Најважније из лекције
Суштина лекције:
- Талас преноси енергију и импулс без трајног преноса супстанције. Код лонгитудиналних делићи осцилују паралелно правцу таласа, а код трансверзалних нормално.
- Основна веза: \( u = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu \). Брзина зависи од еластичности и инертности средине (\(u = \sqrt{F/\mu}\) за жицу).
- Једначина таласа: \( y = A \cos(\omega t - kx) \), где је \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \).
- Густина енергије и интензитет: \( w = \frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2 \), \( I = w \cdot u = \frac{P}{S} \) (сразмерно са \(A^2\) и \(\nu^2\)).
- Закони простирања: Хајгенсов принцип објашњава одбијање (\(\alpha = \alpha'\)), преламање (\(\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{u_1}{u_2}\)) и дифракцију (савијање око препрека када је \(d \approx \lambda\)).
- Интерференција и стојећи таласи: Слагањем супротних кохерентних таласа настаје стојећи талас са чворовима (мирне тачке, међусобно на \(\frac{\lambda}{2}\)) и трбусима (максимална амплитуда \(2A\), међусобно на \(\frac{\lambda}{2}\)). Растојање суседног чвора и трбуха је \(\frac{\lambda}{4}\).
Механички талас је процес преношења енергије осциловања кроз непрекидну (еластичну) средину из једне тачке простора у другу.
При простирању таласа делићи средине се не премештају заједно са таласом, већ само осцилују око својих равнотежних положаја.
| Врста таласа | Опис осциловања делића | Средина простирања |
|---|---|---|
| Трансверзални (попречни) | Делићи средине осцилују нормално на правац простирања таласа (појава брегова и доља). | Чврста тела, затегнуте нити/жице, површина течности (у комбинацији). |
| Лонгитудинални (уздужни) | Делићи средине осцилују дуж правца простирања таласа (периодична згушњавања и разређења). | Чврста тела, течности и гасови. |
У гасовима се због слабих међумолекулских интеракција могу простирати искључиво лонгитудинални таласи.
Таласна дужина (\(\lambda\)) је растојање које талас пређе за време једног периода осциловања \(T\), односно најкраће растојање између две честице које осцилују у истој фази. Јединица је метар (\(\text{m}\)).
Период (\(T\)) и фреквенција (\(\nu\)) представљају временски период једне пуне осцилације и број осцилација у секунди: \(\nu = \frac{1}{T}\).
\[ u = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu \]
\(u\) – брзина простирања таласа (фазна брзина) (\(\text{m/s}\))
\(\lambda\) – таласна дужина (\(\text{m}\))
\(T\) – период осциловања (\(\text{s}\)), \(\nu\) – фреквенција (\(\text{Hz}\))
\(\lambda\) – таласна дужина (\(\text{m}\))
\(T\) – период осциловања (\(\text{s}\)), \(\nu\) – фреквенција (\(\text{Hz}\))
Брзина таласа зависи искључиво од физичких својстава средине и врсте таласа, а не од фреквенције извора.
\[ \text{Брзина трансверзалног таласа у затегнутој жици: } u = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}} = \sqrt{\frac{F}{\mu}} \]
\[ \text{Брзина лонгитудиналног таласа у чврстом телу: } u = \sqrt{\frac{E_y}{\rho}} \]
\(F\) – сила затезања жице (\(\text{N}\))
\(\mu = \frac{m}{l}\) – подужна маса жице (маса по јединици дужине) (\(\text{kg/m}\))
\(\sigma = \frac{F}{S}\) – нормални напон (\(\text{Pa}\)), \(\rho\) – густина средине (\(\text{kg/m}^3\))
\(E_y\) – Јангов модул еластичности (\(\text{Pa}\))
\(\mu = \frac{m}{l}\) – подужна маса жице (маса по јединици дужине) (\(\text{kg/m}\))
\(\sigma = \frac{F}{S}\) – нормални напон (\(\text{Pa}\)), \(\rho\) – густина средине (\(\text{kg/m}^3\))
\(E_y\) – Јангов модул еластичности (\(\text{Pa}\))
Потребно је разликовати брзину простирања таласа кроз простор (\(u = \frac{\Delta x}{\Delta t}\)) од тренутне брзине осциловања делића средине (\(v = \frac{\Delta y}{\Delta t}\)).
Једначина равног прогресивног таласа описује елонгацију \(y\) произвољне честице у зависности од њеног положаја \(x\) и тренутка времена \(t\):
\[ y(x, t) = A \cos(\omega t - kx) = A \cos\left[ 2\pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right) \right] \]
У смеру супротном од \(x\)-осе: \( y(x, t) = A \cos(\omega t + kx) \)
Угаони таласни број (\(k\)): \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{u} \) (јединица: \(\text{rad/m}\) или \(\text{m}^{-1}\)). Показује колико се пуних таласних дужина садржи на дужини од \(2\pi\text{ m}\).
Фаза таласа: израз \((\omega t - kx)\) представља тренутну фазу осциловања честице на растојању \(x\).
Таласни фронт је геометријско место тачака (површина или линија) чије честице осцилују у истој фази.
- Равни таласи: зраци су међусобно паралелни, таласни фронтови су равни (или праве линије). Амплитуда \(A\) остаје константна дуж правца простирања.
- Сферни таласи: извор је тачкаст, зраци се шире радијално у свим правцима, таласни фронтови су концентричне сфере (или кружнице). Амплитуда опада са растојањем \(r\): \[ y(r, t) = \frac{A}{r} \sin(\omega t - kr) \]
Укупна механичка енергија запреминског делића средине \(\Delta V\) масе \(\Delta m = \rho \Delta V\) који осцилује кружном фреквенцијом \(\omega\) и амплитудом \(A\) јесте:
\[ E = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \Delta V \]
\[ \text{Запреминска густина енергије: } w = \frac{E}{\Delta V} = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 \]
\[ \text{Интензитет (јачина) таласа: } I = \frac{E}{S \Delta t} = \frac{P}{S} = w \cdot u = \frac{1}{2} \rho u \omega^2 A^2 \]
\(I\) – интензитет таласа (\(\text{W/m}^2\))
\(P\) – снага коју талас преноси кроз површину \(S\) (\(\text{W}\))
\(w\) – запреминска густина енергије (\(\text{J/m}^3\))
\(P\) – снага коју талас преноси кроз површину \(S\) (\(\text{W}\))
\(w\) – запреминска густина енергије (\(\text{J/m}^3\))
Интензитет таласа директно је сразмеран густини средине \(\rho\), брзини таласа \(u\), квадрату фреквенције \(\omega^2\) и квадрату амплитуде \(A^2\).
У реалним срединама, због унутрашњег трења, део механичке енергије таласа прелази у топлоту (апсорпција таласа).
Хајгенсов принцип: Свака тачка средине до које допре таласни фронт постаје нови тачкасти извор сферних секундарних (елементарних) таласа. Обвојница тих секундарних таласа у каснијем тренутку чини нови таласни фронт.
Закон одбијања (рефлексије) таласа:
\[ \alpha = \alpha' \]
Упадни угао \(\alpha\) једнак је одбојном углу \(\alpha'\). Упадни зрак, одбијени зрак и нормала на граничну површину у упадној тачки леже у истој равни.
Закон преламања (рефракције) таласа:
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{u_1}{u_2} \]
Однос синуса упадног угла \(\alpha\) и синуса преломног угла \(\beta\) једнак је односу брзина простирања таласа у првој и другој средини. Упадни зрак, преломни зрак и нормала леже у истој равни.
- Ако талас прелази у средину мање брзине (\(u_2 < u_1\)), угао се смањује (\(\beta < \alpha\)) – преламање ка нормали.
- Ако талас прелази у средину веће брзине (\(u_2 > u_1\)), угао се повећава (\(\beta > \alpha\)) – преламање од нормале.
Принцип независности и суперпозиције: Таласи који истовремено пролазе кроз исту област средине простиру се независно један од другог, а резултујуће померање сваког делића једнако је векторском збиру појединачних померања.
Кохерентни таласи: Таласи који имају једнаке фреквенције, исти правац осциловања и константну фазну разлику током времена.
Интерференција је појава слагања два или више кохерентних таласа, при чему настаје стационарна просторна прерасподела енергије (поља појачања и слабљења):
- Конструктивна интерференција (максимум): таласи се сусрећу у истој фази (\(\Delta \phi = 2n\pi\)), амплитуда се појачава: \(A_{\text{rez}} = A_1 + A_2\).
- Деструктивна интерференција (минимум): таласи се сусрећу у противфази (\(\Delta \phi = (2n+1)\pi\)), долази до слабљења или потпуног поништавања осциловања.
Дифракција таласа је појава савијања таласног фронта и скретања зрака таласа са првобитног праволинијског правца при наиласку на препреку или проласку кроз отвор.
Дифракција је изражена када су димензије отвора или препреке реда величине таласне дужине (\(d \approx \lambda\)) или мање од ње.
Стојећи талас настаје интерференцијом два кохерентна таласа истих амплитуда и фреквенција који се простиру у супротним смеровима (најчешће директног и одбијеног таласа).
\[ y = y_1 + y_2 = \underbrace{2A \cos\left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right)}_{A(x)} \cos(2\pi \nu t) \]
\(A(x)\) – амплитуда стојећег таласа која зависи од положаја \(x\)
| Карактеристика | Трбуси таласа (максимална амплитуда \(2A\)) | Чворови таласа (амплитуда \(0\)) |
|---|---|---|
| Услов за положај | \(\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = \pm 1\) | \(\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 0\) |
| Координате \(x\) | \(x_t = n \frac{\lambda}{2}, \quad (n = 0, 1, 2, \dots)\) | \(x_c = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}, \quad (n = 0, 1, 2, \dots)\) |
Растојање између два суседна трбуха: \(\Delta x = \frac{\lambda}{2}\)
Растојање између два суседна чвора: \(\Delta x = \frac{\lambda}{2}\)
Растојање између суседног чвора и трбуха: \(\Delta x = \frac{\lambda}{4}\)
Растојање између два суседна чвора: \(\Delta x = \frac{\lambda}{2}\)
Растојање између суседног чвора и трбуха: \(\Delta x = \frac{\lambda}{4}\)
Понашање на граници средине:
- При одбијању од гушће (чврсте) средине долази до промене фазе за \(\pi\) (губитак полуталаса) \(\rightarrow\) на граници настаје чвор.
- При одбијању од ређе средине (слободан крај) нема промене фазе \(\rightarrow\) на граници настаје трбух.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Кроз затегнуто уже простире се талас фреквенције \(50\text{ Hz}\). Ако растојање између два суседна брега таласа износи \(0,8\text{ m}\), одреди брзину простирања тог таласа.
Растојање између два суседна брега представља таласну дужину: \(\lambda = 0,8\text{ m}\).
Позната је фреквенција \(\nu = 50\text{ Hz}\).
Применом основне релације за брзину таласа: \[ u = \lambda \cdot \nu = 0,8\text{ m} \cdot 50\text{ Hz} = 40\text{ m/s} \] Одговор: Брзина таласа износи \(40\text{ m/s}\).
Позната је фреквенција \(\nu = 50\text{ Hz}\).
Применом основне релације за брзину таласа: \[ u = \lambda \cdot \nu = 0,8\text{ m} \cdot 50\text{ Hz} = 40\text{ m/s} \] Одговор: Брзина таласа износи \(40\text{ m/s}\).
Задатак 2 (средњи): Једначина равног механичког таласа у \(\text{SI}\) јединицама гласи:
\[ y(x, t) = 0,05 \cos(40\pi t - 2\pi x) \]
Одреди амплитуду, кружну фреквенцију, таласни број, таласну дужину, фреквенцију и брзину простирања таласа.
Упоређивањем са општим обликом једначине \(y(x, t) = A \cos(\omega t - kx)\):
- Амплитуда: \(A = 0,05\text{ m} = 5\text{ cm}\)
- Кружна фреквенција: \(\omega = 40\pi\text{ rad/s}\)
- Угаони таласни број: \(k = 2\pi\text{ m}^{-1}\)
Задатак 3 (средњи): Челична жица дужине \(2\text{ m}\) и масе \(40\text{ g}\) затегнута је силом од \(180\text{ N}\). Коликом брзином се простиру трансверзални таласи дуж ове жице?
Подаци: \(l = 2\text{ m}\), \(m = 40\text{ g} = 0,04\text{ kg}\), \(F = 180\text{ N}\).
Прво одређујемо подужну масу жице (\(\mu\)): \[ \mu = \frac{m}{l} = \frac{0,04\text{ kg}}{2\text{ m}} = 0,02\text{ kg/m} \] Затим рачунамо брзину трансверзалног таласа: \[ u = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{180\text{ N}}{0,02\text{ kg/m}}} = \sqrt{9000} \approx 94,87\text{ m/s} \] Одговор: Брзина таласа у жици износи приближно \(94,87\text{ m/s}\).
Прво одређујемо подужну масу жице (\(\mu\)): \[ \mu = \frac{m}{l} = \frac{0,04\text{ kg}}{2\text{ m}} = 0,02\text{ kg/m} \] Затим рачунамо брзину трансверзалног таласа: \[ u = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{180\text{ N}}{0,02\text{ kg/m}}} = \sqrt{9000} \approx 94,87\text{ m/s} \] Одговор: Брзина таласа у жици износи приближно \(94,87\text{ m/s}\).
Задатак 4 (тежак): Раван талас прелази из ваздуха у течност. У ваздуху је брзина таласа \(340\text{ m/s}\), а у течности \(1360\text{ m/s}\). Угао који упадни зрак заклапа са граничном површином износи \(60^\circ\).
а) Израчунај преломни угао таласа у течности.
б) Како и колико пута се променила таласна дужина након преласка у течност?
а) Израчунај преломни угао таласа у течности.
б) Како и колико пута се променила таласна дужина након преласка у течност?
а) Пажња: Угао према граничној површи је \(\theta = 60^\circ\), што значи да је упадни угао у односу на нормалу:
\[ \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Према закону преламања таласа:
\[ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{u_1}{u_2} \implies \sin \beta = \sin \alpha \cdot \frac{u_2}{u_1} = \sin 30^\circ \cdot \frac{1360}{340} = 0,5 \cdot 4 = 2 \]
Пошто вредност синуса не може бити већа од 1 (\(\sin\beta = 2 > 1\)), талас под овим упадним углом не може да се преломи у другу средину, већ долази до потпуног унутрашњег одбијања (тоталне рефлексије) назад у ваздух.
б) Фреквенција \(\nu\) се не мења при преласку таласа из једне средине у другу. Пошто је \(u = \lambda \nu\), следи: \[ \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1360\text{ m/s}}{340\text{ m/s}} = 4 \] Таласна дужина се повећала 4 пута.
б) Фреквенција \(\nu\) се не мења при преласку таласа из једне средине у другу. Пошто је \(u = \lambda \nu\), следи: \[ \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1360\text{ m/s}}{340\text{ m/s}} = 4 \] Таласна дужина се повећала 4 пута.
