Најважније из лекције
Конвексност: Фигура је конвексна ако дуж између било које две њене тачке остаје унутар ње. Пресек две конвексне фигуре је увек конвексан.
Троугао и четвороугао: Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \) (спољашњих \( 360^\circ \)), а четвороугла је \( 360^\circ \). Важи неједнакост троугла: \( a < b + c \).
Дијагонале и углови \( n \)-тоугла: \[ D_n = \frac{n(n - 3)}{2}, \qquad S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \] Правилан многоугао: Унутрашњи угао је \( \alpha = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} \), док су спољашњи и централни угао међусобно једнаки: \( \beta = \varphi = \frac{360^\circ}{n} \).
Троугао и четвороугао: Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \) (спољашњих \( 360^\circ \)), а четвороугла је \( 360^\circ \). Важи неједнакост троугла: \( a < b + c \).
Дијагонале и углови \( n \)-тоугла: \[ D_n = \frac{n(n - 3)}{2}, \qquad S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \] Правилан многоугао: Унутрашњи угао је \( \alpha = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} \), док су спољашњи и централни угао међусобно једнаки: \( \beta = \varphi = \frac{360^\circ}{n} \).
Геометријска фигура је било који скуп тачака. Означава се великим грчким словима: \( \Phi, \Psi, \Sigma, \dots \) Фигура је равна ако припада једној равни.
Фигура \( \Phi \) је конвексна ако за сваке две тачке \( A, B \in \Phi \) важи да цела дуж \( AB \) припада фигури (\( AB \subseteq \Phi \)).
Фигура је неконвексна ако постоје две тачке \( A, B \in \Phi \) такве да дуж \( AB \) не припада у целини тој фигури (\( AB \not\subseteq \Phi \)).
Пресек било које две конвексне фигуре \( \Phi \) и \( \Psi \) је такође конвексна фигура (\( \Phi \cap \Psi \)).
Угаона линија је унија две различите полуправе са заједничким почетком:
\[ \angle pOq = Op \cup Oq \]
Заједнички почетак \( O \) је теме, а полуправе \( Op \) и \( Oq \) су краци угаоне линије.
Угао је унија угаоне линије и једне од две области (конвексне или неконвексне) на које та линија дели раван. Означава се са \( \sphericalangle pOq \).
Ако две полуправе припадају истој правој и супротно су усмерене, оне деле раван на две полуравни. Свака од тих полуравни назива се опружени угао (\( 180^\circ \)).
Колико углова одређује једна угаона линија чији краци не леже на истој правој?
Одређује тачно два угла: један конвексан и један неконвексан.
Многоугаона линија је затворена изломљена линија \( A_1A_2\dots A_n \) (\( n \ge 3 \)) код које сваке три узастопне тачке нису колинеарне и несуседне странице немају заједничких тачака.
Многоугао (\( n \)-тоугао) је унија многоугаоне линије и њене унутрашње области.
Дијагонала многоугла је дуж која спаја два несуседна темена многоугла. Из сваког темена \( n \)-тоугла полази \( n - 3 \) дијагонала.
Укупан број свих дијагонала \( n \)-тоугла (\( D_n \)):
\[ D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \]
\( n \) представља број темена (односно страница) многоугла.
За четвороугао (\( n = 4 \)):
\[ D_4 = \frac{4(4 - 3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 \]
Четвороугао има тачно 2 дијагонале.
За унутрашње углове (\( \alpha, \beta, \gamma \)) и одговарајуће спољашње углове (\( \alpha_1, \beta_1, \gamma_1 \)) троугла важи:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ \]
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma, \quad \beta_1 = \alpha + \gamma, \quad \gamma_1 = \alpha + \beta \]
(Спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла.)
Неједнакост троугла: Ма која страница троугла мања је од збира друге две, а већа од њихове разлике:
\[ |b - c| < a < b + c \]
За углове четвороугла важи:
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \quad \text{и} \quad \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]
Збир унутрашњих углова \( n \)-тоугла (\( S_n \)):
\[ S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Правилан многоугао има све странице једнаке и све унутрашње углове једнаке. За правилан \( n \)-тоугао важи:
- Један унутрашњи угао: \( \alpha = \frac{S_n}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \)
- Један спољашњи угао: \( \beta = \frac{360^\circ}{n} \)
- Централни угао: \( \varphi = \frac{360^\circ}{n} \)
Код сваког правилног многоугла спољашњи и централни угао су једнаки: \( \beta = \varphi \). Такође, збир унутрашњег и спољашњег угла при истом темену је \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај збир свих унутрашњих углова и укупан број дијагонала петоугла (\( n = 5 \)).
Примењујемо формуле за \( n = 5 \):
1. Збир унутрашњих углова: \[ S_5 = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \] 2. Број дијагонала: \[ D_5 = \frac{5 \cdot (5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \] Одговор: Збир унутрашњих углова је \( 540^\circ \), а петоугао има 5 дијагонала.
1. Збир унутрашњих углова: \[ S_5 = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \] 2. Број дијагонала: \[ D_5 = \frac{5 \cdot (5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \] Одговор: Збир унутрашњих углова је \( 540^\circ \), а петоугао има 5 дијагонала.
Задатак 2 (средњи): Два унутрашња угла троугла износе \( \alpha = 50^\circ \) и \( \beta = 70^\circ \).
а) Одредити трећи унутрашњи угао \( \gamma \) и спољашњи угао \( \gamma_1 \).
б) Могу ли дужине страница троугла бити \( 3\text{ cm} \), \( 5\text{ cm} \) и \( 9\text{ cm} \)?
а) Одредити трећи унутрашњи угао \( \gamma \) и спољашњи угао \( \gamma_1 \).
б) Могу ли дужине страница троугла бити \( 3\text{ cm} \), \( 5\text{ cm} \) и \( 9\text{ cm} \)?
а) Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \):
\[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња угла:
\[ \gamma_1 = \alpha + \beta = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \]
(или \( \gamma_1 = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)).
б) Проверавамо неједнакост троугла за странице \( 3, 5, 9 \): \[ 3 + 5 = 8 \] Пошто збир две странице није већи од треће (\( 8 < 9 \)), такав троугао не може постојати.
б) Проверавамо неједнакост троугла за странице \( 3, 5, 9 \): \[ 3 + 5 = 8 \] Пошто збир две странице није већи од треће (\( 8 < 9 \)), такав троугао не може постојати.
Задатак 3 (тежак): Израчунај колико страница има правилан многоугао чији је један унутрашњи угао \( \alpha = 144^\circ \), а затим одреди његов укупан број дијагонала.
1. Збир унутрашњег и спољашњег угла износи \( 180^\circ \), па је спољашњи угао:
\[ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ \]
2. Формула за спољашњи угао правилног многоугла гласи \( \beta = \frac{360^\circ}{n} \):
\[ 36^\circ = \frac{360^\circ}{n} \implies n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10 \]
Многоугао има \( n = 10 \) страница (правилан десетоугао).
3. Број дијагонала: \[ D_{10} = \frac{10 \cdot (10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35 \] Одговор: Многоугао има 10 страница и 35 дијагонала.
3. Број дијагонала: \[ D_{10} = \frac{10 \cdot (10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35 \] Одговор: Многоугао има 10 страница и 35 дијагонала.
