Најважније из лекције
Интерференција: Слагање кохерентних таласа. Максимум: \(\Delta L = n\lambda\); минимум: \(\Delta L = (2n+1)\frac{\lambda}{2}\). Размак пруга: \(D = \frac{\lambda L}{d}\). Примене: Мајкелсонов интерферометар (\(d = n\lambda/2\)), танки слојеви.
Дифракција: Скретање светлости на отворима/препрекама. На пукотини ширине \(a\): минимум \(a\sin\alpha = n\lambda\). Дифракција X-зрака на кристалу: \(2d\sin\alpha = n\lambda\).
Дифракциона решетка: Максимум: \(d\sin\alpha = n\lambda\). Даје линеаран спектар беле светлости (црвена скреће највише, љубичаста најмање).
Поларизација: Доказ трансверзалности светлости. Малусов закон: \(I = I_0\cos^2\theta\). Брустеров закон: \(\text{tg}\,\alpha_b = \frac{n_2}{n_1}\). Појаве: двојно преламање, оптичка активност (\(\varphi = \alpha C s\)).
Дисперзија, апсорпција и Доплер: Нормална дисперзија (\(n\) опада са \(\lambda\)). Ламбер-Беров закон: \(I = I_0 e^{-kl}\). Доплеров ефекат: \(\nu' \approx \nu(1 \pm u/c)\) (црвени помак указује на ширење свемира).
Дифракција: Скретање светлости на отворима/препрекама. На пукотини ширине \(a\): минимум \(a\sin\alpha = n\lambda\). Дифракција X-зрака на кристалу: \(2d\sin\alpha = n\lambda\).
Дифракциона решетка: Максимум: \(d\sin\alpha = n\lambda\). Даје линеаран спектар беле светлости (црвена скреће највише, љубичаста најмање).
Поларизација: Доказ трансверзалности светлости. Малусов закон: \(I = I_0\cos^2\theta\). Брустеров закон: \(\text{tg}\,\alpha_b = \frac{n_2}{n_1}\). Појаве: двојно преламање, оптичка активност (\(\varphi = \alpha C s\)).
Дисперзија, апсорпција и Доплер: Нормална дисперзија (\(n\) опада са \(\lambda\)). Ламбер-Беров закон: \(I = I_0 e^{-kl}\). Доплеров ефекат: \(\nu' \approx \nu(1 \pm u/c)\) (црвени помак указује на ширење свемира).
Интерференција светлости је просторна прерасподела интензитета светлости настала слагањем два или више кохерентних светлосних таласа.
Кохерентни таласи су таласи једнаких фреквенција (таласних дужина) и сталне фазне разлике у току времена. Монохроматски извори (нпр. ласери) емитују светлост једне таласне дужине.
Интензитет резултујућег таласа при слагању два кохерентна снопа:
\[ I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\phi) \]
где је \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\) фазна разлика, а \(\Delta L = L_2 - L_1\) путна разлика таласа.
Услови за интерференцију:
- Интерференциони максимум (светла пруга): јавља се када је путна разлика једнака целобројном умношку таласне дужине: \[ \Delta L_{\text{max}} = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]
- Интерференциони минимум (тамна пруга): јавља се када је путна разлика једнака непарном броју полуталаса: \[ \Delta L_{\text{min}} = (2n + 1)\frac{\lambda}{2} \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]
Положај \(n\)-тог максимума на заклону и растојање \(D\) између два суседна максимума у Јунговом огледу (за \(d \ll L\)):
\[ x_n = n \frac{\lambda L}{d}, \qquad D = \frac{\lambda L}{d} \]
где је \(d\) растојање између извора (прореза), а \(L\) растојање од прореза до заклона.
Кохерентни таласи се могу добити и помоћу Френелових огледала (два огледала под углом мањим од \(180^\circ\) формирају два имагинарна кохерентна извора).
У Јунговом огледу светлост таласне дужине \(\lambda = 600\text{ nm}\) пада на два прореза размака \(d = 0,3\text{ mm}\). Заклон је удаљен \(L = 1,5\text{ m}\). Израчунати растојање између суседних светлих пруга.
Користи се формула за размак интерференционих пруга:
\[ D = \frac{\lambda L}{d} = \frac{600 \cdot 10^{-9}\text{ m} \cdot 1,5\text{ m}}{0,3 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ m} = 3\text{ mm} \]
Интерференција на танким слојевима настаје слагањем таласа рефлектованих са горње и доње граничне површине танког прозирног слоја (нпр. мехур од сапунице, уљни филм, Њутнови прстенови).
Приликом рефлексије светлости на граници са оптички гушћом средином, фаза таласа се мења за \(\pi\) (што одговара промени пута за \(\lambda/2\)), док при рефлексији од оптички ређе средине нема фазног скока.
Оптичка путна разлика на танком слоју дебљине \(d\) и индекса преламања \(n\):
\[ \Delta = \frac{2nd}{\cos\beta} - x \]
где је \(\beta\) угао преламања у слоју, а \(x\) геометријска корекција пута.
Интерферометри су високопрецизни оптички инструменти засновани на интерференцији светлости, који служе за мерење малих помераја, дужина или индекса преламања:
- Мајкелсонов интерферометар: померањем једног од огледала за растојање \(d = n\frac{\lambda}{2}\) интерференциона слика се помера за \(n\) пруга (омогућава мерења са тачношћу до \(0,5\text{ nm}\)).
- Жаменов интерферометар: користи промену оптичке путне разлике \(\Delta = (n_2 - n_1)l\) за прецизно одређивање непознатог индекса преламања гасова.
- Фабри-Пероов интерферометар: заснован на вишеструкој рефлексији између две паралелне плоче, користи се за мерење таласних дужина.
Огледало у Мајкелсоновом интерферометру се помери за \(d = 0,15\text{ mm}\) при чему интерференциона слика пређе преко \(n = 500\) пруга. Одредити таласну дужину употребљене светлости.
Из релације за померај огледала:
\[ d = n \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2d}{n} = \frac{2 \cdot 0,15 \cdot 10^{-3}\text{ m}}{500} = 6 \cdot 10^{-7}\text{ m} = 600\text{ nm} \]
Дифракција светлости је појава скретања светлосних зрака са праволинијског правца при наиласку на препреке или проласку кроз уске отворе чије су димензије упоредиве са таласном дужином светлости.
Разликују се Френелова дифракција (дифракција сферних таласа без употребе сочива) и Фраунхоферова дифракција (дифракција паралелних зрака/равних таласа уз помоћ сабирних сочива).
Фраунхоферова дифракција на пукотини ширине \(a\):
\[ \text{Дифракциони минимуми (тамне зоне): } a \sin\alpha = n\lambda \quad (n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots) \]
\[ \text{Дифракциони максимуми (светле зоне): } a \sin\alpha = (2n + 1)\frac{\lambda}{2} \quad (n = \pm 1, \pm 2, \dots) \]
Централни максимум (\(n=0\)) налази се за \(\alpha = 0\) и има знатно већи интензитет од споредних максимума.
Дифракција X-зрака на кристалној решетки:
Пошто су таласне дужине рендгенских зрака веома мале (\(\sim 1\text{ nm}\)), кристална решетка делује као просторна дифракциона решетка са периодом \(d\). Услов за максимум (Брег-Вулфова формула): \[ 2d \sin\alpha = n\lambda \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \] где је \(\alpha\) угао клизања (угао између упадног зрака и кристалне равни).
Пошто су таласне дужине рендгенских зрака веома мале (\(\sim 1\text{ nm}\)), кристална решетка делује као просторна дифракциона решетка са периодом \(d\). Услов за максимум (Брег-Вулфова формула): \[ 2d \sin\alpha = n\lambda \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \] где је \(\alpha\) угао клизања (угао између упадног зрака и кристалне равни).
Сноп X-зрака таласне дужине \(\lambda = 0,15\text{ nm}\) пада на кристал. Први дифракциони максимум (\(n=1\)) запажа се под углом \(\alpha = 30^\circ\). Израчунати међураванско растојање \(d\) кристала.
Применом формуле за дифракцију X-зрака:
\[ 2d \sin\alpha = n\lambda \implies d = \frac{n\lambda}{2\sin\alpha} = \frac{1 \cdot 0,15\text{ nm}}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{0,15\text{ nm}}{2 \cdot 0,5} = 0,15\text{ nm} \]
Дифракциона решетка је оптички елемент који се састоји од великог броја паралелних, једнако размакнутих прореза (трансмисиона) или трака (рефлексиона).
Константа решетке \(d\) и услов за главне максимуме:
\[ d = \frac{1}{N} \]
\[ d \sin\alpha = n\lambda \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]
где је \(N\) број прореза по јединици дужине, а \(n\) ред дифракционог максимума.
Разлагање беле светлости: При проласку полихроматске (беле) светлости кроз решетку, централни максимум (\(n=0\)) је беле боје, док се за свако \(n \ge 1\) формира спектар. Љубичаста боја (мања \(\lambda\)) скреће најмање, а црвена боја (већа \(\lambda\)) скреће највише. За разлику од призме, спектар добијен решетком је линеаран.
Карактеристике дифракционе решетке:
- Дисперзија (\(D\)): мера раздвајања спектралних линија различитих таласних дужина.
- Моћ разлагања (\(R\)): способност инструмента да региструје две блиске спектралне линије као раздвојене.
Дифракциона решетка има \(N = 500\text{ прореза/mm}\). Одредити под којим углом се види максимум другог реда за светлост таласне дужине \(\lambda = 500\text{ nm}\).
Константа решетке је:
\[ d = \frac{1}{N} = \frac{1\text{ mm}}{500} = 2 \cdot 10^{-3}\text{ mm} = 2 \cdot 10^{-6}\text{ m} \]
Из услова за максимум (\(n=2\)):
\[ \sin\alpha = \frac{n\lambda}{d} = \frac{2 \cdot 500 \cdot 10^{-9}\text{ m}}{2 \cdot 10^{-6}\text{ m}} = 0,5 \implies \alpha = 30^\circ \]
Поларизација светлости је појава својствена искључиво трансверзалним таласима код којих се осциловање вектора јачине електричног поља \(\vec{E}\) одвија само у једној равни (равни поларизације). Природна светлост је неполаризована (вектор \(\vec{E}\) осцилује у свим могућим равнима нормалним на правац простирања).
Малусов закон: Интензитет линеарно поларизоване светлости након проласка кроз анализатор:
\[ I = I_0 \cos^2\theta \]
где је \(I_0\) упадни интензитет поларизоване светлости, а \(\theta\) угао између равни поларизације и оптичке осе анализатора. (Ако је упадна светлост неполаризована, након првог поларизатора интензитет је \(I = \frac{1}{2}I_{\text{непол}}\)).
Брустеров закон: При одбијању светлости од диелектрика, одбијени зрак је потпуно поларизован када упадни угао задовољава:
\[ \text{tg}\,\alpha_b = \frac{n_2}{n_1} \]
При Брустеровом углу, одбијени и преломљени зрак заклапају угао од \(90^\circ\) (\(\alpha_b + \beta = 90^\circ\)).
Поларизационе појаве у супстанцама:
- Двојно преламање: у оптички анизотропним кристалима (нпр. калцит) упадни сноп се раздваја на редован (\(o\)) и нередован (\(e\)) зрак, који имају различите индексе преламања и међусобно нормалне равни поларизације.
- Дихроизам: селективна апсорпција светлости зависно од равни њене поларизације (основа полароида).
- Оптичка активност: особина одређених супстанци да обрћу раван поларизације за угао \(\varphi\): \[ \varphi = \alpha(\lambda, T) \cdot C \cdot s \] где је \(\alpha\) специфична моћ ротације, \(C\) концентрација раствора, а \(s\) дужина пута светлости.
Светлосни зрак пада из ваздуха (\(n_1 = 1\)) на стаклену плочу (\(n_2 = 1,732\)). Одредити Брустеров угао.
Према Брустеровом закону:
\[ \text{tg}\,\alpha_b = \frac{n_2}{n_1} = 1,732 \approx \sqrt{3} \implies \alpha_b = 60^\circ \]
Дисперзија светлости је зависност индекса преламања средине \(n\) од таласне дужине светлости \(\lambda\).
- Нормална дисперзија: индекс преламања опада са порастом таласне дужине (\(n\) расте са фреквенцијом). Кроз призму највише скреће љубичаста (\(\lambda \approx 380\text{ nm}\)), а најмање црвена светлост (\(\lambda \approx 750\text{ nm}\)).
- Аномална дисперзија: јавља се у областима резонанције/апсорпције супстанце, где индекс преламања расте са порастом \(\lambda\).
Ламбер–Беров закон апсорпције:
\[ I = I_0 e^{-kl} \]
где је \(k\) коефицијент апсорпције, а \(l\) дебљина средине. У мутним срединама услед расејања важи \(I = I_0 e^{-(k+k'')l}\), где је \(k''\) коефицијент екстинкције.
Расејање (дифузија) светлости: Просторна прерасподела светлости у свим правцима у нехомогеним срединама (објашњава плаветнило неба и црвену боју сунца на заласку).
Доплеров ефекат у оптици: Промена фреквенције услед релативног кретања извора и пријемника брзином \(u\):
\[ \text{Релативистички: } \nu' = \nu \sqrt{\frac{1 \pm \frac{u}{c}}{1 \mp \frac{u}{c}}}, \qquad \text{За } u \ll c: \nu' \approx \nu \left(1 \pm \frac{u}{c}\right) \]
Знак „+” важи при приближавању (помак ка плавом), а „−” при удаљавању (црвени помак – доказ ширења свемира).
Кроз стаклену плочу дебљине \(l = 2\text{ cm}\) прође сноп светлости. Колики је коефицијент апсорпције \(k\) ако је излазни интензитет \(I = I_0 e^{-0,4}\)?
Поређењем са Ламбер-Беровим законом \(I = I_0 e^{-kl}\):
\[ kl = 0,4 \implies k = \frac{0,4}{l} = \frac{0,4}{2\text{ cm}} = 0,2\text{ cm}^{-1} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки):
Неполаризовани сноп светлости почетног интензитета \(I_{\text{уп}}\) пролази кроз поларизатор, а затим кроз анализатор чија оса заклапа угао од \(60^\circ\) са осом поларизатора. Колики је интензитет светлости на излазу из анализатора изражен преко \(I_{\text{уп}}\)?
Неполаризовани сноп светлости почетног интензитета \(I_{\text{уп}}\) пролази кроз поларизатор, а затим кроз анализатор чија оса заклапа угао од \(60^\circ\) са осом поларизатора. Колики је интензитет светлости на излазу из анализатора изражен преко \(I_{\text{уп}}\)?
Након проласка неполаризоване светлости кроз поларизатор, њен интензитет постаје:
\[ I_0 = \frac{1}{2}I_{\text{уп}} \]
Након анализатора примењује се Малусов закон (\(\theta = 60^\circ\)):
\[ I = I_0 \cos^2(60^\circ) = \left(\frac{1}{2}I_{\text{уп}}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}I_{\text{уп}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}I_{\text{уп}} \]
Одговор: Излазни интензитет износи \(\frac{1}{8}I_{\text{уп}}\) (или \(12,5\%\) укупног упадног интензитета).
Задатак 2 (Средњи):
Светлост таласне дужине \(\lambda = 550\text{ nm}\) пада нормално на дифракциону решетку која има \(200\text{ прореза}\) по милиметру дужине. Одредити угао под којим се јавља максимум трећег реда.
Светлост таласне дужине \(\lambda = 550\text{ nm}\) пада нормално на дифракциону решетку која има \(200\text{ прореза}\) по милиметру дужине. Одредити угао под којим се јавља максимум трећег реда.
Број прореза по метру је \(N = 200 \cdot 10^3\text{ m}^{-1} = 2 \cdot 10^5\text{ m}^{-1}\).
Константа решетке је: \[ d = \frac{1}{N} = \frac{1}{2 \cdot 10^5\text{ m}^{-1}} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ m} \] Услов за максимум \(n\)-тог реда (\(n=3\)): \[ d \sin\alpha = n\lambda \implies \sin\alpha = \frac{n\lambda}{d} = \frac{3 \cdot 550 \cdot 10^{-9}\text{ m}}{5 \cdot 10^{-6}\text{ m}} = \frac{1650 \cdot 10^{-9}}{5 \cdot 10^{-6}} = 0,33 \] \[ \alpha = \arcsin(0,33) \approx 19,27^\circ \] Одговор: Максимум трећег реда се види под углом од приближно \(19,3^\circ\).
Константа решетке је: \[ d = \frac{1}{N} = \frac{1}{2 \cdot 10^5\text{ m}^{-1}} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ m} \] Услов за максимум \(n\)-тог реда (\(n=3\)): \[ d \sin\alpha = n\lambda \implies \sin\alpha = \frac{n\lambda}{d} = \frac{3 \cdot 550 \cdot 10^{-9}\text{ m}}{5 \cdot 10^{-6}\text{ m}} = \frac{1650 \cdot 10^{-9}}{5 \cdot 10^{-6}} = 0,33 \] \[ \alpha = \arcsin(0,33) \approx 19,27^\circ \] Одговор: Максимум трећег реда се види под углом од приближно \(19,3^\circ\).
Задатак 3 (Тежи):
На дифракциону решетку константе \(d = 4\,\mu\text{m}\) нормално пада монохроматска светлост таласне дужине \(\lambda = 650\text{ nm}\).
На дифракциону решетку константе \(d = 4\,\mu\text{m}\) нормално пада монохроматска светлост таласне дужине \(\lambda = 650\text{ nm}\).
- Колики је највећи ред дифракционог максимума (\(n_{\text{max}}\)) који се може уочити овом решетком?
- Под којим углом \(\alpha_{\text{max}}\) се формира тај последњи дифракциони максимум?
а) Из услова за максимум \(d \sin\alpha = n\lambda\) и чињенице да је максимална вредност синуса \(\sin\alpha \le 1\):
\[ \frac{n\lambda}{d} \le 1 \implies n \le \frac{d}{\lambda} \]
\[ n \le \frac{4 \cdot 10^{-6}\text{ m}}{650 \cdot 10^{-9}\text{ m}} \approx 6,15 \]
Пошто ред максимума мора бити цео број, највећи могући ред је \(n_{\text{max}} = 6\).
б) Угао за \(n = 6\): \[ \sin\alpha_{\text{max}} = \frac{6 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\text{ m}}{4 \cdot 10^{-6}\text{ m}} = 0,975 \] \[ \alpha_{\text{max}} = \arcsin(0,975) \approx 77,16^\circ \] Одговор: Највећи ред је \(n_{\text{max}} = 6\), а одговарајући дифракциони угао је приближно \(77,2^\circ\).
б) Угао за \(n = 6\): \[ \sin\alpha_{\text{max}} = \frac{6 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\text{ m}}{4 \cdot 10^{-6}\text{ m}} = 0,975 \] \[ \alpha_{\text{max}} = \arcsin(0,975) \approx 77,16^\circ \] Одговор: Највећи ред је \(n_{\text{max}} = 6\), а одговарајући дифракциони угао је приближно \(77,2^\circ\).
Задатак 4 (Тежи):
У Јунговом експерименту користе се два извора таласних дужина \(\lambda_1 = 480\text{ nm}\) и \(\lambda_2 = 600\text{ nm}\). Заклон се налази на удаљености \(L = 2\text{ m}\), а размак прореза је \(d = 0,2\text{ mm}\).
У Јунговом експерименту користе се два извора таласних дужина \(\lambda_1 = 480\text{ nm}\) и \(\lambda_2 = 600\text{ nm}\). Заклон се налази на удаљености \(L = 2\text{ m}\), а размак прореза је \(d = 0,2\text{ mm}\).
- На ком растојању од централног максимума ће се први пут поклопити светла пруга првог извора са светлом пругом другог извора?
- Који су то редови максимума за оба извора?
Положај светле пруге \(n\)-тог реда је \(x = n \frac{\lambda L}{d}\). Да би се пруге поклопиле (\(x_1 = x_2\)):
\[ n_1 \frac{\lambda_1 L}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 L}{d} \implies n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2 \]
\[ \frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{600\text{ nm}}{480\text{ nm}} = \frac{5}{4} \]
Најмањи цели бројеви који задовољавају ову сразмеру су \(n_1 = 5\) и \(n_2 = 4\).
Растојање од центра за које долази до поклапања: \[ x = n_1 \frac{\lambda_1 L}{d} = 5 \cdot \frac{480 \cdot 10^{-9}\text{ m} \cdot 2\text{ m}}{0,2 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 5 \cdot 4,8 \cdot 10^{-3}\text{ m} = 24\text{ mm} \] Одговор: Поклапају се 5. максимум првог и 4. максимум другог извора на удаљености од \(24\text{ mm}\) од средине екрана.
Растојање од центра за које долази до поклапања: \[ x = n_1 \frac{\lambda_1 L}{d} = 5 \cdot \frac{480 \cdot 10^{-9}\text{ m} \cdot 2\text{ m}}{0,2 \cdot 10^{-3}\text{ m}} = 5 \cdot 4,8 \cdot 10^{-3}\text{ m} = 24\text{ mm} \] Одговор: Поклапају се 5. максимум првог и 4. максимум другог извора на удаљености од \(24\text{ mm}\) од средине екрана.
