Изабери решење задатка:
Задатак 1 (бесплатан)
Кратко решење
Де Бројева таласна дужина: \( \lambda = \dfrac{h}{p} \). Обе енергије \( \ll E_0 = 511\,\text{keV} \), па су електрони нерелативистички и \( p = \sqrt{2mE} \), односно \( \lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mE}} \). За \( E_1 = 5\,\text{keV} = 8{,}01\cdot 10^{-16}\,\text{J} \): \( \lambda_1 = \dfrac{6{,}626\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 8{,}01\cdot 10^{-16}}} = 1{,}73\cdot 10^{-11}\,\text{m} = 17{,}3\,\text{pm} \). За \( E_2 = 2\,\text{eV} = 3{,}204\cdot 10^{-19}\,\text{J} \): \( \lambda_2 = 8{,}67\cdot 10^{-10}\,\text{m} = 0{,}867\,\text{nm} \).
Детаљно решење
Свакој честици која се креће придружена је Де Бројева таласна дужина \( \lambda = \dfrac{h}{p} \), где је \( p \) импулс честице (види Пример 7 на страни). Да бисмо одредили импулс, енергију честице поредимо са енергијом мировања електрона \( E_0 = 511\,\text{keV} \).
Дати подаци:
\[ E_1 = 5\,\text{keV} = 5\cdot 10^3 \cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J} = 8{,}01\cdot 10^{-16}\,\text{J} \]
\[ E_2 = 2\,\text{eV} = 2 \cdot 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{J} = 3{,}204\cdot 10^{-19}\,\text{J} \]
\[ m = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}, \quad h = 6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s} \]
Обе енергије су много мање од енергије мировања ( \( 5\,\text{keV} \ll 511\,\text{keV} \) и \( 2\,\text{eV} \ll 511\,\text{keV} \) ), па су оба електрона нерелативистичка. Њихова кинетичка енергија тада износи \( E = \dfrac{p^2}{2m} \), одакле је импулс
\[ p = \sqrt{2mE}. \]
Заменом у Де Бројев израз добијамо основну формулу коју користимо у оба случаја:
\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}. \]
1) Електрон енергије \( E_1 = 5\,\text{keV} \):
\[ p_1 = \sqrt{2mE_1} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot 8{,}01\cdot 10^{-16}\,\text{J}} = 3{,}82\cdot 10^{-23}\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}} \]
\[ \lambda_1 = \frac{h}{p_1} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}}{3{,}82\cdot 10^{-23}\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}} = 1{,}73\cdot 10^{-11}\,\text{m} = 17{,}3\,\text{pm}. \]
2) Електрон енергије \( E_2 = 2\,\text{eV} \):
\[ p_2 = \sqrt{2mE_2} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}\cdot 3{,}204\cdot 10^{-19}\,\text{J}} = 7{,}64\cdot 10^{-25}\,\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}} \]
\[ \lambda_2 = \frac{h}{p_2} = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}}{7{,}64\cdot 10^{-25}\,\tfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}}} = 8{,}67\cdot 10^{-10}\,\text{m} = 0{,}867\,\text{nm}. \]
Напомена: у задатку је наведено да се за други електрон користи релативистички израз, али је његова енергија ( \( 2\,\text{eV} \) ) заправо занемарљива у односу на \( E_0 = 511\,\text{keV} \), па је и он изразито нерелативистички; исти нерелативистички израз важи и за електрон од \( 5\,\text{keV} \) (провера релативистичком формулом даје \( 17{,}30\,\text{pm} \), што се разликује мање од \( 0{,}3\% \)). Зато оба резултата рачунамо класичним изразом \( \lambda = h/\sqrt{2mE} \), као у Примеру 7.
Кратак запис решења:
\( \lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mE}} \Rightarrow \lambda_1 = 1{,}73\cdot 10^{-11}\,\text{m}\;(17{,}3\,\text{pm}),\; \lambda_2 = 8{,}67\cdot 10^{-10}\,\text{m}\;(0{,}867\,\text{nm}) \).
