Најважније из лекције
Вектор (\(\vec{a}\)) је одређен правцем, смером и интензитетом.
Сабирање: Врши се правилом троугла (надовезивањем: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)) или правилом паралелограма.
Множење бројем: \(r\vec{x}\) мења дужину вектора, задржава исти правац (колинеарност), а смер се мења само ако је \(r\) негативно.
Разлагање: Сваки вектор се може представити као комбинација два неколинеарна вектора: \(\vec{z} = a\vec{x} + b\vec{y}\).
Геометрија: Тежиште троугла дели тежишне дужи у строгом односу \(2:1\) почевши од темена.
Сабирање: Врши се правилом троугла (надовезивањем: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)) или правилом паралелограма.
Множење бројем: \(r\vec{x}\) мења дужину вектора, задржава исти правац (колинеарност), а смер се мења само ако је \(r\) негативно.
Разлагање: Сваки вектор се може представити као комбинација два неколинеарна вектора: \(\vec{z} = a\vec{x} + b\vec{y}\).
Геометрија: Тежиште троугла дели тежишне дужи у строгом односу \(2:1\) почевши од темена.
Усмерена дуж је одређена уређеним паром тачака код којег се зна шта је почетак, а шта крај. Означава се са \(\vec{PQ}\), где је \(P\) почетна, а \(Q\) завршна тачка.
Две усмерене дужи су једнаке ако имају:
- Исти правац (налазе се на паралелним правама);
- Исти смер (гледају на исту страну у односу на нормалу на правац);
- Исти интензитет (дужи су им подударне, односно исте су дужине).
Вектор је скуп свих усмерених дужи које су међусобно једнаке. Било која од тих усмерених дужи представља тај вектор.
Векторе најчешће означавамо малим латиничним словима надвученим стрелицом: \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \dots\)
Нула-вектор (\(\vec{0}\)): Вектор чија се почетна и крајња тачка поклапају (нпр. \(\vec{XX}\)).
Супротан вектор: Вектор одређен усмереном дужи \(\vec{BA}\) је супротан вектору одређеном усмереном дужи \(\vec{AB}\) и обележава се са \(-\vec{a}\).
Правило надовезивања (правило троугла): Збир две усмерене дужи код којих се крај прве поклапа са почетком друге је усмерена дуж која спаја почетак прве и крај друге.
\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]
Правило паралелограма: Два вектора са истим почетком сабирамо тако што над њима конструишемо паралелограм. Дијагонала паралелограма која полази из тог заједничког почетка представља њихов збир.
Особине сабирања вектора:
- \(\vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z}\) (асоцијативност)
- \(\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}\) (комутативност)
- \(\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}\) (нула-вектор је неутрал)
- \(\vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0}\)
Одузимање вектора: Одузети вектор \(\vec{x}\) од вектора \(\vec{y}\) значи сабрати вектор \(\vec{y}\) са супротним вектором вектора \(\vec{x}\).
\[ \vec{y} - \vec{x} = \vec{y} + (-\vec{x}) \]
Производ реалног броја и вектора: Производ реалног броја \(r\) и вектора \(\vec{x}\) је вектор \(r\vec{x}\) чији је интензитет једнак апсолутној вредности броја \(r\) помноженој са интензитетом вектора \(\vec{x}\) (\(|r| \cdot |\vec{x}|\)).
Смер вектора \(r\vec{x}\) зависи од знака броја \(r\):
- Ако је \(r > 0\), вектори \(\vec{x}\) и \(r\vec{x}\) имају исти смер.
- Ако је \(r < 0\), вектори \(\vec{x}\) и \(r\vec{x}\) имају супротан смер.
Колинеарни вектори: Два не-нула вектора су колинеарна ако имају исти правац (тј. налазе се на паралелним правама). Ако је \(\vec{y} = r\vec{x}\), ти вектори су колинеарни.
Разлагање вектора: Нека су \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) неколинеарни вектори једне равни. Сваки вектор \(\vec{z}\) у тој равни се може на јединствен начин представити (разложити) преко њих у облику:
\[ \vec{z} = a\vec{x} + b\vec{y} \]
где су \(a\) и \(b\) реални бројеви.
Тежишна дуж троугла је дуж која спаја теме троугла са средиштем њему наспрамне странице.
Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки која се назива тежиште. Тежиште дели сваку тежишну дуж у односу \(2 : 1\), посматрано од темена ка средишту странице.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Поједноставите следећи векторски израз коришћењем правила надовезивања: \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\).
Користећи правило надовезивања редом:
\((\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD}\)
\(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\).
Резултат: \(\vec{AD}\).
\((\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD}\)
\(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\).
Резултат: \(\vec{AD}\).
Средњи задатак: У паралелограму \(ABCD\), изразите вектор дијагонале \(\vec{AC}\) преко вектора страница \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\).
Пошто је у питању паралелограм, наспрамне странице су једнаке и паралелне, па важи да је \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
Према правилу троугла (надовезивања):
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\)
Када заменимо \(\vec{BC}\) са \(\vec{AD}\), добијамо:
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\) (ово је уједно и дефиниција правила паралелограма).
Према правилу троугла (надовезивања):
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\)
Када заменимо \(\vec{BC}\) са \(\vec{AD}\), добијамо:
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\) (ово је уједно и дефиниција правила паралелограма).
Средњи задатак: Поједноставите израз са векторима: \(3\vec{x} + 2\vec{y} - (\vec{x} + 2\vec{y})\).
Као и код обичних алгебарских израза, ослобађамо се заграде:
\(3\vec{x} + 2\vec{y} - \vec{x} - 2\vec{y}\)
Групишемо исте векторе:
\((3\vec{x} - \vec{x}) + (2\vec{y} - 2\vec{y}) = 2\vec{x} + \vec{0} = 2\vec{x}\).
\(3\vec{x} + 2\vec{y} - \vec{x} - 2\vec{y}\)
Групишемо исте векторе:
\((3\vec{x} - \vec{x}) + (2\vec{y} - 2\vec{y}) = 2\vec{x} + \vec{0} = 2\vec{x}\).
Тешки задатак: У троуглу \(ABC\), тежишна дуж која полази из темена \(A\) обележена је са \(AA_1\) и њена дужина износи \(15 \text{ cm}\). Ако је \(T\) тежиште тог троугла, израчунајте интензитете вектора \(|\vec{AT}|\) и \(|\vec{TA_1}|\).
Према теореми о тежишним дужима, тежиште \(T\) дели тежишну дуж у односу \(2 : 1\) почевши од темена.
То значи да је \(AT = 2 \cdot TA_1\).
Цела дуж је \(AA_1 = AT + TA_1\). Укупно имамо \(2 + 1 = 3\) једнака дела.
Вредност једног дела је \(15 : 3 = 5 \text{ cm}\).
Према томе:
\(|\vec{TA_1}|\) је један део, дакле \(5 \text{ cm}\).
\(|\vec{AT}|\) су два дела, дакле \(2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}\).
То значи да је \(AT = 2 \cdot TA_1\).
Цела дуж је \(AA_1 = AT + TA_1\). Укупно имамо \(2 + 1 = 3\) једнака дела.
Вредност једног дела је \(15 : 3 = 5 \text{ cm}\).
Према томе:
\(|\vec{TA_1}|\) је један део, дакле \(5 \text{ cm}\).
\(|\vec{AT}|\) су два дела, дакле \(2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}\).
