Најважније из лекције
- Променљиво кретање: Кретање код кога се брзина мења у току времена.
- Средња брзина: Рачуна се као количник укупног пређеног пута и укупног протеклог времена: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} \]
- Важно за време (\(t_u\)): Увек укључује и време задржавања (стајања, паузе).
- Релативност и слагање брзина:
- Исти смер (низводно): \(v = v_1 + v_2\)
- Супротан смер (узводно): \(v = v_1 - v_2\)
- Кретање у сусрет: \(v_{rel} = v_1 + v_2\)
Променљиво (неравномерно) кретање је кретање при којем тело у једнаким временским интервалима прелази различите путеве, односно мења своју брзину током времена.
Средња брзина (\(v_{sr}\)) представља просечну брзину неравномерног кретања. Једнака је оној сталној брзини којом би тело, крећући се равномерно, за исто укупно време прешло исти укупан пут.
Основна мерна јединица за брзину у Међународном систему јединица (SI) је метар у секунди (\(\text{m/s}\)), а у свакодневном животу често се користи километар на час (\(\text{km/h}\)).
Вредност средње брзине не може бити већа од највеће (максималне) нити мања од најмање (минималне) тренутне брзине коју је тело имало током кретања.
\[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{s_1 + s_2 + \dots + s_n}{t_1 + t_2 + \dots + t_n} \]
\(s_u\) – укупан пређени пут, \(t_u\) – укупно време кретања
У укупно време (\(t_u\)) обавезно се урачунавају и временски интервали у којима је тело стајало (паузе, мировање на станицама или семафорима), при чему је за то време пређени пут \(s = 0\text{ m}\).
Пешак пређе \(150\text{ m}\) за \(3\text{ min}\), затим се одмара \(2\text{ min}\), а потом пређе још \(450\text{ m}\) за \(5\text{ min}\).
Укупан пут: \(s_u = 150\text{ m} + 0\text{ m} + 450\text{ m} = 600\text{ m}\).
Укупно време: \(t_u = 3\text{ min} + 2\text{ min} + 5\text{ min} = 10\text{ min} = 600\text{ s}\).
Средња брзина: \(v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{600\text{ m}}{600\text{ s}} = 1\text{ m/s}\).
Укупан пут: \(s_u = 150\text{ m} + 0\text{ m} + 450\text{ m} = 600\text{ m}\).
Укупно време: \(t_u = 3\text{ min} + 2\text{ min} + 5\text{ min} = 10\text{ min} = 600\text{ s}\).
Средња брзина: \(v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{600\text{ m}}{600\text{ s}} = 1\text{ m/s}\).
Аутобус је деоницу од \(30\text{ km}\) прешао за \(30\text{ min}\), а након тога стајао на станици \(10\text{ min}\). Преосталих \(20\text{ km}\) прешао је за \(20\text{ min}\). Колика је средња брзина аутобуса на целом путу у \(\text{km/h}\)?
\(s_u = 30\text{ km} + 0\text{ km} + 20\text{ km} = 50\text{ km}\)
\(t_u = 30\text{ min} + 10\text{ min} + 20\text{ min} = 60\text{ min} = 1\text{ h}\)
\(v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{50\text{ km}}{1\text{ h}} = 50\text{ km/h}\).
\(t_u = 30\text{ min} + 10\text{ min} + 20\text{ min} = 60\text{ min} = 1\text{ h}\)
\(v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{50\text{ km}}{1\text{ h}} = 50\text{ km/h}\).
Брзина је релативна величина - њен износ и смер зависе од избора референтног тела у односу на које се кретање посматра.
Када се тело креће дуж истог правца као и средина (или друго тело), укупна (релативна) брзина одређује се векторским слагањем:
- Кретање у истом смеру (низводно): брзине се сабирају: \[ v = v_1 + v_2 \]
- Кретање у супротном смеру (узводно): брзине се одузимају: \[ v = v_1 - v_2 \]
- Кретање два тела једно другом у сусрет: брзина приближавања једнака је збиру њихових брзина (\(v_{rel} = v_1 + v_2\)).
- Кретање два тела истим брзинама у истом смеру: растојање међу њима се не мења, па је брзина једног у односу на друго једнака нули (\(v_{rel} = 0\)).
Брзина чамца у односу на воду износи \(v_1 = 3\text{ m/s}\), а брзина речног тока износи \(v_2 = 0,5\text{ m/s}\).
• При пловидби низводно брзина чамца у односу на обалу је: \(v = 3\text{ m/s} + 0,5\text{ m/s} = 3,5\text{ m/s}\).
• При пловидби узводно брзина чамца у односу на обалу је: \(v = 3\text{ m/s} - 0,5\text{ m/s} = 2,5\text{ m/s}\).
• При пловидби низводно брзина чамца у односу на обалу је: \(v = 3\text{ m/s} + 0,5\text{ m/s} = 3,5\text{ m/s}\).
• При пловидби узводно брзина чамца у односу на обалу је: \(v = 3\text{ m/s} - 0,5\text{ m/s} = 2,5\text{ m/s}\).
Два аутомобила се крећу један другом у сусрет брзинама од \(80\text{ km/h}\) и \(70\text{ km/h}\). Коликом брзином се аутомобили приближавају један другом?
Пошто се крећу један другом у сусрет (супротни смерови на истом правцу), њихова релативна брзина приближавања је збир појединачних брзина:
\[ v_{rel} = v_1 + v_2 = 80\text{ km/h} + 70\text{ km/h} = 150\text{ km/h} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Спортиста претрчи стазу дужине \(400\text{ m}\) за време од \(50\text{ s}\). Израчунај његову средњу брзину.
Подаци:
\(s_u = 400\text{ m}\)
\(t_u = 50\text{ s}\)
Из формуле за средњу брзину: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{400\text{ m}}{50\text{ s}} = 8\text{ m/s} \] Одговор: Средња брзина спортисте је \(8\text{ m/s}\).
\(s_u = 400\text{ m}\)
\(t_u = 50\text{ s}\)
Из формуле за средњу брзину: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{400\text{ m}}{50\text{ s}} = 8\text{ m/s} \] Одговор: Средња брзина спортисте је \(8\text{ m/s}\).
Задатак 2 (средњи): Моторни чамац плови узводно реком брзином \(7\text{ m/s}\) у односу на посматрача на обали. Ако је брзина речног тока \(1,5\text{ m/s}\), колика је брзина чамца у односу на мирну воду?
При кретању узводно, речни ток успорава чамац:
\[ v = v_{č} - v_{r} \]
где је:
\(v = 7\text{ m/s}\) (брзина у односу на обалу)
\(v_{r} = 1,5\text{ m/s}\) (брзина реке)
\(v_{č}\) – тражена брзина чамца у односу на воду.
Одатле следи: \[ v_{č} = v + v_{r} = 7\text{ m/s} + 1,5\text{ m/s} = 8,5\text{ m/s} \] Одговор: Брзина чамца у односу на мирну воду износи \(8,5\text{ m/s}\).
\(v = 7\text{ m/s}\) (брзина у односу на обалу)
\(v_{r} = 1,5\text{ m/s}\) (брзина реке)
\(v_{č}\) – тражена брзина чамца у односу на воду.
Одатле следи: \[ v_{č} = v + v_{r} = 7\text{ m/s} + 1,5\text{ m/s} = 8,5\text{ m/s} \] Одговор: Брзина чамца у односу на мирну воду износи \(8,5\text{ m/s}\).
Задатак 3 (средњи): Аутомобил се првих \(120\text{ km}\) кретао брзином од \(60\text{ km/h}\), затим је направио паузу од \(30\text{ min}\), а преосталих \(80\text{ km}\) прешао је за \(1\text{ h}\). Колика је средња брзина аутомобила на целом путу?
1. Време потребно за први део пута:
\[ t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{120\text{ km}}{60\text{ km/h}} = 2\text{ h} \]
2. Време паузе: \(t_2 = 30\text{ min} = 0,5\text{ h}\), при чему је \(s_2 = 0\text{ km}\).
3. Други део пута: \(s_3 = 80\text{ km}\), \(t_3 = 1\text{ h}\).
4. Укупан пут и укупно време: \[ s_u = s_1 + s_2 + s_3 = 120\text{ km} + 0\text{ km} + 80\text{ km} = 200\text{ km} \] \[ t_u = t_1 + t_2 + t_3 = 2\text{ h} + 0,5\text{ h} + 1\text{ h} = 3,5\text{ h} \] 5. Средња брзина: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{200\text{ km}}{3,5\text{ h}} \approx 57,14\text{ km/h} \] Одговор: Средња брзина аутомобила је приближно \(57,14\text{ km/h}\).
3. Други део пута: \(s_3 = 80\text{ km}\), \(t_3 = 1\text{ h}\).
4. Укупан пут и укупно време: \[ s_u = s_1 + s_2 + s_3 = 120\text{ km} + 0\text{ km} + 80\text{ km} = 200\text{ km} \] \[ t_u = t_1 + t_2 + t_3 = 2\text{ h} + 0,5\text{ h} + 1\text{ h} = 3,5\text{ h} \] 5. Средња брзина: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{200\text{ km}}{3,5\text{ h}} \approx 57,14\text{ km/h} \] Одговор: Средња брзина аутомобила је приближно \(57,14\text{ km/h}\).
Задатак 4 (тежак): Возило пређе прву половину укупног пута брзином \(v_1 = 40\text{ km/h}\), а другу половину истог пута брзином \(v_2 = 60\text{ km/h}\). Израчунај средњу брзину возила на целом путу.
Нека је укупан пут \(s_u = s\).
Тада су половина пута \(s_1 = \frac{s}{2}\) и \(s_2 = \frac{s}{2}\).
Времена по деоницама су: \[ t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{s}{2 \cdot 40} = \frac{s}{80} \] \[ t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{s}{2 \cdot 60} = \frac{s}{120} \] Укупно време је: \[ t_u = t_1 + t_2 = \frac{s}{80} + \frac{s}{120} = \frac{3s + 2s}{240} = \frac{5s}{240} = \frac{s}{48} \] Средња брзина је: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{s}{\frac{s}{48}} = 48\text{ km/h} \] (Напомена: Средња брзина на једнаким деловима пута није аритметичка средина брзина \(\frac{40+60}{2}=50\text{ km/h}\), већ се увек рачуна преко укупног пута и укупног времена!)
Одговор: Средња брзина на целом путу износи \(48\text{ km/h}\).
Тада су половина пута \(s_1 = \frac{s}{2}\) и \(s_2 = \frac{s}{2}\).
Времена по деоницама су: \[ t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{s}{2 \cdot 40} = \frac{s}{80} \] \[ t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{s}{2 \cdot 60} = \frac{s}{120} \] Укупно време је: \[ t_u = t_1 + t_2 = \frac{s}{80} + \frac{s}{120} = \frac{3s + 2s}{240} = \frac{5s}{240} = \frac{s}{48} \] Средња брзина је: \[ v_{sr} = \frac{s_u}{t_u} = \frac{s}{\frac{s}{48}} = 48\text{ km/h} \] (Напомена: Средња брзина на једнаким деловима пута није аритметичка средина брзина \(\frac{40+60}{2}=50\text{ km/h}\), већ се увек рачуна преко укупног пута и укупног времена!)
Одговор: Средња брзина на целом путу износи \(48\text{ km/h}\).
