Најважније из лекције
Брзина светлости: \(c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}\) (Ремер, Физо, Мајкелсон, савремени ласери).
Фермаов принцип и закони: Светлост путује путем минималног времена (\(\Delta = nd\)); закон одбијања (\(\alpha' = \alpha\)); закон преламања (\(\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1}\)).
Тотална рефлексија: Из гушће у ређу средину за \(\alpha > \alpha_{gr}\), где је \(\sin\alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1}\) (основа оптичких влакана).
Плоча и призма: Планпаралелна плоча даје само паралелни бочни помак (\(d\)); призма скреће светлост за угао \(\delta\) и услед дисперзије (\(n(\lambda)\)) разлаже белу светлост на спектар.
Огледала и сочива: Заједничка основна формула \(\frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f}\), увећање \(U = \frac{l}{p}\), јачина сочива \(D = \frac{1}{f}\) (диоптрија \(\text{m}^{-1}\)). Расипна сочива и конвексна огледала увек дају умањене, усправне и имагинарне ликове.
Аберације: Хроматска (исправља се ахроматом) и геометријске попут сферне, коме, астигматизма, искривљености поља и дисторзије (исправљају се блендама и системима сочива).
Фермаов принцип и закони: Светлост путује путем минималног времена (\(\Delta = nd\)); закон одбијања (\(\alpha' = \alpha\)); закон преламања (\(\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1}\)).
Тотална рефлексија: Из гушће у ређу средину за \(\alpha > \alpha_{gr}\), где је \(\sin\alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1}\) (основа оптичких влакана).
Плоча и призма: Планпаралелна плоча даје само паралелни бочни помак (\(d\)); призма скреће светлост за угао \(\delta\) и услед дисперзије (\(n(\lambda)\)) разлаже белу светлост на спектар.
Огледала и сочива: Заједничка основна формула \(\frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f}\), увећање \(U = \frac{l}{p}\), јачина сочива \(D = \frac{1}{f}\) (диоптрија \(\text{m}^{-1}\)). Расипна сочива и конвексна огледала увек дају умањене, усправне и имагинарне ликове.
Аберације: Хроматска (исправља се ахроматом) и геометријске попут сферне, коме, астигматизма, искривљености поља и дисторзије (исправљају се блендама и системима сочива).
Кроз историју се сматрало да се светлост простире тренутно (бесконачном брзином). Експериментима је доказано да светлост путује коначном, мерљивом брзином.
Историјске методе мерења:
- Галилео Галилеј: Покушај мерења помоћу два покривена фењера на удаљеним брежуљцима; неуспешан због људског времена реакције.
- Олаф Ремер (1675): Прво успешно астрономско мерење посматрањем помрачења Јупитеровог сателита Ио. Због кашњења од око \(1\,000\text{ s}\) при преласку пречника Земљине путање добио је вредност \(c \approx 220\,000\text{ km/s}\).
- Арманд Физо (1849): Прво земаљско мерење коришћењем брзоротирајућег зупчаника и удаљеног огледала на \(8\text{ km}\) (\(c \approx 313\,870\text{ km/s}\)).
- Алберт Мајкелсон (1906): Прецизно мерење помоћу обртног вишестраног огледала између планина Вилсон и Сан Антонио на растојању од \(35,5\text{ km}\) (\(c \approx 299\,744\text{ km/s}\)).
\[ c = 299\,792\,458\text{ m/s} \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s} = 300\,000\text{ km/s} \]
Тачна брзина светлости у вакууму (измерена ласерском методом 1983. године).
Светлосни зрак је замишљена линија дуж које се простире светлосна енергија. Закони геометријске оптике важе када су димензије препрека и отвора знатно веће од таласне дужине светлости.
Реалан и имагинаран лик:
- Реалан (стваран) лик: Настаје у пресеку самих светлосних зрака и може се ухватити на заклону.
- Имагинаран (нестваран/виртуелан) лик: Настаје у пресеку продужетака светлосних зрака и не може се ухватити на заклону.
Фермаов принцип: Светлост се увек простире по путу за који јој је потребно најмање времена, односно по најкраћем оптичком путу \(\Delta = n \cdot d\) (производ апсолутног индекса преламања средине и геометријског растојања).
Четири основна закона:
- Закон праволинијског простирања: У оптички хомогеној средини и вакууму светлост се простире праволинијски.
- Закон независности светлосних зрака: Пролазак више зрака кроз исту тачку не утиче на њихово даље простирање.
- Закон одбијања (рефлексије): Упадни зрак, нормала и одбијени зрак леже у истој равни, а угао одбијања једнак је упадном углу: \[ \alpha' = \alpha \]
- Закон преламања (рефракције / Снелиусов закон): Упадни зрак, нормала и преломни зрак леже у истој равни. Однос синуса упадног и преломног угла једнак је односу брзина светлости у тим срединама, односно релативном индексу преламања: \[ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{n_2}{n_1} = n_{12} \]
Апсолутни индекс преламања дефинисан је као \(n = \frac{c}{u}\) (\(n \ge 1\)). Када светлост прелази из оптички ређе у гушћу средину (\(n_1 < n_2\)), прелама се ка нормали (\(\beta < \alpha\)). При преласку из гушће у ређу средину (\(n_1 > n_2\)), прелама се од нормале (\(\beta > \alpha\)).
Појава потпуног одбијања светлости назад у оптички гушћу средину при преласку на границу са оптички ређом средином.
Тотална рефлексија настаје искључиво када:
- Светлост прелази из оптички гушће у оптички ређу средину (\(n_1 > n_2\));
- Упадни угао је већи од граничног угла (\(\alpha > \alpha_{gr}\)).
\[ \sin\alpha_{gr} = \frac{n_2}{n_1} = n_{12} \]
Ако је ређа средина ваздух или вакуум (\(n_2 = 1\), \(n_1 = n\)):
\[ \sin\alpha_{gr} = \frac{1}{n} \]
Примене и појаве: Пренос података кроз оптичка влакна (оптички каблови), појава фатаморгане у пустињама и на врелом асфалту због различите густине загрејаних слојева ваздуха.
Планпаралелна плоча је провидно тело омеђено двема паралелним равнима. Након двоструког преламања, излазни зрак је паралелан упадном зраку, али је бочно померен за растојање \(d\).
\[ d = D \sin\alpha \left( 1 - \frac{\cos\alpha}{\sqrt{n_{12}^2 - \sin^2\alpha}} \right) \]
где је \(D\) дебљина плоче, \(\alpha\) упадни угао, а \(n_{12}\) релативни индекс преламања.
Оптичка призма је провидно тело чије су две преломне површине постављене под углом \(\theta\) (угао призме). Скретање зрака назива се девијација (\(\delta\)):
\[ \delta = \alpha_0 + \beta_0 - \theta \]
\[ \delta_{\min} = 2\alpha_0 - \theta \qquad \text{и} \qquad n_r = \frac{\sin\frac{\theta + \delta_{\min}}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \]
За мале углове призме:
\[ \delta_{\min} = (n_r - 1)\theta \]
Дисперзија светлости: Појава зависности индекса преламања од таласне дужине светлости (\(n = n(\lambda)\)). Како плава светлост има мању таласну дужину од црвене, она има већи индекс преламања и јаче се прелама, па се бела светлост проласком кроз призму разлаже на спектар боја.
Равно огледало: Даје лик који је увек имагинаран, усправан, једнак по величини предмету, на истој удаљености иза огледала као предмет испред њега (\(l = p\)), уз огледалску симетрију (замена леве и десне стране).
Сферно огледало: Углачани део сферне површине. Може бити конкавно (издубљено) или конвексно (испупчено). Жижна даљина износи \(f = \frac{r}{2}\).
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} = \frac{2}{r} \]
\[ U = \frac{L}{P} = \frac{l}{p} \]
где је \(p\) удаљеност предмета, \(l\) удаљеност лика, \(f\) жижна даљина, \(r\) полупречник кривине, \(P\) величина предмета, \(L\) величина лика, а \(U\) линеарно увећање.
Карактеристични зраци за конструкцију лика:
- Зрак паралелан оптичкој оси \(\to\) одбија се кроз жижу \(F\).
- Зрак који пролази кроз жижу \(F\) \(\to\) одбија се паралелно оптичкој оси.
- Зрак који пролази кроз центар кривине \(C\) \(\to\) враћа се истим правцем.
- Зрак који пада у теме \(T\) \(\to\) одбија се под истим углом у односу на осу.
Конвексно огледало има имагинарну жижу (\(f < 0\)) и увек даје имагинаран, усправан и умањен лик. Конкавно огледало може давати реалне или имагинарне ликове у зависности од положаја предмета.
Оптичко сочиво је хомогена прозирна средина ограничена са две сферне или једном сферном и једном равном површи. Деле се на:
- Сабирна (конвергентна): дебља на средини; преламају паралелне зраке тако да конвергирају у реалну жижу.
- Расипна (дивергентна): дебља на крајевима; преламају паралелне зраке тако да дивергирају из имагинарне жиже. Увек дају имагинаран, усправан и умањен лик.
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} \qquad (\text{Гаусова једначина танког сочива}) \]
\[ U = \frac{L}{P} = \frac{l}{p} \qquad (\text{Линеарно увећање}) \]
\[ \frac{1}{f} = (n_r - 1)\left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) \qquad (\text{Оптичарска једначина сочива}) \]
Оптичка моћ (јачина сочива):
\[ D = \frac{1}{f} \]
Јединица је диоптрија (\(1\text{ dpt} = 1\text{ m}^{-1}\)). Сабирна сочива имају \(D > 0\) (коригују далекост), а расипна \(D < 0\) (коригују кратковидост).
Систем од два танка сочива:
\[ D = D_1 + D_2 - d D_1 D_2 \]
Ако су сочива приљубљена (\(d = 0\)): \(D = D_1 + D_2\), односно \(\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\).
Изобличења ликова настају услед физичких законитости дисперзије и геометријског преламања зрака који нису параксијални.
| Врста аберације | Узрок и карактеристика | Начин отклањања |
|---|---|---|
| Хроматска аберација (физичка) | Дисперзија материјала – плави зраци се преламају јаче од црвених, па различите боје дају ликове на различитим растојањима. | Комбиновањем сабирног и расипног сочива различитих врста стакла (крон и флинт) – ахромат. |
| Сферна аберација (геометријска) | Зраци који пролазе даље од осе секу се ближе сочиву од централних зрака. | Коришћењем дијафрагме (бленде) која пропушта само централне (параксијалне) зраке. |
| Астигматизам | Јавља се за тачке ван осе; лик тачке постаје елипса или две међусобно нормалне линије. | Комбинацијом више сочива – астигмат. |
| Кома | Несиметрично изобличење тачака ван осе у облику комете са репом. | Избором одговарајућих полупречника кривина површина сочива и блендом. |
| Искривљеност поља | Лик равног предмета формира се на закривљеној површини, а не у равни. | Постављањем бленде испред сочива. |
| Дисторзија | Неједнако линеарно увећање различитих делова предмета (јастучаста или бачваста деформација). | Постављањем бленде на одговарајуће место. |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Гранични угао тоталне рефлексије за одређену врсту стакла на граници са ваздухом износи \(\alpha_{gr} = 42^\circ\). Израчунати индекс преламања тог стакла (\(\sin 42^\circ \approx 0,669\)).
Услов за тоталну рефлексију на граници са ваздухом (\(n_2 = 1\)) гласи:
\[ \sin\alpha_{gr} = \frac{1}{n} \implies n = \frac{1}{\sin\alpha_{gr}} \]
\[ n = \frac{1}{\sin 42^\circ} \approx \frac{1}{0,669} \approx 1,495 \]
Одговор: Индекс преламања стакла износи приближно \(1,5\).
Задатак 2 (Средњи): Предмет висине \(4\text{ cm}\) налази се на растојању \(30\text{ cm}\) од конкавног сферног огледала полупречника кривине \(40\text{ cm}\). Одредити положај, висину и природу добијеног лика.
Жижна даљина огледала је:
\[ f = \frac{r}{2} = \frac{40\text{ cm}}{2} = 20\text{ cm} \]
Из једначине огледала:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{l} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{l} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60} \]
\[ l = 60\text{ cm} \]
Линеарно увећање:
\[ U = \frac{l}{p} = \frac{60\text{ cm}}{30\text{ cm}} = 2 \]
Висина лика:
\[ L = U \cdot P = 2 \cdot 4\text{ cm} = 8\text{ cm} \]
Одговор: Лик се налази на растојању од \(60\text{ cm}\) испред огледала, реалан је, изврнут и увећан (\(L = 8\text{ cm}\)).
Задатак 3 (Средњи): На ком растојању од сабирног сочива оптичке моћи \(D = +5\text{ dpt}\) треба поставити предмет да би се добио његов имагинаран лик увећан \(3\) пута?
Жижна даљина сочива је:
\[ f = \frac{1}{D} = \frac{1}{5\text{ m}^{-1}} = 0,2\text{ m} = 20\text{ cm} \]
Пошто је лик имагинаран и увећање \(U = 3\), имамо:
\[ U = \frac{|l|}{p} = 3 \implies |l| = 3p \]
Једначина сочива за имагинаран лик гласи:
\[ \frac{1}{p} - \frac{1}{|l|} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{p} - \frac{1}{3p} = \frac{1}{f} \]
\[ \frac{2}{3p} = \frac{1}{f} \implies p = \frac{2f}{3} = \frac{2 \cdot 20\text{ cm}}{3} \approx 13,33\text{ cm} \]
Одговор: Предмет треба поставити на растојање од приближно \(13,33\text{ cm}\) од сочива (између жиже и сочива).
Задатак 4 (Тежак): Равнострана стаклена призма (\(\theta = 60^\circ\)) има индекс преламања \(n = \sqrt{2}\). Израчунати угао минималне девијације \(\delta_{\min}\) и одговарајући упадни угао \(\alpha_0\) када се призма налази у ваздуху.
Формула за минималну девијацију гласи:
\[ n = \frac{\sin\frac{\theta + \delta_{\min}}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \]
Како је \(\theta = 60^\circ\), имамо \(\sin\frac{60^\circ}{2} = \sin 30^\circ = 0,5\):
\[ \sqrt{2} = \frac{\sin\frac{60^\circ + \delta_{\min}}{2}}{0,5} \implies \sin\frac{60^\circ + \delta_{\min}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Следи:
\[ \frac{60^\circ + \delta_{\min}}{2} = 45^\circ \implies 60^\circ + \delta_{\min} = 90^\circ \implies \delta_{\min} = 30^\circ \]
Упадни угао \(\alpha_0\) при минималној девијацији је:
\[ \alpha_0 = \frac{\theta + \delta_{\min}}{2} = 45^\circ \]
Одговор: Угао минималне девијације је \(\delta_{\min} = 30^\circ\), а упадни угао је \(\alpha_0 = 45^\circ\).
