Најважније из лекције
Одсечци у правоуглом троуглу: \( a^2 = c \cdot q \), \( b^2 = c \cdot p \), \( h_c^2 = p \cdot q \).
Питагорина теорема: \( c^2 = a^2 + b^2 \).
Неједнакост средина: Геометријска средина \( \sqrt{xy} \) је мања или једнака аритметичкој \( \frac{x+y}{2} \).
Потенција тачке: Производ растојања од тачке до пресека са кружницом дуж било које сечице је константан (\( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \)).
Питагорина теорема: \( c^2 = a^2 + b^2 \).
Неједнакост средина: Геометријска средина \( \sqrt{xy} \) је мања или једнака аритметичкој \( \frac{x+y}{2} \).
Потенција тачке: Производ растојања од тачке до пресека са кружницом дуж било које сечице је константан (\( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \)).
Када се из темена правог угла повуче висина на хипотенузу, она дели хипотенузу на два дела (одсечка). Применом сличности на тако добијене троуглове, долази се до важних једнакости.
Ознаке:
\( a, b \) - катете
\( c \) - хипотенуза (\( c = p + q \))
\( h_c \) - висина која одговара хипотенузи
\( p \) - одсечак хипотенузе уз катету \( b \)
\( q \) - одсечак хипотенузе уз катету \( a \)
\( a, b \) - катете
\( c \) - хипотенуза (\( c = p + q \))
\( h_c \) - висина која одговара хипотенузи
\( p \) - одсечак хипотенузе уз катету \( b \)
\( q \) - одсечак хипотенузе уз катету \( a \)
Теорема о катети: Катета правоуглог троугла је геометријска средина хипотенузе и суседног одсечка који на хипотенузи гради њена висина.
\[ a^2 = c \cdot q \]
\[ b^2 = c \cdot p \]
Теорема о висини: Висина која одговара хипотенузи је геометријска средина одсечака које она гради на хипотенузи.
\[ h_c^2 = p \cdot q \]
Ако висина правоуглог троугла дели хипотенузу на одсечке дужина \( 4 \) и \( 9 \), колика је дужина те висине?
Дато је \( p = 4 \) и \( q = 9 \). Користимо формулу за висину:
\[ h_c^2 = p \cdot q \]
\[ h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \]
\[ h_c = \sqrt{36} = 6 \]
Питагорина теорема: Квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата катета.
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Обрат Питагорине теореме: Ако за странице троугла важи да је збир квадрата две странице једнак квадрату треће странице, онда је тај троугао правоугли.
Да ли је троугао чије су странице дужина 5, 12 и 13 правоугли?
Најдужа страница мора бити хипотенуза (\( c = 13 \)). Проверавамо да ли важи Питагорина теорема:
\[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
\[ 13^2 = 169 \]
Пошто је \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \), према обрату Питагорине теореме, троугао јесте правоугли.
Геометријска средина: Број \( \sqrt{x \cdot y} \) представља геометријску средину два позитивна броја \( x \) и \( y \).
Однос аритметичке и геометријске средине: Геометријска средина два броја је увек мања или једнака њиховој аритметичкој средини.
\[ \sqrt{x \cdot y} \leq \frac{x + y}{2} \]
Једнакост важи само ако је \( x = y \).
Геометријска средина две дужи може се конструисати коришћењем претходне теореме о висини (\( h_c = \sqrt{p \cdot q} \)). Дужи се надовежу да чине пречник кружнице, а висина подигнута из њиховог споја до кружнице представља геометријску средину.
Ове теореме повезују дужи које настају када праве пролазе кроз исту тачку и секу или додирују кружницу.
Теорема о сечицама: Ако из тачке \( P \) повучемо праву која сече кружницу у тачкама \( A_1 \) и \( A_2 \), производ растојања од \( P \) до тачака пресека је константан за сваку такву праву.
\[ PA_1 \cdot PA_2 = \text{const} \]
Теорема о тангенти и сечици: Ако из тачке \( P \) повучемо сечицу која сече кружницу у \( A_1 \) и \( A_2 \), и тангенту која је додирује у тачки \( T \), важи:
\[ PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \]
Потенција тачке: Овај константан производ (\( PA_1 \cdot PA_2 \) односно \( PT^2 \)) назива се потенција тачке \( P \) у односу на кружницу.
Тачка \( P \) може бити ван кружнице, унутар ње или на њој. Дужи се увек мере од тачке \( P \) до тачака пресека са кружницом, а не између самих тачака пресека!
Задаци за вежбање
Лак: У правоуглом троуглу дужине катета су \( a = 6 \) и \( b = 8 \). Колика је хипотенуза \( c \)?
Примењујемо Питагорину теорему:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ c = \sqrt{100} = 10 \]
Средњи: Дати су позитивни бројеви \( x = 4 \) и \( y = 16 \). Израчунај њихову аритметичку и геометријску средину и провери да ли важи неједнакост средина.
Аритметичка средина: \( \frac{x + y}{2} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
Геометријска средина: \( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8 \)
Пошто је \( 8 \leq 10 \), неједнакост \( \sqrt{x \cdot y} \leq \frac{x+y}{2} \) важи.
Геометријска средина: \( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8 \)
Пошто је \( 8 \leq 10 \), неједнакост \( \sqrt{x \cdot y} \leq \frac{x+y}{2} \) важи.
Средњи: Из тачке \( P \) ван кружнице повучена је сечица која сече кружницу у тачкама \( A \) и \( B \), тако да је \( PA = 4 \) и \( AB = 5 \). Колика је дужина тангентне дужи \( PT \) повучене из исте тачке \( P \)?
Прво одређујемо растојања од \( P \) до пресечних тачака: \( PA = 4 \), а \( PB = PA + AB = 4 + 5 = 9 \).
Према теореми о тангенти и сечици: \[ PT^2 = PA \cdot PB \] \[ PT^2 = 4 \cdot 9 = 36 \] \[ PT = 6 \]
Према теореми о тангенти и сечици: \[ PT^2 = PA \cdot PB \] \[ PT^2 = 4 \cdot 9 = 36 \] \[ PT = 6 \]
Тежак: У правоуглом троуглу катета \( a \) је \( 6 \), а хипотенуза \( c \) је \( 10 \). Израчунај дужину одсечака \( p \) и \( q \) на које висина \( h_c \) дели хипотенузу, као и саму висину \( h_c \).
1. Користимо теорему о катети \( a^2 = c \cdot q \):
\( 6^2 = 10 \cdot q \implies 36 = 10 \cdot q \implies q = 3.6 \)
2. Знамо да је \( c = p + q \):
\( 10 = p + 3.6 \implies p = 10 - 3.6 = 6.4 \)
3. За висину користимо \( h_c^2 = p \cdot q \):
\( h_c^2 = 6.4 \cdot 3.6 = 23.04 \implies h_c = 4.8 \)
\( 6^2 = 10 \cdot q \implies 36 = 10 \cdot q \implies q = 3.6 \)
2. Знамо да је \( c = p + q \):
\( 10 = p + 3.6 \implies p = 10 - 3.6 = 6.4 \)
3. За висину користимо \( h_c^2 = p \cdot q \):
\( h_c^2 = 6.4 \cdot 3.6 = 23.04 \implies h_c = 4.8 \)
