Најважније из лекције
Извори и поље: Магнетно поље стварају магнети и покретна наелектрисања / струје. Поље је вртложно (затворене линије, \( \Phi_{\text{zatvoreno}} = 0 \)). Јачина се описује магнетном индукцијом \( \vec{B} \) (тесла, Т) и флуксом \( \Phi = B S \cos\theta \) (вебер, Wb).
Деловање поља:
Деловање поља:
- На покретно наелектрисање делује Лоренцова сила: \( F = q v B \sin\theta \) (нормална на брзину, улога центрипеталне силе код кружног кретања: \( r = \frac{mv}{qB} \)).
- На струјни проводник делује Амперова сила: \( F = I L B \sin\theta \). Паралелни проводници са истосмерним струјама се привлаче, а са супротносмерним одбијају.
- На струјни рам делује спрег сила са моментом \( M = p_m B \cos\alpha \) (основа електромотора и мерних инструмената).
- Дијамагнетици (\( \mu_r < 1 \)): незнатно слабе поље, потискују се из њега (вода, бакар, бизмут).
- Парамагнетици (\( \mu_r > 1 \)): незнатно појачавају поље (алуминијум, платина).
- Феромагнетици (\( \mu_r \gg 1 \)): вишеструко појачавају поље захваљујући доменима и могу се трајно намагнетисати (гвожђе, никл, кобалт); изнад Киријеве температуре губе феромагнетна својства.
Магнетно поље је посебан облик материје којим се преноси магнетно узајамно деловање између магнета, наелектрисаних честица у кретању и струјних проводника.
Магнетни полови (северни – N и јужни – S) не могу се раздвојити. Деобом магнета увек настају два нова магнета, сваки са својим северним и јужним полом (магнетни монополи не постоје у природи).
Истоимени магнетни полови се одбијају, док се разноимени магнетни полови привлаче.
Земљино магнетно поље: Планета Земља се понаша као велики магнет. У близини северног географског пола налази се јужни магнетни пол Земље (уз мало одступање – угао деклинације).
Ерстедов оглед (1820): Протицање електричне струје кроз проводник скреће магнетну иглу компаса, што доказује да свако покретно наелектрисање ствара магнетно поље око себе.
Магнетна индукција: \( \vec{B} \) (векторска величина која описује јачину и смер магнетног поља).
Тесла (\(\text{T}\)), где је \( 1\,\text{T} = 1\,\frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}} = 10^4\,\text{G} \) (гаус).
Веза магнетне индукције \( \vec{B} \) и јачине магнетног поља \( \vec{H} \) у вакууму:
\[ \vec{B} = \mu_0 \vec{H} \]
\( \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}} \) – магнетна пропустљивост (пермеабилност) вакуума.
Магнетна индукција различитих струјних проводника:
| Облик проводника | Формула за интензитет \( B \) | Одређивање смера |
|---|---|---|
| Бесконачно дуг праволинијски проводник | \[ B = \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{r} \] | Правило десне руке: Палац у смеру струје \( I \), савијени прсти показују смер линија поља. |
| Кружна струјна контура (у центру полупречника \( r \)) | \[ B = \frac{\mu_0}{2} \cdot \frac{I}{r} \] | Правило десног завртња: Обртање у смеру струје показује напредовање поља кроз центар. |
| Соленоид (калем) | Поље у унутрашњости дугачког соленоида је хомогено (линије су паралелне и једнако размакнуте). | Прсти десне руке обухватају соленоид у смеру струје у навојцима, палац показује смер поља унутар њега. |
Принцип суперпозиције: Ако поље потиче од више извора, укупна индукција једнака је векторском збиру: \( \vec{B} = \sum \vec{B}_i \).
Линије магнетног поља су затворене, непрекидне криве без почетка и краја (магнетно поље је вртложно поље). Изван магнета усмерене су од северног (N) ка јужном (S) полу, а унутар магнета од јужног (S) ка северном (N).
Магнетни флукс (\( \Phi \)): Скаларна физичка величина сразмерна броју линија магнетног поља које пролазе кроз одређену површину.
Вебер (\(\text{Wb}\)), где је \( 1\,\text{Wb} = 1\,\text{T}\cdot\text{m}^2 \).
Магнетни флукс хомогеног поља кроз равну површину \( S \):
\[ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos\theta \]
\( \theta \) – угао између вектора индукције \( \vec{B} \) и вектора нормале \( \vec{n} \) на површину.
- Када су линије поља нормалне на површину (\( \theta = 0^\circ \)): \( \Phi_{\text{max}} = B \cdot S \).
- Када линије поља леже у равни површине (\( \theta = 90^\circ \)): \( \Phi = 0 \).
Гаусова теорема за магнетизам: Укупан магнетни флукс кроз било коју затворену површину једнак је нули (\( \Phi_{\text{zatvoreno}} = 0 \)), јер не постоје магнетни монополи.
Лоренцова сила је сила којом магнетно поље делује на наелектрисану честицу која се у њему креће.
Векторски облик:
\[ \vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B}) \]
Интензитет силе:
\[ F = |q| \cdot v \cdot B \cdot \sin\theta \]
\( \theta \) – угао између вектора брзине \( \vec{v} \) и вектора магнетне индукције \( \vec{B} \).
Смер Лоренцове силе (Правило десне руке): Поставити десну шаку тако да отворени палац показује смер брзине \( \vec{v} \), а испружени прсти смер магнетне индукције \( \vec{B} \). За позитивно наелектрисање (\( q > 0 \)), сила делује нормално од длана. За негативно наелектрисање (\( q < 0 \)), сила делује у супротном смеру (ка длану).
Лоренцова сила је увек нормална на правац брзине честице (\( \vec{F} \perp \vec{v} \)), што значи да не врши рад (\( A = 0 \)) и не мења кинетичку енергију ни интензитет брзине честице, већ само њен правац кретања.
Облици трајекторије честице у хомогеном магнетном пољу:
- Праволинијско кретање: када се честица креће паралелно линијама поља (\( \theta = 0^\circ \) или \( 180^\circ \implies F = 0 \)).
- Равномерно кружно кретање: када честица улети нормално на линије поља (\( \theta = 90^\circ \)). Лоренцова сила има улогу центрипеталне силе (\( qvB = \frac{mv^2}{r} \)):
Полупречник путање: \[ r = \frac{m \cdot v}{|q| \cdot B} \] Период обртања: \[ T = \frac{2\pi \cdot m}{|q| \cdot B} \]
- Кретање по завојници (хеликоиди): када брзина заклапа произвољан угао \( \theta \). Нормална компонента брзине \( v_n = v\sin\theta \) узрокује кружење, а паралелна компонента \( v_p = v\cos\theta \) равномерно праволинијско транслаторно померање дуж линија поља. Корак завојнице је \( p = v_p \cdot T \).
Укрштена поља (електрично и магнетно): Резултујућа сила на честицу је векторски збир:
\[ \vec{F} = q \cdot \vec{E} + q \cdot (\vec{v} \times \vec{B}) \]
Специфично наелектрисање је однос количине наелектрисања и масе честице (\( \frac{q}{m} \)).
Џозеф Џон Томсон је у катодној цеви укрстио електрично и магнетно поље тако да су се њихове силе поништавале (\( eE = evB \implies v = \frac{E}{B} \)). Уз убрзавајући напон аноде \( U \), одредио је специфично наелектрисање електрона:
\[ \frac{e}{m} = \frac{E^2}{2 \cdot U \cdot B^2} \approx 1{,}76 \cdot 10^{11}\,\frac{\text{C}}{\text{kg}} \]
Овај оглед представља експериментално откриће електрона.
Масени спектрометар: Уређај који на основу различитих полупречника путања јона у магнетном пољу раздваја честице по маси и омогућава детекцију изотопа.
Циклотрон: Акцелератор (убрзивач) наелектрисаних честица који се састоји од две полукружне шупље електроде (дуанти) у јаком магнетном пољу. Магнетно поље закривљује путању честица у полукругове, а високофреквентно електрично поље у процепу између дуаната вишеструко убрзава честицу док се она креће по спиралној путањи.
Амперова сила је сила којом магнетно поље делује на проводник кроз који протиче електрична струја (резултат деловања Лоренцових сила на све покретне носиоце наелектрисања у проводнику).
Векторски облик:
\[ \vec{F} = I \cdot (\vec{L} \times \vec{B}) \]
Интензитет:
\[ F = I \cdot L \cdot B \cdot \sin\theta \]
\( \theta \) – угао између правца проводника (смера струје) и вектора \( \vec{B} \).
Смер Амперове силе: Одређује се правилом десне руке – палац у смеру струје \( I \), прсти у смеру \( \vec{B} \), сила излази нормално из длана.
Узајамно деловање два паралелна праволинијска струјна проводника:
Интензитет силе којом проводници на међусобном растојању \( r \) делују један на други на дужини \( L \):
\[ F = \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2}{2\pi \cdot r} \cdot L \]
- Струје истог смера се привлаче.
- Струје супротних смерова се одбијају.
Сила по јединици дужине проводника \( \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} \) износи \( 2 \cdot 10^{-7}\,\text{N/m} \) за струје од \( 1\,\text{A} \) на растојању од \( 1\,\text{m} \) у вакууму (ранија дефиниција мерне јединице ампер).
Када се затворени правоугаони струјни рам површине \( S \) нађе у хомогеном магнетном пољу, Амперове силе које делују на његове наспрамне странице образују спрег сила који тежи да заротира рам.
Магнетни момент струјне контуре (\( p_m \)):
\[ p_m = I \cdot S \]
Момент спрега сила (\( M \)):
\[ M = I \cdot S \cdot B \cdot \cos\alpha = p_m \cdot B \cdot \cos\alpha \]
\( \alpha \) – угао између равни струјне контуре и линија магнетног поља.
- Момент је максималан када је раван рама паралелна пољу (\( \alpha = 0^\circ \implies M_{\text{max}} = p_m B \)).
- Момент је једнак нули када је раван рама нормална на поље (\( \alpha = 90^\circ \implies M = 0 \)).
Примена: На овом принципу заснива се рад електромотора (претварање електричне енергије у механички рад) и аналогних електричних мерних инструмената (галванометар, амперметар са покретним калемом).
Магнетици су сви материјали који у спољашњем магнетном пољу мењају његову јачину. Укупан магнетни момент атома чине орбитални магнетни моменти електрона (\( p_m = \frac{e}{2m}L \)) и сопствени магнетни моменти електрона – спинови.
Резултујућа магнетна индукција у средини:
\[ \vec{B} = \mu_r \vec{B}_0 \]
\( \mu_r = 1 + \chi \) – релативна магнетна пропустљивост (пермеабилност), \( \chi \) – магнетна сусцептибилност.
| Врста магнетика | Особине и релативна пермеабилност | Понашање у пољу | Примери |
|---|---|---|---|
| Дијамагнетици | \( \mu_r < 1 \) (незнатно мање од 1). Атоми немају сопствени момент ван поља; у пољу се индукује супротан момент. | Незнатно слабе спољашње поље; нехомогено поље их потискује ка слабијем делу (магнетна левитација). | Бизмут, бакар, злато, вода, графит, жива ткива. |
| Парамагнетици | \( \mu_r > 1 \) (незнатно веће од 1). Атоми су стални магнетни диполи хаотично усмерени услед топлотног кретања. | Мало појачавају спољашње поље; нехомогено поље их увлачи ка јачем делу. Пораст температуре слаби ефекат. | Алуминијум, кисеоник, платина, магнезијум, калцијум. |
| Феромагнетици | \( \mu_r \gg 1 \) (хиљадама пута веће). Имају доменску структуру (спонтано намагнетисане микрообласти од око \( 10^{15} \) атома). | Вишеструко појачавају поље и могу се трајно намагнетисати оријентацијом домена. | Гвожђе (\(\text{Fe}\)), никл (\(\text{Ni}\)), кобалт (\(\text{Co}\)) и њихове легуре. |
Киријева температура (\( T_k \)): Температура изнад које се нарушава доменска структура феромагнетика и он губи феромагнетна својства, прелазећи у парамагнетик (за гвожђе \( 770^\circ\text{C} \), за никл \( 358^\circ\text{C} \)).
Хистерезисна петља: Графички приказ зависности магнетне индукције \( B \) од јачине спољашњег поља \( B_0 \) при циклусу намагнетисавања и размагнетисавања феромагнетика.
- Заостала (реманентна) индукција \( B_r \): Индукција која остаје у материјалу након искључивања спољашњег поља (\( B_0 = 0 \)).
- Коерцитивно поље (коерцитивна сила): Јачина супротног спољашњег поља потребна да се материјал потпуно размагнетише (\( B = 0 \)). Тврди магнетни материјали имају велику коерцитивну силу (за сталне магнете), а меки магнетни материјали малу (за језгра трансформатора и електромагнета).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки): Израчунати магнетну индукцију на растојању од \( 5\,\text{cm} \) од праволинијског проводника кроз који тече струја јачине \( 10\,\text{A} \) у вакууму.
Познато: \( r = 5\,\text{cm} = 0{,}05\,\text{m} \), \( I = 10\,\text{A} \), \( \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}} \).
Формула: \[ B = \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{r} \] Рачун: \[ B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{2\pi} \cdot \frac{10}{0{,}05} = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 200 = 4 \cdot 10^{-5}\,\text{T} = 40\,\mu\text{T} \] Одговор: Магнетна индукција износи \( 40\,\mu\text{T} \).
Формула: \[ B = \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{r} \] Рачун: \[ B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{2\pi} \cdot \frac{10}{0{,}05} = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 200 = 4 \cdot 10^{-5}\,\text{T} = 40\,\mu\text{T} \] Одговор: Магнетна индукција износи \( 40\,\mu\text{T} \).
Задатак 2 (Средњи): Протон (\( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \), \( m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \)) улеће брзином \( v = 2 \cdot 10^6\,\text{m/s} \) у хомогено магнетно поље индукције \( B = 0{,}5\,\text{T} \) под правим углом на линије поља. Одредити полупречник кружне путање и период обртања протона.
Познато: \( q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \), \( m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \), \( v = 2 \cdot 10^6\,\text{m/s} \), \( B = 0{,}5\,\text{T} \), \( \theta = 90^\circ \).
1. Полупречник путање: \[ r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 2 \cdot 10^6\,\text{m/s}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}5\,\text{T}} = \frac{3{,}34 \cdot 10^{-21}}{0{,}8 \cdot 10^{-19}} \approx 0{,}0418\,\text{m} = 4{,}18\,\text{cm} \] 2. Период обртања: \[ T = \frac{2\pi \cdot m}{q \cdot B} = \frac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}5} \approx 1{,}31 \cdot 10^{-7}\,\text{s} \] Одговор: Полупречник путање протона је \( 4{,}18\,\text{cm} \), а период обртања је \( 1{,}31 \cdot 10^{-7}\,\text{s} \).
1. Полупречник путање: \[ r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 2 \cdot 10^6\,\text{m/s}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}5\,\text{T}} = \frac{3{,}34 \cdot 10^{-21}}{0{,}8 \cdot 10^{-19}} \approx 0{,}0418\,\text{m} = 4{,}18\,\text{cm} \] 2. Период обртања: \[ T = \frac{2\pi \cdot m}{q \cdot B} = \frac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}5} \approx 1{,}31 \cdot 10^{-7}\,\text{s} \] Одговор: Полупречник путање протона је \( 4{,}18\,\text{cm} \), а период обртања је \( 1{,}31 \cdot 10^{-7}\,\text{s} \).
Задатак 3 (Средњи): Квадратни проводни рам странице \( a = 10\,\text{cm} \) налази се у хомогеном магнетном пољу индукције \( B = 0{,}4\,\text{T} \). Одредити магнетни флукс кроз рам ако линије поља заклапају са равни рама угао од \( 30^\circ \).
Познато: \( a = 0{,}1\,\text{m} \implies S = a^2 = 0{,}01\,\text{m}^2 \), \( B = 0{,}4\,\text{T} \), угао са равни рама \( \alpha = 30^\circ \).
Анализа угла: Угао \( \theta \) у формули за флукс је угао између вектора \( \vec{B} \) и нормале \( \vec{n} \) на површину, па је: \[ \theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Рачун: \[ \Phi = B \cdot S \cdot \cos\theta = 0{,}4\,\text{T} \cdot 0{,}01\,\text{m}^2 \cdot \cos 60^\circ = 0{,}004 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb} = 2\,\text{mWb} \] Одговор: Магнетни флукс кроз рам износи \( 2\,\text{mWb} \).
Анализа угла: Угао \( \theta \) у формули за флукс је угао између вектора \( \vec{B} \) и нормале \( \vec{n} \) на површину, па је: \[ \theta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Рачун: \[ \Phi = B \cdot S \cdot \cos\theta = 0{,}4\,\text{T} \cdot 0{,}01\,\text{m}^2 \cdot \cos 60^\circ = 0{,}004 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb} = 2\,\text{mWb} \] Одговор: Магнетни флукс кроз рам износи \( 2\,\text{mWb} \).
Задатак 4 (Тежи): Два дуга паралелна проводника налазе се у вакууму на међусобном растојању од \( 8\,\text{cm} \). Кроз проводнике теку струје \( I_1 = 20\,\text{A} \) и \( I_2 = 30\,\text{A} \) у супротним смеровима. Коликом силом и каквог карактера делују проводници један на други на дужини од \( 2\,\text{m} \)? Колика је резултујућа магнетна индукција у тачки која се налази тачно на средини између њих?
Познато: \( d = 8\,\text{cm} = 0{,}08\,\text{m} \), \( I_1 = 20\,\text{A} \), \( I_2 = 30\,\text{A} \), \( L = 2\,\text{m} \), \( \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\frac{\text{Tm}}{\text{A}} \).
1. Интензитет и карактер силе: Пошто струје теку у супротним смеровима, проводници се одбијају. \[ F = \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2}{2\pi \cdot d} \cdot L = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 20 \cdot 30}{2\pi \cdot 0{,}08} \cdot 2 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 600 \cdot 2}{0{,}08} = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{N} = 3\,\text{mN} \] 2. Резултујућа магнетна индукција у средини (\( r = \frac{d}{2} = 0{,}04\,\text{m} \)): Применом правила десне руке за супротне смерове струја, у тачки између проводника вектори индукција \( \vec{B}_1 \) и \( \vec{B}_2 \) имају исти смер, па се њихови интензитети сабирају: \[ B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 20}{0{,}04} = 10^{-4}\,\text{T} \] \[ B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 30}{0{,}04} = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{T} \] \[ B_{\text{ukupno}} = B_1 + B_2 = 10^{-4} + 1{,}5 \cdot 10^{-4} = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{T} = 0{,}25\,\text{mT} \] Одговор: Проводници се одбијају силом од \( 3\,\text{mN} \), а укупна магнетна индукција на средини износи \( 0{,}25\,\text{mT} \).
1. Интензитет и карактер силе: Пошто струје теку у супротним смеровима, проводници се одбијају. \[ F = \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2}{2\pi \cdot d} \cdot L = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 20 \cdot 30}{2\pi \cdot 0{,}08} \cdot 2 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 600 \cdot 2}{0{,}08} = 3 \cdot 10^{-3}\,\text{N} = 3\,\text{mN} \] 2. Резултујућа магнетна индукција у средини (\( r = \frac{d}{2} = 0{,}04\,\text{m} \)): Применом правила десне руке за супротне смерове струја, у тачки између проводника вектори индукција \( \vec{B}_1 \) и \( \vec{B}_2 \) имају исти смер, па се њихови интензитети сабирају: \[ B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 20}{0{,}04} = 10^{-4}\,\text{T} \] \[ B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 30}{0{,}04} = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{T} \] \[ B_{\text{ukupno}} = B_1 + B_2 = 10^{-4} + 1{,}5 \cdot 10^{-4} = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{T} = 0{,}25\,\text{mT} \] Одговор: Проводници се одбијају силом од \( 3\,\text{mN} \), а укупна магнетна индукција на средини износи \( 0{,}25\,\text{mT} \).
