Најважније из лекције
Директно и индиректно мерење: Мерила (лењир, мензура) мере директно; мерни инструменти (термометар, динамометар, вага) мере посредно. Резултат мерења садржи процењену грешку (\(\Delta X\)) једнаку најмањем подељку скале: \( X = (X_{\text{изм}} \pm \Delta X) \).
Површина (\( P \)): Основна јединица је \( \text{m}^2 \). Важи: \( 1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2 \), \( 1\text{ ha} = 10^4\text{ m}^2 \), \( 1\text{ a} = 100\text{ m}^2 \), \( 1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 \). За правилне облике: \( P_{\text{квадрата}} = a^2 \), \( P_{\text{правоугаоника}} = a \cdot b \); за неправилне облике користи се планиметар или мрежа јединичних квадрата.
Запремина (\( V \)): Основна јединица је \( \text{m}^3 \). Важи: \( 1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L} \), а \( 1\text{ dm}^3 = 1\text{ L} = 1\,000\text{ mL} = 1\,000\text{ cm}^3 \). Квадар: \( V = a \cdot b \cdot c \). Неправилна тела: мери се мензуром (\( V = V_2 - V_1 \)) или судом са преливном цеви.
Време: Заснива се на периодичним циклусима природе; кроз историју се мерило сунчаним, воденим, пешчаним и механичким сатовима, док се данас користе високопрецизни дигитални хронометри и атомски часовници.
Површина (\( P \)): Основна јединица је \( \text{m}^2 \). Важи: \( 1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2 \), \( 1\text{ ha} = 10^4\text{ m}^2 \), \( 1\text{ a} = 100\text{ m}^2 \), \( 1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 \). За правилне облике: \( P_{\text{квадрата}} = a^2 \), \( P_{\text{правоугаоника}} = a \cdot b \); за неправилне облике користи се планиметар или мрежа јединичних квадрата.
Запремина (\( V \)): Основна јединица је \( \text{m}^3 \). Важи: \( 1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ L} \), а \( 1\text{ dm}^3 = 1\text{ L} = 1\,000\text{ mL} = 1\,000\text{ cm}^3 \). Квадар: \( V = a \cdot b \cdot c \). Неправилна тела: мери се мензуром (\( V = V_2 - V_1 \)) или судом са преливном цеви.
Време: Заснива се на периодичним циклусима природе; кроз историју се мерило сунчаним, воденим, пешчаним и механичким сатовима, док се данас користе високопрецизни дигитални хронометри и атомски часовници.
Мерење је поступак упоређивања неке физичке величине са одговарајућом, унапред договореном јединицом мере (еталоном).
Мерила су једноставна средства којима се врши директно (непосредно) мерење физичких величина поређењем са еталоном. У мерила спадају: лењир, метарска трака, помично мерило (лењир са нонијусом), микрометарски завртањ и мензура.
Мерни инструменти су сложени уређаји који се користе за индиректно (посредно) мерење физичких величина. У мерне инструменте спадају: динамометар (мери силу преко издужења опруге), кухињска вага, термометар, амперметар, електрично бројило (струјомер), планиметар и часовници.
Сваки мерни инструмент садржи скалу (са подеоцима или у дигиталном облику на дисплеју). Опсег мерења представља распон од најмање до највеће вредности коју инструмент може да измери. Вредност најмањег подељка је вредност између две суседне цртице на скали и она одређује тачност мерења.
Вредност најмањег подељка се узима као процењена грешка мерења (апсолутна грешка \(\Delta X\)). Резултат мерења се записује у облику:
\[ X = (X_{\text{изм}} \pm \Delta X)\ \text{мерна јединица} \]
Ако лењир има подеоке од \(1\text{ mm}\), односно \(0{,}1\text{ cm}\), и њиме измеримо дужину оловке од \(12{,}4\text{ cm}\), резултат записујемо као:
\[ d = (12{,}4 \pm 0{,}1)\text{ cm} \]
Ознака за дужину: \( l, a, b, c, d, h \); Ознака за обим: \( O \).
Основна јединица за дужину у SI систему је метар (\( \text{m} \)).
За мерење мањих дужина користе се школски лењир, мерна трака, помично мерило (лењир са нонијусом) и микрометарски завртањ. За већа растојања користе се геометарске траке, ултразвучни и ласерски даљиномери.
\[ O_{\text{квадрата}} = 4 \cdot a \]
\[ O_{\text{правоугаоника}} = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2(a + b) \]
Ако се страница квадрата мери са грешком \(\Delta a\), укупна апсолутна грешка обима износи четири пута вредност те грешке: \(\Delta O = 4 \cdot \Delta a\).
Страница квадрата измерена је лењиром са милиметарском поделом и износи \( 3{,}0\text{ cm} \). Прикажи резултат мерења странице и израчунај обим квадрата са грешком.
Најмањи поделак лењира је \( 1\text{ mm} = 0{,}1\text{ cm} \).
Резултат мерења странице: \( a = (3{,}0 \pm 0{,}1)\text{ cm} \).
Обим: \( O = 4 \cdot a = 4 \cdot 3{,}0\text{ cm} = 12{,}0\text{ cm} \).
Грешка обима: \( \Delta O = 4 \cdot 0{,}1\text{ cm} = 0{,}4\text{ cm} \).
Резултат мерења обима: \( O = (12{,}0 \pm 0{,}4)\text{ cm} \).
Резултат мерења странице: \( a = (3{,}0 \pm 0{,}1)\text{ cm} \).
Обим: \( O = 4 \cdot a = 4 \cdot 3{,}0\text{ cm} = 12{,}0\text{ cm} \).
Грешка обима: \( \Delta O = 4 \cdot 0{,}1\text{ cm} = 0{,}4\text{ cm} \).
Резултат мерења обима: \( O = (12{,}0 \pm 0{,}4)\text{ cm} \).
Ознака за површину је велико латиничко слово \( P \).
Основна мерна јединица за површину је квадратни метар (\( \text{m}^2 \)).
Површина је изведена физичка величина и њено одређивање се заснива на мерењу дужине.
| Веће јединице од \( \text{m}^2 \) | Мање јединице од \( \text{m}^2 \) |
|---|---|
| \( 1\text{ km}^2 = 1\,000\,000\text{ m}^2 \) | \( 1\text{ dm}^2 = 0{,}01\text{ m}^2 = \frac{1}{100}\text{ m}^2 \) |
| \( 1\text{ ha (хектар)} = 10\,000\text{ m}^2 \) | \( 1\text{ cm}^2 = 0{,}0001\text{ m}^2 = \frac{1}{10\,000}\text{ m}^2 \) |
| \( 1\text{ a (ар)} = 100\text{ m}^2 \) | \( 1\text{ mm}^2 = 0{,}000001\text{ m}^2 = \frac{1}{1\,000\,000}\text{ m}^2 \) |
\[ P_{\text{квадрата}} = a \cdot a = a^2 \]
\[ P_{\text{правоугаоника}} = a \cdot b \]
Површина равних фигура неправилног облика одређује се мерним инструментом који се зове планиметар или методом квадратне мреже (бројањем потпуних квадрата и спајањем делова квадрата у целине).
Ако је страница квадрата \( a = (a_0 \pm \Delta a) \), одређују се минимална (\( P_{\text{min}} = (a_0 - \Delta a)^2 \)) и максимална вредност површине (\( P_{\text{max}} = (a_0 + \Delta a)^2 \)). За апсолутну грешку узима се веће одступање од вредности \( P_0 = a_0^2 \).
Ознака за запремину је велико латиничко слово \( V \).
Основна јединица за запремину је кубни метар (\( \text{m}^3 \)).
Запремина је величина простора који заузима неко физичко тело или супстанца.
\[ 1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 = 1\,000\,000\,000\text{ mm}^3 \]
\[ 1\text{ L (литар)} = 1\text{ dm}^3 \]
\[ 1\text{ mL (милилитар)} = 1\text{ cm}^3 \]
\[ 1\text{ hL (хектолитар)} = 100\text{ L} = 100\text{ dm}^3 \]
Запремина се одређује индиректно, мерењем димензија (дужине \( a \), ширине \( b \) и висине \( c \)):
\[ V = a \cdot b \cdot c \]
Запремина течности се директно очитава на скали мензуре, при чему поглед мора бити у хоризонталној равни са површином течности.
За чврсто тело које не реагује са водом и тоне:
\[ V = V_2 - V_1 \]
где је \( V_1 \) ниво течности без тела, а \( V_2 \) ниво течности са потпуно потопљеним телом.
За чврсто тело које не реагује са водом и тоне:
Ако тело не може да стане у мензуру, користи се суд са преливном цеви. Тело истисне запремину воде једнаку сопственој запремини, која кроз цев отиче у празан мерни суд (мензуру).
Мерење времена се заснива на правилним периодичним појавама у природи (на пример, револуција Земље око Сунца траје једну годину, а ротација Земље око своје осе један дан).
Јединице дуже од године су век (100 година) и миленијум (1000 година). Временски интервали мањи од дана мере се часовницима и хронометрима.
| Врста часовника | Принцип рада и карактеристике |
|---|---|
| Сунчани сат | Најстарији часовник; време одређује према правцу и положају сенке. |
| Водени сат (клепсидра) | Мери време на основу равномерног истицања воде кроз уски отвор. |
| Пешчани сат | Мери одређени временски интервал протицањем финог песка из горње у доњу посуду. |
| Механички торањски сатови | Развијени у XIII веку, покретани теговима и зупчаницима. |
| Дигитални хронометри | Електронски сатови велике прецизности; мере стоте делове секунде. |
| Атомски часовници | Најпрецизнији савремени часовници (одступају мање од 1 секунде за милион година). |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Изврши претварање следећих мерних јединица:
а) \( 2{,}5\text{ m}^2 \) у \( \text{dm}^2 \) и \( \text{cm}^2 \)
б) \( 4\,500\text{ mL} \) у \( \text{L} \) и \( \text{dm}^3 \)
а) \( 2{,}5\text{ m}^2 \) у \( \text{dm}^2 \) и \( \text{cm}^2 \)
б) \( 4\,500\text{ mL} \) у \( \text{L} \) и \( \text{dm}^3 \)
а) Пошто је \( 1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2 \):
\[ 2{,}5\text{ m}^2 = 2{,}5 \cdot 100\text{ dm}^2 = 250\text{ dm}^2 \]
\[ 2{,}5\text{ m}^2 = 2{,}5 \cdot 10\,000\text{ cm}^2 = 25\,000\text{ cm}^2 \]
б) Пошто је \( 1\text{ L} = 1\,000\text{ mL} \) и \( 1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 \):
\[ 4\,500\text{ mL} = \frac{4\,500}{1\,000}\text{ L} = 4{,}5\text{ L} \]
\[ 4{,}5\text{ L} = 4{,}5\text{ dm}^3 \]
Задатак 2 (средњи): У мензуру је сипана вода до подеока \( 135\text{ mL} \). Након што је у њу спуштен метални кључ, ниво воде се попео на \( 162\text{ mL} \).
Колика је запремина кључа? Резултат изразити у \( \text{cm}^3 \) и \( \text{m}^3 \).
Колика је запремина кључа? Резултат изразити у \( \text{cm}^3 \) и \( \text{m}^3 \).
Познато је: \( V_1 = 135\text{ mL} \), \( V_2 = 162\text{ mL} \).
Запремина тела износи: \[ V = V_2 - V_1 = 162\text{ mL} - 135\text{ mL} = 27\text{ mL} \] Како је \( 1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3 \): \[ V = 27\text{ cm}^3 \] Пошто је \( 1\text{ m}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 \), односно \( 1\text{ cm}^3 = 0{,}000001\text{ m}^3 \): \[ V = 27 \cdot 0{,}000001\text{ m}^3 = 0{,}000027\text{ m}^3 \]
Запремина тела износи: \[ V = V_2 - V_1 = 162\text{ mL} - 135\text{ mL} = 27\text{ mL} \] Како је \( 1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3 \): \[ V = 27\text{ cm}^3 \] Пошто је \( 1\text{ m}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3 \), односно \( 1\text{ cm}^3 = 0{,}000001\text{ m}^3 \): \[ V = 27 \cdot 0{,}000001\text{ m}^3 = 0{,}000027\text{ m}^3 \]
Задатак 3 (средњи): Базен облика квадра има дужину \( 25\text{ m} \), ширину \( 10\text{ m} \) и дубину \( 2\text{ m} \).
Колика је запремина базена у кубним метрима, и колико хектолитара (\( \text{hL} \)) воде је потребно да би се базен напунио до врха?
Колика је запремина базена у кубним метрима, и колико хектолитара (\( \text{hL} \)) воде је потребно да би се базен напунио до врха?
Запремина базена:
\[ V = a \cdot b \cdot c = 25\text{ m} \cdot 10\text{ m} \cdot 2\text{ m} = 500\text{ m}^3 \]
Претварање у литре:
\[ 500\text{ m}^3 = 500 \cdot 1\,000\text{ dm}^3 = 500\,000\text{ dm}^3 = 500\,000\text{ L} \]
Претварање у хектолитре (\( 1\text{ hL} = 100\text{ L} \)):
\[ V = \frac{500\,000}{100}\text{ hL} = 5\,000\text{ hL} \]
Задатак 4 (тежак): Лењиром са подеоком од \( 1\text{ mm} \) измерена је дужина странице квадрата и она износи \( a = 4{,}0\text{ cm} \).
а) Запиши резултат мерења странице квадрата узимајући вредност најмањег подеока као грешку.
б) Израчунај површину квадрата и процени одступање (грешку) резултата мерења површине.
а) Запиши резултат мерења странице квадрата узимајући вредност најмањег подеока као грешку.
б) Израчунај површину квадрата и процени одступање (грешку) резултата мерења површине.
а) Најмањи поделак лењира је \( 1\text{ mm} = 0{,}1\text{ cm} \).
Резултат мерења странице: \[ a = (4{,}0 \pm 0{,}1)\text{ cm} \] б) Израчуната површина је: \[ P_0 = a_0^2 = (4{,}0\text{ cm})^2 = 16{,}0\text{ cm}^2 \] Одређујемо минималну и максималну површину: \[ a_{\text{min}} = 4{,}0 - 0{,}1 = 3{,}9\text{ cm} \implies P_{\text{min}} = (3{,}9\text{ cm})^2 = 15{,}21\text{ cm}^2 \] \[ a_{\text{max}} = 4{,}0 + 0{,}1 = 4{,}1\text{ cm} \implies P_{\text{max}} = (4{,}1\text{ cm})^2 = 16{,}81\text{ cm}^2 \] Одступања од израчунате вредности \( P_0 \): \[ |P_0 - P_{\text{min}}| = |16{,}0 - 15{,}21| = 0{,}79\text{ cm}^2 \] \[ |P_{\text{max}} - P_0| = |16{,}81 - 16{,}0| = 0{,}81\text{ cm}^2 \] За грешку се узима веће одступање (\( 0{,}81\text{ cm}^2 \approx 0{,}8\text{ cm}^2 \)).
Коначан запис мерења површине: \[ P = (16{,}0 \pm 0{,}8)\text{ cm}^2 \]
Резултат мерења странице: \[ a = (4{,}0 \pm 0{,}1)\text{ cm} \] б) Израчуната површина је: \[ P_0 = a_0^2 = (4{,}0\text{ cm})^2 = 16{,}0\text{ cm}^2 \] Одређујемо минималну и максималну површину: \[ a_{\text{min}} = 4{,}0 - 0{,}1 = 3{,}9\text{ cm} \implies P_{\text{min}} = (3{,}9\text{ cm})^2 = 15{,}21\text{ cm}^2 \] \[ a_{\text{max}} = 4{,}0 + 0{,}1 = 4{,}1\text{ cm} \implies P_{\text{max}} = (4{,}1\text{ cm})^2 = 16{,}81\text{ cm}^2 \] Одступања од израчунате вредности \( P_0 \): \[ |P_0 - P_{\text{min}}| = |16{,}0 - 15{,}21| = 0{,}79\text{ cm}^2 \] \[ |P_{\text{max}} - P_0| = |16{,}81 - 16{,}0| = 0{,}81\text{ cm}^2 \] За грешку се узима веће одступање (\( 0{,}81\text{ cm}^2 \approx 0{,}8\text{ cm}^2 \)).
Коначан запис мерења површине: \[ P = (16{,}0 \pm 0{,}8)\text{ cm}^2 \]
