\( 0 \cdot x = 0 \)
Одговор: Пошто је једнакост тачна за сваки број, решење је сваки реалан број (\( x \in \mathbb{R} \)).
Линеарна неједначина се своди на један од облика: \( ax \le b \), \( ax \ge b \), \( ax < b \) или \( ax > b \). Решења се најчешће записују у облику интервала (нпр. \( x \in [a, +\infty) \)).
Када се обе стране неједначине множе или деле негативним бројем, знак неједнакости се окреће (нпр. из \( < \) у \( > \)).
За решавање сложенијих неједначина које садрже множење или дељење израза (нпр. \( A(x) \cdot B(x) < 0 \)), користи се логика знакова: производ/количник је негативан ако су чиниоци различитог знака, а позитиван ако су истог знака. Ово се најлакше представља таблицом знакова.
Решите неједначину: \( -2x + 8 > 0 \).
Пребацујемо познате на десну страну:
\( -2x > -8 \)
Делимо обе стране са \( -2 \). Пажња: знак се окреће!
\( x < \frac{-8}{-2} \)
\( x < 4 \)
Одговор: Решење је интервал \( x \in (-\infty, 4) \).
\( -2x > -8 \)
Делимо обе стране са \( -2 \). Пажња: знак се окреће!
\( x < \frac{-8}{-2} \)
\( x < 4 \)
Одговор: Решење је интервал \( x \in (-\infty, 4) \).
Систем две линеарне једначине са две непознате решава се свођењем система на једну једначину са једном непознатом.
- Метода замене: Из једне једначине се изрази једна променљива (нпр. \( y \)) и тај израз се замени у другу једначину.
- Метода супротних коефицијената: Једначине се множе одговарајућим бројевима тако да коефицијенти уз једну непознату постану супротни бројеви. Затим се једначине саберу како би се та непозната елиминисала.
Број решења система:
1. Систем је одређен – има тачно једно решење (праве се секу).
2. Систем је неодређен – има бесконачно много решења (праве се поклапају).
3. Систем је немогућ – нема решења (праве су паралелне).
1. Систем је одређен – има тачно једно решење (праве се секу).
2. Систем је неодређен – има бесконачно много решења (праве се поклапају).
3. Систем је немогућ – нема решења (праве су паралелне).
Методом супротних коефицијената решите систем:
\[ \begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Помножимо другу једначину са 2:
\( \begin{cases} x + 2y = 7 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases} \)
Саберемо леве и десне стране једначина:
\( x + 2x + 2y - 2y = 7 + 2 \)
\( 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \)
Заменимо \( x = 3 \) у другу једначину (\( x - y = 1 \)):
\( 3 - y = 1 \Rightarrow y = 2 \)
Одговор: Решење је уређени пар \( (3, 2) \).
\( \begin{cases} x + 2y = 7 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases} \)
Саберемо леве и десне стране једначина:
\( x + 2x + 2y - 2y = 7 + 2 \)
\( 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \)
Заменимо \( x = 3 \) у другу једначину (\( x - y = 1 \)):
\( 3 - y = 1 \Rightarrow y = 2 \)
Одговор: Решење је уређени пар \( (3, 2) \).
Функција дефинисана са \( f(x) = ax + b \) назива се линеарна функција. График ове функције је права линија.
Нула функције је вредност \( x \) за коју је \( f(x) = 0 \).
\[ ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \quad (\text{за } a \neq 0) \]
Ток и знак функције (ако је \( a \neq 0 \)):
- Ако је \( a > 0 \): функција је растућа. Позитивна је за вредности веће од нуле функције, а негативна за мање.
- Ако је \( a < 0 \): функција је опадајућа. Позитивна је за вредности мање од нуле функције, а негативна за веће.
Функција апсолутне вредности \( f(x) = |x| \):
Дефинише се као \( |x| = x \) за \( x \ge 0 \), и \( |x| = -x \) за \( x < 0 \).
Дефинише се као \( |x| = x \) за \( x \ge 0 \), и \( |x| = -x \) за \( x < 0 \).
Одредите нулу функције \( f(x) = -2x + 6 \) и испитајте да ли је функција растућа или опадајућа.
Нула функције се добија решавањем једначине \( f(x) = 0 \):
\( -2x + 6 = 0 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3 \).
Коефицијент \( a \) је \( -2 \). Пошто је \( -2 < 0 \), функција је опадајућа.
\( -2x + 6 = 0 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3 \).
Коефицијент \( a \) је \( -2 \). Пошто је \( -2 < 0 \), функција је опадајућа.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Решите линеарну једначину \( 5x - 4 = 2x + 11 \).
Групишемо непознате на леву, а познате на десну страну:
\( 5x - 2x = 11 + 4 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
\( 5x - 2x = 11 + 4 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
Средњи задатак (Неједначине): Решите неједначину \( \frac{x - 3}{2} - \frac{2x - 1}{3} \ge 1 \).
Множимо целу неједначину са 6 (Најмањи заједнички садржалац за 2 и 3) да бисмо се ослободили разломака:
\( 3(x - 3) - 2(2x - 1) \ge 6 \)
\( 3x - 9 - 4x + 2 \ge 6 \)
\( -x - 7 \ge 6 \)
\( -x \ge 13 \)
Делимо са \(-1\) и окрећемо знак:
\( x \le -13 \)
Одговор: \( x \in (-\infty, -13] \).
\( 3(x - 3) - 2(2x - 1) \ge 6 \)
\( 3x - 9 - 4x + 2 \ge 6 \)
\( -x - 7 \ge 6 \)
\( -x \ge 13 \)
Делимо са \(-1\) и окрећемо знак:
\( x \le -13 \)
Одговор: \( x \in (-\infty, -13] \).
Средњи задатак (Системи): Решите систем једначина методом замене:
\[ \begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases} \]
Израз за \( y \) из прве једначине убацујемо у другу:
\( 3x + 2(2x - 1) = 12 \)
\( 3x + 4x - 2 = 12 \)
\( 7x = 14 \Rightarrow x = 2 \)
Сада рачунамо \( y \):
\( y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 \)
Одговор: Уређени пар \( (2, 3) \).
\( 3x + 2(2x - 1) = 12 \)
\( 3x + 4x - 2 = 12 \)
\( 7x = 14 \Rightarrow x = 2 \)
Сада рачунамо \( y \):
\( y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 \)
Одговор: Уређени пар \( (2, 3) \).
Тежи задатак (Апсолутна вредност): Решите једначину \( |x - 2| = 5 \).
На основу дефиниције апсолутне вредности, израз унутар ње може бити позитиван или негативан, па имамо два случаја:
Случај 1: \( x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 \)
Случај 2: \( x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 \)
Одговор: Једначина има два решења: \( x = 7 \) и \( x = -3 \).
Случај 1: \( x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 \)
Случај 2: \( x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 \)
Одговор: Једначина има два решења: \( x = 7 \) и \( x = -3 \).
Тригонометрија Проваоуглог Троугла
Тригонометријске функције оштрог угла зависе искључиво од величине тог угла, а не од величине правоуглог троугла. Посматрамо правоугли троугао са катетама \(a\) и \(b\), хипотенузом \(c\) и оштрим углом \(\alpha\) (наспрам катете \(a\)).
- Синус: \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) (наспрамна катета кроз хипотенузу)
- Косинус: \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) (налегла катета кроз хипотенузу)
- Тангенс: \(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\) (наспрамна катета кроз налеглу катету)
- Котангенс: \(\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}\) (налегла катета кроз наспрамну катету)
Ако је хипотенуза \(c = 10 \text{ cm}\) и \(\sin \alpha = 0,6\), наспрамну катету рачунамо као:
\(\frac{a}{10} = 0,6 \Rightarrow a = 6 \text{ cm}\).
За сваки оштар угао \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)) важи:
- Вредности синуса и косинуса су увек између 0 и 1: \(0 < \sin \alpha < 1\) и \(0 < \cos \alpha < 1\).
- Вредности тангенса и котангенса могу бити било који позитивни бројеви: \(0 < \text{tg } \alpha < +\infty\) и \(0 < \text{ctg } \alpha < +\infty\).
Промена вредности: Како угао расте (од \(0^\circ\) ка \(90^\circ\)), вредности \(\sin \alpha\) и \(\text{tg } \alpha\) се повећавају, док се вредности \(\cos \alpha\) и \(\text{ctg } \alpha\) смањују.
Таблица вредности за карактеристичне углове:
| \(\alpha\) | \(\sin \alpha\) | \(\cos \alpha\) | \(\text{tg } \alpha\) | \(\text{ctg } \alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
За сваки оштар угао \(\alpha\) важе следеће основне везе:
- \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (Основни тригонометријски идентитет)
- \( \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
- \( \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
- \( \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \)
Комплементарни углови: Ако су два оштра угла комплементарна (нпр. углови \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\) у правоуглом троуглу), функција једног угла једнака је кофункцији другог:
- \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\)
- \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha\)
- \(\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha\)
- \(\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg } \alpha\)
Тригонометрија се користи за "решавање троугла" (одређивање непознатих страница и углова), рачунање растојања до недоступних тачака и одређивање висина.
Површина троугла: Површина било ког троугла се може израчунати помоћу две странице и синуса угла између њих.
\[ P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]
Висина троугла: Висина \(h_c\) преко странице \(c\) и налегле углове \(\alpha\) и \(\beta\):
\[ h_c = \frac{c}{\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta} \]
Нагиб пута: Изражава се у процентима и представља тангенс нагибног угла помножен са 100%. Нагиб = \(\text{tg } \varphi \cdot 100\%\).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза: \( 2 \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \).
Користећи таблицу вредности: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
Заменом у израз добијамо: \[ 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \]
Заменом у израз добијамо: \[ 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \]
Средњи: Израчунај површину троугла ако су познате странице \(a = 8 \text{ cm}\), \(b = 5 \text{ cm}\) и угао између њих \(\gamma = 30^\circ\).
Користимо формулу за површину преко тригонометрије:
\[ P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ \]
\[ P = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}^2 \]
Средњи: Упрости израз: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
Квадрирамо бином:
\[ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
Чланови \(+2 \sin \alpha \cos \alpha\) и \(-2 \sin \alpha \cos \alpha\) се потиру:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \]
На основу основног тригонометријског идентитета, ово је једнако 1.
Тежак: Брод се налази на мору. Са брода се види врх светионика који је висок \(8 \text{ m}\) под углом од \(7^\circ\) у односу на површину воде. Колико је брод удаљен од светионика? (Узети да је \(\text{tg } 7^\circ \approx 0,12\)).
Формира се правоугли троугао где је наспрамна катета висина светионика (\(8 \text{ m}\)), налегла катета је удаљеност \(x\), а угао је \(7^\circ\).
\[ \text{tg } 7^\circ = \frac{8}{x} \]
\[ 0,12 = \frac{8}{x} \Rightarrow x = \frac{8}{0,12} \]
\[ x \approx 66,67 \text{ m} \]
Брод је удаљен приближно \(66,67 \text{ m}\).
