Најважније из лекције
Основни кинематички закони: Елонгација је \( x = A\cos(\omega t+\varphi_0) \), брзина \( v = -\omega A\sin(\omega t+\varphi_0) \), а убрзање \( a = -\omega^2 x \). Брзина максималну вредност \( v_0 = \omega A \) има при проласку кроз равнотежни положај, а убрзање \( a_0 = \omega^2 A \) у амплитудним положајима.
Осцилаторни системи:
Пригушене и принудне осцилације: Сила отпора средине доводи до експоненцијалног опадања амплитуде \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \). Периодична спољашња сила изазива принудне осцилације, при чему изједначавање њене фреквенције са сопственом учестаношћу осцилатора (\( \Omega \approx \omega_0 \)) доводи до резонанције (максималне амплитуде).
Осцилаторни системи:
- Тело на опрузи: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)
- Математичко клатно: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \) (не зависи од масе)
- Физичко клатно: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}} = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}} \)
- LC коло: \( T = 2\pi\sqrt{LC} \) (електромагнетне осцилације)
Пригушене и принудне осцилације: Сила отпора средине доводи до експоненцијалног опадања амплитуде \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \). Периодична спољашња сила изазива принудне осцилације, при чему изједначавање њене фреквенције са сопственом учестаношћу осцилатора (\( \Omega \approx \omega_0 \)) доводи до резонанције (максималне амплитуде).
Периодично кретање је кретање које се после одређеног временског интервала (периода \( T \)) понавља на истоветан начин. Хармонијске осцилације су осцилације које се описују простим синусним или косинусним функцијама.
\( x \) – елонгација (тренутна удаљеност од равнотежног положаја); \( A \) или \( x_0 \) – амплитуда (максимална елонгација); \( T \) – период; \( \nu \) – фреквенција; \( \omega \) – кружна учестаност; \( \varphi = \omega t + \varphi_0 \) – фаза осциловања; \( \varphi_0 \) – почетна фаза.
\( [T] = \text{s} \); \( [\nu] = \text{Hz} = \text{s}^{-1} \); \( [\omega] = \frac{\text{rad}}{\text{s}} \); \( [\varphi] = \text{rad} \).
\[ T = \frac{t}{n}, \qquad \nu = \frac{1}{T}, \qquad \omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T} \]
Зависност кинематичких величина од времена:
\[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0) \]
\[ v(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi_0) = -v_0 \sin(\omega t + \varphi_0), \quad \text{где је } v_0 = \omega A \]
\[ a(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi_0) = -a_0 \cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t), \quad \text{где је } a_0 = \omega^2 A \]
\( v_0 \) и \( a_0 \) представљају максималну брзину и максимално убрзање осцилатора.
Брзина осцилатора фазно предњачи у односу на елонгацију за \( \frac{\pi}{2} \) (достиже максимум при проласку кроз равнотежни положај \( x=0 \)), док је убрзање у противфази са елонгацијом (померено за \( \pi \)), односно максимално је у амплитудним положајима (\( x = \pm A \)).
Ако је једначина осциловања \( x = 0{,}05 \cos(10\pi t) \text{ m} \), амплитуда је \( A = 0{,}05\text{ m} \), кружна фреквенција \( \omega = 10\pi\text{ rad/s} \), фреквенција \( \nu = \frac{10\pi}{2\pi} = 5\text{ Hz} \), период \( T = 0{,}2\text{ s} \), а максимална брзина \( v_0 = \omega A = 0{,}5\pi \approx 1{,}57\text{ m/s} \).
Хармонијско осциловање настаје под дејством повратне (реституционе) силе која је сразмерна елонгацији и увек усмерена ка равнотежном положају.
Повратна сила:
\[ F = -k x \]
Једначина кретања хармонијског осцилатора (II Њутнов закон):
\[ ma = -kx \implies a + \frac{k}{m}x = 0 \implies a + \omega^2 x = 0 \]
Кружна учестаност и период тела на опрузи:
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
\( m \) – маса тела, \( k \) – константа еластичности (реституциона константа).
Изохроност осциловања: Период хармонијског осциловања тела на еластичној опрузи зависи искључиво од масе тела \( m \) и константе \( k \), а не зависи од амплитуде осциловања \( A \).
У изолованом осцилаторном систему без губитака енергије, укупна механичка енергија је очувана и непрекидно прелази из потенцијалне у кинетичку и обратно.
Потенцијална енергија:
\[ E_p(t) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \varphi_0) \]
Кинетичка енергија:
\[ E_k(t) = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi_0) \]
Укупна механичка енергија:
\[ E = E_p + E_k = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}m v_0^2 = \text{const.} \]
Потенцијална и кинетичка енергија мењају се са два пута већом фреквенцијом (\( 2\nu \)) и два пута мањим периодом (\( T/2 \)) од фреквенције и периода осциловања самог тела:
- Равнотежни положај (\( x = 0 \)): \( E_p = 0 \), а кинетичка енергија је максимална: \( E_k = E_{k\max} = E \).
- Амплитудни положај (\( x = \pm A \)): \( E_k = 0 \) (тело тренутно мирује), а потенцијална енергија је максимална: \( E_p = E_{p\max} = E \).
Математичко клатно је тело малих димензија масе \( m \) обешено о неистегљиву нит занемарљиве масе дужине \( l \), које осцилује под дејством силе Земљине теже.
Физичко клатно је круто тело произвољног облика које под дејством силе теже може да осцилује око непокретне хоризонталне осе која не пролази кроз његов центар масе.
Математичко клатно (за мале углове отклона \( \theta < 15^\circ \), где је \( \sin\theta \approx \theta \)):
\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]
Физичко клатно:
\[ I\alpha = -mgl\theta \implies \omega = \sqrt{\frac{mgl}{I}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}} \]
Редукована дужина физичког клатна:
\[ L_0 = \frac{I}{ml} \implies T = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}} \]
\( I \) – момент инерције тела у односу на осу осциловања, \( l \) – удаљеност центра масе од осе осциловања, \( g \) – гравитационо убрзање.
Период математичког клатна не зависи од масе куглице нити од амплитуде (за мале отклоне), већ зависи искључиво од дужине нити \( l \) и локалног гравитационог убрзања \( g \).
Слагање осцилација истог правца и периода: Резултујуће осциловање има исту кружну учестаност \( \omega \), а резултујућа амплитуда зависи од фазне разлике:
\[ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\varphi_{02} - \varphi_{01})} \]
Граничне вредности: \( |A_1 - A_2| \leq A \leq A_1 + A_2 \). За \( \Delta\varphi = 0 \) амплитуде се сабирају, а за \( \Delta\varphi = \pi \) одузимају.
Избијање (пулсирање): Настаје слагањем две осцилације истог правца и једнаких амплитуда чије се кружне учестаности врло мало разликују (\( \omega_2 - \omega_1 \ll \omega_1 + \omega_2 \)). Амплитуда периодично расте и опада фреквенцијом \( \omega_A = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} \).
Модулација: Процес утискивања нискофреквентног корисног сигнала на високофреквентни носећи талас променом амплитуде (АМ), фреквенције (ФМ) или фазе.
Лисажуове фигуре: Трајекторије настале слагањем два узајамно нормална осциловања.
Фуријеова анализа: Свако сложено периодично кретање може се разложити на збир простих хармонијских осцилација (Фуријеов ред) са фреквенцијама које су целобројни умношци основне учестаности. Графички приказ њихових амплитуда назива се спектар осцилација.
Лисажуове фигуре: Трајекторије настале слагањем два узајамно нормална осциловања.
Фуријеова анализа: Свако сложено периодично кретање може се разложити на збир простих хармонијских осцилација (Фуријеов ред) са фреквенцијама које су целобројни умношци основне учестаности. Графички приказ њихових амплитуда назива се спектар осцилација.
Пригушене осцилације настају када на систем делује сила отпора средине \( F = -rv \). Амплитуда осциловања експоненцијално опада са временом.
Једначина пригушених осцилација:
\[ a = -\omega_0^2 x - 2\beta v, \qquad \text{где је коефицијент пригушења } \beta = \frac{r}{2m} \]
Зависност положаја од времена:
\[ x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0), \qquad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \]
Степен пригушења и логаритамски декремент:
\[ \frac{A_n}{A_{n+1}} = e^{\beta T}, \qquad \delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right) = \beta T \]
Принудне осцилације настају под дејством спољашње периодичне силе \( F(t) = F_0 \cos(\Omega t) \). Након смиривања сопствених осцилација, осцилатор се креће кружном учестаношћу принудне силе \( \Omega \).
Амплитуда принудних осцилација (без пригушења):
\[ A = \frac{F_0}{m|\omega_0^2 - \Omega^2|} \]
Резонантна кружна учестаност (уз пригушење):
\[ \Omega_{\text{rez}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} \]
Резонанција: Појава наглог повећања амплитуде принудног осциловања када се фреквенција спољашње силе приближи сопственој фреквенцији осцилатора (\( \Omega \approx \omega_0 \)).
Електрично осцилаторно коло састоји се од редно везаног кондензатора капацитивности \( C \) и завојнице (калема) индуктивности \( L \). У колу долази до периодичног претварања енергије електричног поља кондензатора у енергију магнетног поља калема и обратно.
Томсонов образац за период и кружна учестаност осциловања LC кола:
\[ T = 2\pi\sqrt{LC}, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
Хармонијска промена наелектрисања и струје:
\[ q(t) = q_0 \cos(\omega t), \qquad i(t) = -I_0 \sin(\omega t), \quad \text{где је } I_0 = \omega q_0 \]
Закон одржања енергије у идеалном LC колу:
\[ E = E_e + E_m = \frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}Li^2 = \frac{q_0^2}{2C} = \frac{1}{2}L I_0^2 = \text{const.} \]
Аналогија механичког осцилатора и LC кола:
| Величина | Механички осцилатор | LC коло |
|---|---|---|
| Координата / Стање | Елонгација \( x \) | Наелектрисање \( q \) |
| Брзина промене | Брзина \( v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \) | Струја \( i = \frac{\Delta q}{\Delta t} \) |
| Инертност | Маса \( m \) | Индуктивност \( L \) |
| Крутост / Реактивност | Константа опруге \( k \) | Реципрочна капацитивност \( \frac{1}{C} \) |
| Потенцијална енергија | \( E_p = \frac{1}{2}kx^2 \) | \( E_e = \frac{q^2}{2C} \) |
| Кинетичка енергија | \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \) | \( E_m = \frac{1}{2}Li^2 \) |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак ниво): Математичко клатно дужине \( 0{,}981 \text{ m} \) осцилује на месту где је гравитационо убрзање \( g = 9{,}81 \text{ m/s}^2 \). Одредити период и фреквенцију осциловања овог клатна.
Период осциловања математичког клатна:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}981\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{0{,}1} \approx 6{,}28 \cdot 0{,}3162 \approx 1{,}99 \text{ s} \approx 2 \text{ s}. \]
Фреквенција:
\[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\text{ s}} = 0{,}5 \text{ Hz}. \]
Одговор: Период је \( \approx 2\text{ s} \), а фреквенција је \( 0{,}5\text{ Hz} \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Тело масе \( 50\text{ g} \) окачено је о еластичну опругу и осцилује са амплитудом \( A = 4\text{ cm} \) и фреквенцијом \( \nu = 5\text{ Hz} \). Израчунати константу еластичности опруге \( k \), максималну брзину тела \( v_0 \) и укупну механичку енергију осцилатора.
Подаци: \( m = 0{,}05\text{ kg} \), \( A = 0{,}04\text{ m} \), \( \nu = 5\text{ Hz} \).
1. Кружна учестаност: \[ \omega = 2\pi\nu = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4\text{ rad/s}. \] 2. Константа опруге: \[ \omega^2 = \frac{k}{m} \implies k = m\omega^2 = 0{,}05\text{ kg} \cdot (31{,}4\text{ rad/s})^2 \approx 49{,}3\text{ N/m}. \] 3. Максимална брзина: \[ v_0 = \omega A = 31{,}4\text{ rad/s} \cdot 0{,}04\text{ m} \approx 1{,}256\text{ m/s}. \] 4. Укупна енергија: \[ E = \frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}05\text{ kg} \cdot (1{,}256\text{ m/s})^2 \approx 0{,}0394\text{ J} = 39{,}4\text{ mJ}. \] Одговор: \( k \approx 49{,}3\text{ N/m} \), \( v_0 \approx 1{,}26\text{ m/s} \), \( E \approx 39{,}4\text{ mJ} \).
1. Кружна учестаност: \[ \omega = 2\pi\nu = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4\text{ rad/s}. \] 2. Константа опруге: \[ \omega^2 = \frac{k}{m} \implies k = m\omega^2 = 0{,}05\text{ kg} \cdot (31{,}4\text{ rad/s})^2 \approx 49{,}3\text{ N/m}. \] 3. Максимална брзина: \[ v_0 = \omega A = 31{,}4\text{ rad/s} \cdot 0{,}04\text{ m} \approx 1{,}256\text{ m/s}. \] 4. Укупна енергија: \[ E = \frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}05\text{ kg} \cdot (1{,}256\text{ m/s})^2 \approx 0{,}0394\text{ J} = 39{,}4\text{ mJ}. \] Одговор: \( k \approx 49{,}3\text{ N/m} \), \( v_0 \approx 1{,}26\text{ m/s} \), \( E \approx 39{,}4\text{ mJ} \).
Задатак 3 (Средњи/Напредни ниво): Идеално електрично осцилаторно коло састоји се од кондензатора капацитивности \( C = 2\text{ }\mu\text{F} \) и калема индуктивности \( L = 20\text{ mH} \). Кондензатор је првобитно напуњен до максималног напона \( U_0 = 60\text{ V} \). Израчунати период електромагнетних осцилација у колу и максималну јачину струје \( I_0 \).
Подаци: \( C = 2 \cdot 10^{-6}\text{ F} \), \( L = 20 \cdot 10^{-3}\text{ H} \), \( U_0 = 60\text{ V} \).
1. Период осциловања (Томсонов образац): \[ T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{20 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-8}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-4} \approx 1{,}257 \cdot 10^{-3}\text{ s} = 1{,}26\text{ ms}. \] 2. Из закона одржања енергије у осцилаторном колу: \[ E_{e\max} = E_{m\max} \implies \frac{1}{2}C U_0^2 = \frac{1}{2}L I_0^2 \implies I_0 = U_0\sqrt{\frac{C}{L}} \] \[ I_0 = 60\text{ V} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\text{ F}}{20 \cdot 10^{-3}\text{ H}}} = 60 \cdot \sqrt{10^{-4}} = 60 \cdot 10^{-2} = 0{,}6\text{ A}. \] Одговор: Период је \( T \approx 1{,}26\text{ ms} \), а максимална струја је \( I_0 = 0{,}6\text{ A} \).
1. Период осциловања (Томсонов образац): \[ T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{20 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = 2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-8}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-4} \approx 1{,}257 \cdot 10^{-3}\text{ s} = 1{,}26\text{ ms}. \] 2. Из закона одржања енергије у осцилаторном колу: \[ E_{e\max} = E_{m\max} \implies \frac{1}{2}C U_0^2 = \frac{1}{2}L I_0^2 \implies I_0 = U_0\sqrt{\frac{C}{L}} \] \[ I_0 = 60\text{ V} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\text{ F}}{20 \cdot 10^{-3}\text{ H}}} = 60 \cdot \sqrt{10^{-4}} = 60 \cdot 10^{-2} = 0{,}6\text{ A}. \] Одговор: Период је \( T \approx 1{,}26\text{ ms} \), а максимална струја је \( I_0 = 0{,}6\text{ A} \).
Задатак 4 (Напредни ниво): Танки хомогени штап масе \( m \) и дужине \( L = 0{,}9\text{ m} \) осцилује као физичко клатно око хоризонталне осе која пролази кроз један његов крај. Узети \( g = 9{,}81\text{ m/s}^2 \). Одредити редуковану дужину клатна \( L_0 \) и период његовог осциловања \( T \).
1. Центар масе хомогеног штапа је на средини, па је удаљеност од осе осциловања \( l = \frac{L}{2} \).
2. Момент инерције за осу кроз крај штапа (према Штајнеровој теореми): \[ I = \frac{1}{12}m L^2 + m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{3}m L^2. \] 3. Редукована дужина физичког клатна: \[ L_0 = \frac{I}{ml} = \frac{\frac{1}{3}m L^2}{m \frac{L}{2}} = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \cdot 0{,}9\text{ m} = 0{,}6\text{ m}. \] 4. Период осциловања: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}6\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}06116} \approx 6{,}28 \cdot 0{,}2473 \approx 1{,}55\text{ s}. \] Одговор: Редукована дужина је \( L_0 = 0{,}6\text{ m} \), а период осциловања је \( T \approx 1{,}55\text{ s} \).
2. Момент инерције за осу кроз крај штапа (према Штајнеровој теореми): \[ I = \frac{1}{12}m L^2 + m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{3}m L^2. \] 3. Редукована дужина физичког клатна: \[ L_0 = \frac{I}{ml} = \frac{\frac{1}{3}m L^2}{m \frac{L}{2}} = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \cdot 0{,}9\text{ m} = 0{,}6\text{ m}. \] 4. Период осциловања: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}6\text{ m}}{9{,}81\text{ m/s}^2}} \approx 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}06116} \approx 6{,}28 \cdot 0{,}2473 \approx 1{,}55\text{ s}. \] Одговор: Редукована дужина је \( L_0 = 0{,}6\text{ m} \), а период осциловања је \( T \approx 1{,}55\text{ s} \).
