Најважније из лекције
- Де Бројева хипотеза: Свакој честици импулса \( p \) придружује се талас таласне дужине \( \lambda = \frac{h}{p} \). Омогућила је објашњење Боровог постулата квантовања момента импулса (\( 2\pi r = n\lambda \implies L = n\hbar \)).
- Дифракција честица и електронски микроскоп: Потврђена Дејвисон-Џермеровим експериментом на кристалу никла (\( d\sin\phi = n\lambda \)). Мале таласне дужине брзих електрона омогућиле су конструкцију електронских микроскопа са хиљаду пута већом моћи разлагања од оптичких.
- Релације неодређености: \( \Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \) и \( \Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \). Из таласне природе материје следи да положај и импулс не могу истовремено бити савршено одређени; кратак боравак у побуђеном стању даје коначну природну ширину спектралних линија.
- Шредингерова једначина и таласна функција: Једначина \( \hat{H}\psi = E\psi \) описује квантна стања. Густина вероватноће налазишта честице је \( |\psi|^2 \), уз услов нормираности \( \int |\psi|^2 dV = 1 \).
- Јама и осцилатор: За честицу у бесконачној јами енергија расте са квадратом квантног броја (\( E_n = n^2 E_1 \)), док су код линеарног осцилатора нивои еквидистантни (\( E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega \), \( \Delta E = \hbar\omega \)) са ненултом основном енергијом \( E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \).
- Тунел ефекат: Могућност честице да прође кроз баријеру веће потенцијалне енергије од њене укупне (\( E < V_0 \)), уз експоненцијално гушење таласне функције. Примери: алфа-распад, СТМ микроскоп.
- Спектри водоника: Формула \( \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \) даје серије: Лајманову (\( n=1 \), UV), Балмерову (\( n=2 \), видљиви), Пашенову (\( n=3 \), IR) итд. Гранична таласна дужина настаје за \( m \to \infty \).
Честично-таласни дуализам: Сваки физички објекат испољава и таласна и честична својства. Као што електромагнетно зрачење поред таласних има и честичне особине (фотони са импулсом \( p_f = \frac{h}{\lambda} \)), тако и честице супстанце у кретању поседују таласне особине.
\[ \lambda = \frac{h}{p} \]
\(\lambda\) – Де Бројева таласна дужина, \(h\) – Планкова константа (\(h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\)), \(p\) – импулс честице.
Нерелативистичке честице: Кинетичка енергија је \( T \ll E_0 \), па је импулс \( p = \sqrt{2mT} \). За електрон убрзан напоном \( U \) (\( T = eU \)):
\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e e U}} = \frac{hc}{\sqrt{2E_0 T}} \]
Релативистичке честице: Када је кинетичка енергија честице упоредива са енергијом мировања или већа од ње (\( T \gtrsim E_0 \)), користи се релативистички импулс \( p = \frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0 + T)} \), па је:
\[ \lambda = \frac{hc}{\sqrt{T(2E_0 + T)}} \]
Тумачење Борових стационарних орбита: Електрон на кружној орбити полупречника \( r \) формира стојећи талас ако на обиму орбите стаје цео број Де Бројевих таласних дужина:
\[ 2\pi r = n\lambda = n\frac{h}{p} \implies L = r p = n\hbar \quad (n = 1, 2, 3 \dots) \]
Овим је квантовање момента импулса (\( L = n\hbar \)) објашњено таласном природом електрона.
Због изузетно мале вредности Планкове константе \( h \), таласне дужине макроскопских тела су занемарљиво мале (\(\sim 10^{-34}\text{ m}\)) и не могу се детектовати. Код микрочестица (електрони, неутрони) таласне дужине су реда величине \( 10^{-10}\text{ m} \) (упоредиве са међуатомским растојањима у кристалима), што омогућава њихово експериментално опажање.
Колика је Де Бројева таласна дужина електрона убрзаног напоном од \( 100\text{ V} \)? Енергија мировања електрона је \( E_0 = 511\text{ keV} \).
Пошто је \( T = 100\text{ eV} \ll 511\text{ keV} \), користимо нерелативистички израз:
\[ \lambda = \frac{hc}{\sqrt{2E_0 T}} = \frac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{\sqrt{2 \cdot 511 \cdot 10^3\text{ eV} \cdot 100\text{ eV}}} = \frac{1240}{10109}\text{ nm} \approx 0,123\text{ nm} \]
Дејвисон–Џермеров експеримент (1927): Сноп нерелативистичких електрона усмерен је на кристал никла (који делује као дифракциона решетка са периодом \( d \)). На покретном детектору уочен је дифракциони максимум за одређени угао расејања, чиме је експериментално потврђено да електрони имају таласне особине.
\[ d\sin\phi = n\lambda \]
Услов конструктивне интерференције (дифракционог максимума) при рефлексији електронских таласа о површину кристала са међуатомским растојањем \( d \).
Природа Де Бројевих таласа: Де Бројеви таласи нису електромагнетне природе – они се не простиру брзином светлости, већ брзином саме честице материје.
Електронски микроскоп: Уређај који уместо видљиве светлости користи сноп убрзаних електрона, а уместо оптичких сочива користи електромагнетна сочива.
Моћ разлагања: Моћ разлагања микроскопа обрнуто је сразмерна таласној дужини коришћеног снопа. Како су Де Бројеве таласне дужине електрона (\(\sim 0,1 - 0,6\text{ nm}\)) и до хиљаду пута мање од таласних дужина видљиве светлости (\(\sim 400 - 700\text{ nm}\)), електронски микроскопи омогућавају знатно већу резолуцију (до \( 50\text{ pm} \)) и увећања преко милион пута.
У електронском микроскопу мора владати висок вакуум како се сноп електрона не би расејавао на молекулима ваздуха. Основни типови су: трансмисиони (ТЕМ), скенирајући (СЕМ) и скенирајући тунелски микроскоп (СТМ).
Принцип неодређености: Квантномеханички закон према коме је немогуће истовремено са произвољном тачношћу одредити вредности одређених парова физичких величина честице (попут координате положаја и одговарајуће компоненте импулса, или енергије и времена). Релације неодређености су фундаментална последица таласне природе материје, а не несавршености мерних instrumenata.
\[ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}, \quad \Delta y \cdot \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2}, \quad \Delta z \cdot \Delta p_z \ge \frac{\hbar}{2} \]
где је \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) редукована Планкова константа (\(\hbar \approx 1,055 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}\)).
\[ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \]
\(\Delta E\) – неодређеност енергије квантног стања, \(\Delta t\) – неодређеност времена посматрања (време живота честице у том стању).
Природна ширина спектралних линија: Ако се атом налази у побуђеном стању у току кратког временског интервала \(\Delta t \sim 10^{-10}\text{ s}\), енергија тог стања има неизбежну неодређеност:
\[ \Delta E \ge \frac{\hbar}{2\Delta t} \]
Због тога емитовани фотони при прелазу у основно стање немају строго одређену енергију, што узрокује ширење спектралних линија.
Ако електрон пролази кроз уски отвор ширине \( \Delta y = 0,1\text{ nm} \), процените минималну неодређеност компоненте његовог импулса \( \Delta p_y \).
Применом релације неодређености \( \Delta y \cdot \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2} \):
\[ \Delta p_y \ge \frac{\hbar}{2\Delta y} = \frac{1,055 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{2 \cdot 0,1 \cdot 10^{-9}\text{ m}} \approx 5,28 \cdot 10^{-25}\text{ kg}\cdot\text{m/s} \]
Шредингерова једначина: Основна динамичка једначина нерелативистичке квантне механике (има улогу аналогну II Њутновом закону у класичној механици). Њеним решавањем налазе се таласне функције и сопствене вредности енергије система.
\[ \hat{H}\psi = E\psi \]
Временски независна Шредингерова једначина за 1D случај:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \]
где је \( m \) маса честице, \( V(x) \) њена потенцијална енергија, \( E \) укупна енергија, а \( \psi(x) \) таласна функција.
Таласна функција (\(\psi\)): Комплексна функција просторних координата и времена која носи све информације о посматраном квантном микрообјекту. Сама таласна функција нема директно мерљив физички смисао.
Статистичка (вероватносна) интерпретација: Квадрат модула таласне функције представља густину вероватноће налажења честице у датој тачки простора:
\[ dP = |\psi(\vec{r}, t)|^2 dV \]
Вероватноћа налажења честице у целокупном простору мора бити једнака 1 (услов нормираности):
\[ \int |\psi(\vec{r}, t)|^2 dV = 1 \]
Особине таласне функције:
- Мора бити једнозначна, коначна и непрекидна (заједно са својим првим изводом).
- Не сме да дивергира у бесконачности (како би се могла нормирати на јединицу).
Слободна честица (\( V(x) = 0 \)): Креће се дуж осе без утицаја сила. Описује се равним прогресивним де Бројевим таласом:
\[ \psi(x,t) = A(\cos(\omega t - kx) + i\sin(\omega t - kx)) = A e^{i(\omega t - kx)} \]
Њен енергетски спектар је непрекидан (\( E > 0 \)). Густина вероватноће је константна (\( |\psi|^2 = A^2 \)), што значи да је подједнако вероватно наћи слободну честицу у било којој тачки простора (положај је потпуно неодређен јер је импулс тачно познат).
Бесконачно дубока правоугаона потенцијална јама: Модел везане честице која се креће између непробојних зидова:
\[ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x \le L \\ \infty, & x < 0 \text{ или } x > L \end{cases} \]
Сопствене таласне функције (стојећи таласи):
\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\frac{n\pi x}{L}, \quad n = 1, 2, 3 \dots \]
Квантовани енергијски нивои:
\[ E_n = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}n^2 = n^2 E_1, \quad n = 1, 2, 3 \dots \]
Својства стационарних стања у јами:
- Енергија честице је дискретна (квантована) и расте сразмерно са \( n^2 \).
- Најнижа енергија (основно стање, \( n=1 \)) је већа од нуле: \( E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} > 0 \). Квантна честица не може мировати у јами.
- Густина вероватноће \( |\psi_n(x)|^2 = \frac{2}{L}\sin^2\frac{n\pi x}{L} \) је временски константна и има \( n \) максимума.
Квантни хармонијски осцилатор: Систем код кога се потенцијална енергија мења као \( V(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \), где је \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \). Овај модел описује вибрације атома у молекулима и чврстим телима.
\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right)\hbar\omega = \left( n + \frac{1}{2} \right)h\nu, \quad n = 0, 1, 2, 3 \dots \]
Разлика енергија између суседних нивоа је константна (еквидистантни нивои):
\[ \Delta E = E_{n+1} - E_n = \hbar\omega = h\nu \]
Нулта енергија: За \( n = 0 \), осцилатор има енергију основног стања \( E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega \ne 0 \). Осцилатор не може имати енергију једнаку нули, што је директна последица Хајзенбергових релација неодређености.
Тунел ефекат: Продор и пролазак микрочестице кроз потенцијалну баријеру коначне висине \( V_0 \) када је њена укупна енергија мања од висине баријере (\( E < V_0 \)). Појава је немогућа у класичној механици.
Унутар баријере таласна функција експоненцијално опада, али не пада моментално на нулу. На изласку из баријере таласна функција поново осцилује са смањеном амплитудом. Коефицијент пропустљивости дефинише вероватноћу проласка:
\[ T = \frac{|\psi_{III}(x)|^2}{|\psi_I(x)|^2} \]
Вероватноћа проласка је већа уколико је маса честице мања, ширина баријере \( L \) мања, и разлика \( (V_0 - E) \) мања.
Примене и феномени: Алфа-распад радиоактивних језгара, спајање језгара (нуклеарна фузија), везивање атома у молекуле, рад скенирајућег тунелског микроскопа (СТМ).
Спектар атома водоника: Емисиони спектар водоника је линијски и састоји се од дискретних таласних дужина које настају при квантним прелазима електрона са виших нивоа \( m \) на ниже нивое \( n \).
\[ \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \]
где је \( R \approx 1,097 \cdot 10^7\text{ m}^{-1} \) Ридбергова константа, \( Z \) редни број језгра (за водоник \( Z = 1 \)), а \( m > n \) цели бројеви.
| Серија | Нижи ниво (\( n \)) | Виши нивои (\( m \)) | Део спектра | Гранична таласна дужина (\( m \to \infty \)) |
|---|---|---|---|---|
| Лајманова | \( n = 1 \) | \( 2, 3, 4 \dots \) | Ултраљубичасти (UV) | \( \lambda_{gr} = \frac{1}{R} \approx 91,2\text{ nm} \) |
| Балмерова | \( n = 2 \) | \( 3, 4, 5 \dots \) | Видљиви и блиски UV | \( \lambda_{gr} = \frac{4}{R} \approx 364,6\text{ nm} \) |
| Пашенова | \( n = 3 \) | \( 4, 5, 6 \dots \) | Инфрацрвени (IR) | \( \lambda_{gr} = \frac{9}{R} \approx 820,4\text{ nm} \) |
| Бректова | \( n = 4 \) | \( 5, 6, 7 \dots \) | Инфрацрвени (IR) | \( \lambda_{gr} = \frac{16}{R} \) |
| Пфундова | \( n = 5 \) | \( 6, 7, 8 \dots \) | Инфрацрвени (IR) | \( \lambda_{gr} = \frac{25}{R} \) |
| Хамфријева | \( n = 6 \) | \( 7, 8, 9 \dots \) | Далеки инфрацрвени | \( \lambda_{gr} = \frac{36}{R} \) |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Квантни линеарни хармонијски осцилатор има сопствену фреквенцију \( \nu = 5 \cdot 10^{13}\text{ Hz} \). Одредити:
а) енергију основног стања,
б) енергију фотона који осцилатор емитује при прелазу са произвољног нивоа на суседни нижи ниво.
а) енергију основног стања,
б) енергију фотона који осцилатор емитује при прелазу са произвољног нивоа на суседни нижи ниво.
а) Енергија основног стања (\( n = 0 \)):
\[ E_0 = \frac{1}{2}h\nu = \frac{1}{2} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \cdot 5 \cdot 10^{13}\text{ s}^{-1} = 1,66 \cdot 10^{-20}\text{ J} \approx 0,104\text{ eV} \]
б) Енергија емитованог фотона:
Разлика суседних нивоа код хармонијског осцилатора је увек једнака:
\[ \Delta E = E_{n+1} - E_n = h\nu = 6,63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} \cdot 5 \cdot 10^{13}\text{ s}^{-1} = 3,315 \cdot 10^{-20}\text{ J} \approx 0,207\text{ eV} \]
Задатак 2 (средњи): Одредити највећу таласну дужину фотона у Балмеровој серији емисионог спектра атома водоника (\( R = 1,097 \cdot 10^7\text{ m}^{-1} \)). У ком делу спектра се налази ова линија?
За Балмерову серију је нижи ниво \( n = 2 \). Највећа таласна дужина одговара најмањој разлици енергија, односно прелазу са првог вишег нивоа (\( m = 3 \)):
\[ \frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \frac{5}{36} \]
\[ \lambda_{max} = \frac{36}{5R} = \frac{36}{5 \cdot 1,097 \cdot 10^7\text{ m}^{-1}} \approx 6,563 \cdot 10^{-7}\text{ m} = 656,3\text{ nm} \]
Ова таласна дужина одговара црвеној светлости (\( H_\alpha \) линија) и налази се у видљивом делу спектра.
Задатак 3 (средњи): Протон (\( m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg} \)) налази се у бесконачно дубокој 1D потенцијалној јами ширине \( L = 10^{-14}\text{ m} \) (приближна димензија атомског језгра). Колика је енергија фотона емитованог при прелазу протона са другог стационарног нивоа (\( n = 2 \)) на основни ниво (\( n = 1 \))?
Енергија квантованих нивоа у јами гласи:
\[ E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m_p L^2} n^2 = n^2 E_1 \]
Прво израчунавамо енергију основног стања:
\[ E_1 = \frac{(1,055 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s})^2 \cdot \pi^2}{2 \cdot 1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg} \cdot (10^{-14}\text{ m})^2} = \frac{1,113 \cdot 10^{-67} \cdot 9,87}{3,34 \cdot 10^{-55}} \approx 3,29 \cdot 10^{-13}\text{ J} \]
Енергија емитованог фотона једнака је разлици енергијских нивоа:
\[ \Delta E = E_2 - E_1 = (2^2 - 1^2) E_1 = 3 E_1 = 3 \cdot 3,29 \cdot 10^{-13}\text{ J} = 9,87 \cdot 10^{-13}\text{ J} \approx 6,17\text{ MeV} \]
Ова енергија одговара фотонима гама зрачења, што одговара процесима који се одвијају унутар атомских језгара.
Задатак 4 (тежак): Време живота атома у побуђеном стању износи \( \tau = 1,2 \cdot 10^{-8}\text{ s} \). При преласку у основно стање атом емитује светлост таласне дужине \( \lambda = 600\text{ nm} \). Користећи Хајзенбергову релацију неодређености \( \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \), одредити релативну неодређеност фреквенције емитованог фотона \( \frac{\Delta \nu}{\nu} \).
1. Неодређеност енергије и фреквенције:
Узимајући минималну неодређеност (\( \Delta t \approx \tau \)):
\[ \Delta E \approx \frac{\hbar}{2\tau} = \frac{h}{4\pi\tau} \]
Како је \( \Delta E = h \Delta\nu \), следи:
\[ \Delta\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{1}{4\pi\tau} = \frac{1}{4\pi \cdot 1,2 \cdot 10^{-8}\text{ s}} \approx 6,63 \cdot 10^6\text{ Hz} \]
2. Фреквенција емитоване светлости:
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \cdot 10^8\text{ m/s}}{600 \cdot 10^{-9}\text{ m}} = 5 \cdot 10^{14}\text{ Hz} \]
3. Релативна неодређеност:
\[ \frac{\Delta\nu}{\nu} = \frac{6,63 \cdot 10^6\text{ Hz}}{5 \cdot 10^{14}\text{ Hz}} \approx 1,33 \cdot 10^{-8} \]
Иако мала, ова фундаментална неодређеност одређује природну ширину спектралне линије.
