Најважније из лекције
Слободан пад (\(v_0 = 0\)): Равномерно убрзано кретање усмерено наниже са убрзањем \(g \approx 9,8\text{ m/s}^2\).
Кључне формуле: \(v = gt\), \(s = \frac{gt^2}{2}\), \(v = \sqrt{2gs}\), \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\).
Бестежинско стање: Јавља се током слободног падања тела јер тело не притиска подлогу нити затеже нит (\(Q = 0\)), иако сила Земљине теже и даље делује.
Вертикални хитац навише: Кретање са почетном брзином \(v_0\) навише и успорењем \(g\).
Кључне формуле: \(v = v_0 - gt\), \(h_t = v_0 t - \frac{gt^2}{2}\), \(t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g}\), \(h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}\).
Симетрија: Време пењања једнако је времену падања (\(t_{\uparrow} = t_{\downarrow}\)), а почетна брзина и брзина удара о тло су истог интензитета: \(|v| = v_0\).
Сусрет тела: За тело бачено одоздо и тело испуштено са висине \(h\), укупно време до сусрета износи \(t = \frac{h}{v_0}\).
Кључне формуле: \(v = gt\), \(s = \frac{gt^2}{2}\), \(v = \sqrt{2gs}\), \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\).
Бестежинско стање: Јавља се током слободног падања тела јер тело не притиска подлогу нити затеже нит (\(Q = 0\)), иако сила Земљине теже и даље делује.
Вертикални хитац навише: Кретање са почетном брзином \(v_0\) навише и успорењем \(g\).
Кључне формуле: \(v = v_0 - gt\), \(h_t = v_0 t - \frac{gt^2}{2}\), \(t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g}\), \(h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}\).
Симетрија: Време пењања једнако је времену падања (\(t_{\uparrow} = t_{\downarrow}\)), а почетна брзина и брзина удара о тло су истог интензитета: \(|v| = v_0\).
Сусрет тела: За тело бачено одоздо и тело испуштено са висине \(h\), укупно време до сусрета износи \(t = \frac{h}{v_0}\).
Слободан пад је праволинијско кретање тела без почетне брзине (\(v_0 = 0\)) само под утицајем Земљине теже. То је равномерно убрзано кретање са сталним убрзањем \(g \approx 9,8 \text{ m/s}^2\).
Сва тела, без обзира на масу или облик, у безваздушном простору (вакууму) падају са истим убрзањем и истовремено стижу на тло ако су пуштена са исте висине (Галилејев оглед).
\[
\begin{array}{|l|c|}
\hline
\textbf{Величина} & \textbf{Формула} \\
\hline
\text{Брзина у тренутку } t & v = g \cdot t \\
\hline
\text{Пређени пут за време } t & s = \frac{g \cdot t^2}{2} \\
\hline
\text{Брзина на пређеном путу } s & v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s} \\
\hline
\text{Време падања са висине } h & t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \\
\hline
\text{Тренутна висина тела изнад тла} & h_t = h - s = h - \frac{g \cdot t^2}{2} \\
\hline
\end{array}
\]
Однос путева у узастопним временским интервалима: Пошто пређени пут зависи од квадрата времена (\(s \sim t^2\)), односи путева које тело пређе од почетка кретања за \(1\text{ s}, 2\text{ s}, 3\text{ s}, \dots\) стоје у односу квадрата целих бројева:
\[ s_1 : s_2 : s_3 : s_4 = 1^2 : 2^2 : 3^2 : 4^2 = 1 : 4 : 9 : 16 \]
Ако тело слободно пада са висине \(h = 1,8\text{ m}\) уз \(g = 9,8\text{ m/s}^2\):
Време падања износи \(t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,8\text{ m}}{9,8\text{ m/s}^2}} \approx 0,6\text{ s}\).
Крајња брзина удара о тло је \(v = g \cdot t = 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 0,6\text{ s} \approx 5,9\text{ m/s}\).
Време падања износи \(t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,8\text{ m}}{9,8\text{ m/s}^2}} \approx 0,6\text{ s}\).
Крајња брзина удара о тло је \(v = g \cdot t = 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 0,6\text{ s} \approx 5,9\text{ m/s}\).
Са ког растојања од врха шишарка пада током прве 2 секунде слободног пада (\(g = 9,8\text{ m/s}^2\))?
Користимо формулу за пређени пут:
\[ s = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \text{ m/s}^2 \cdot (2\text{ s})^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 4}{2} = 19,6\text{ m} \]
Одговор: Шишарка за 2 секунде пређе пут од \(19,6\text{ m}\).
Бестежинско стање је физичко стање тела у којем је његова тежина једнака нули (\(Q = 0\)).
Тежина је сила којом тело услед дејства Земљине теже делује на водоравну подлогу или затеже нит о коју је обешено. Када се тело креће само под дејством силе теже (слободно пада), подлога или вешање падају заједно са телом истим убрзањем, па нема узајамног притиска нити затезања.
У бестежинском стању гравитациона сила (сила теже) и даље постоји и делује на тело, али је искључиво тежина једнака нули!
- Динамометар са закаченим тегом током слободног падања показује silu \(0\text{ N}\).
- Из пластичне чаше на чијем је дну отвор, вода престаје да цури оног тренутка када се чаша пусти да слободно пада.
- Астронаути на Међународној свемирској станици су у сталном бестежинском стању јер станица и све у њој константно „падају” ка Земљи док круже великом брзином.
Ако лист танког папира притиснемо између два тега окачена о сталак, па цео систем пустимо да слободно пада, да ли ће се папир поцепати?
Одговор: Папир се неће поцепати. Током слободног пада тегови се налазе у бестежинском стању (\(Q = 0\)), горњи тег не притиска доњи, те нема трења нити силе која би задржала и поцепала папир.
Вертикални хитац навише је праволинијско кретање тела са почетном брзином \(v_0\) усмереном вертикално навише, под дејством силе теже.
Ово кретање се састоји из две фазе:
- Пењање: равномерно успорено кретање од брзине \(v_0\) до \(v = 0\) на највишој тачки.
- Падање: слободан пад са максималне висине назад на земљу.
\[
\begin{array}{|l|c|}
\hline
\textbf{Величина} & \textbf{Формула} \\
\hline
\text{Брзина у тренутку } t & v = v_0 - g \cdot t \\
\hline
\text{Висина изнад тла у тренутку } t & h_t = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \\
\hline
\text{Веза брзине и пређеног пута} & v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot s \\
\hline
\text{Време пењања до максималне висине } (v = 0) & t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} \\
\hline
\text{Максимална висина} & h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \\
\hline
\text{Укупно време кретања} & t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = \frac{2v_0}{g} \\
\hline
\text{Крајња брзина при удару о тло} & \vec{v} = -\vec{v}_0 \quad (|v| = v_0) \\
\hline
\end{array}
\]
Симетрија вертикалног хица:
- Време пењања једнако је времену падања: \(t_{\uparrow} = t_{\downarrow}\).
- Интензитет брзине на било којој висини при пењању једнак је интензитету брзине на истој тој висини при падању, само супротног смера.
Тело је бачено вертикално навише почетном брзином \(v_0 = 10\text{ m/s}\). Узми да је \(g = 10\text{ m/s}^2\). Одреди максималну висину и укупно време кретања.
Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(10\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{100}{20} = 5\text{ m} \]
Време пењања: \(t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{10}{10} = 1\text{ s}\).
Укупно време: \(t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2\text{ s}\).
Укупно време: \(t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2\text{ s}\).
Хитац са одређене почетне висине \(h_0\): Тело бачено вертикално навише са висине \(h_0\) почетном брзином \(v_0\) прво се попне за висину \(s_1 = \frac{v_0^2}{2g}\), након чега слободно пада са укупне висине \(h = h_0 + s_1\).
Одређивање времена до највише тачке: Из услова \(v = 0\) налази се време пењања \(t_1 = \frac{v_0}{g}\) и достигнути пут изнад полазне тачке \(s_1 = \frac{v_0^2}{2g}\).
Одређивање пада са максималне висине: Са максималне висине према тлу \(h = h_0 + s_1\), тело врши слободан пад. Време падања је \(t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\).
Укупан пут и време: Укупан пређени пут је \(s = s_1 + h\), а укупно време кретања \(t = t_1 + t_2\).
Сусрет тела (једно бачено навише, друго пада):
Ако се тело 1 баци вертикално навише са тла брзином \(v_0\), а тело 2 истовремено пусти да слободно пада са висине \(h\): \[ s_1 = v_0 t - \frac{g t^2}{2}, \quad s_2 = \frac{g t^2}{2} \] У тренутку судара важи \(s_1 + s_2 = h\): \[ \left(v_0 t - \frac{gt^2}{2}\right) + \frac{gt^2}{2} = h \implies v_0 t = h \implies t = \frac{h}{v_0} \]
Ако се тело 1 баци вертикално навише са тла брзином \(v_0\), а тело 2 истовремено пусти да слободно пада са висине \(h\): \[ s_1 = v_0 t - \frac{g t^2}{2}, \quad s_2 = \frac{g t^2}{2} \] У тренутку судара важи \(s_1 + s_2 = h\): \[ \left(v_0 t - \frac{gt^2}{2}\right) + \frac{gt^2}{2} = h \implies v_0 t = h \implies t = \frac{h}{v_0} \]
Са висине \(20\text{ m}\) испуштено је тело да слободно пада. Истовремено је са тла директно ка њему бачено друго тело брзином \(v_0 = 15\text{ m/s}\). После колико времена ће се тела сусрести?
Збир пређених путева једнак је почетном растојању: \(s_1 + s_2 = h\).
\[ v_0 t = h \implies t = \frac{h}{v_0} = \frac{20\text{ m}}{15\text{ m/s}} \approx 1,33\text{ s} \]
Одговор: Тела ће се сударити после приближно \(1,33\text{ s}\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Камен је испуштен са моста и пао је у воду после \(3\text{ s}\). Колика је висина моста изнад воде и којом брзином камен улази у воду? (Узети \(g = 9,8\text{ m/s}^2\))
Подаци: \(t = 3\text{ s}\), \(g = 9,8\text{ m/s}^2\).
Висина моста (пређени пут слободног пада): \[ h = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \text{ m/s}^2 \cdot (3\text{ s})^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 9}{2} = 44,1\text{ m} \] Брзина удара о воду: \[ v = g \cdot t = 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 3\text{ s} = 29,4\text{ m/s} \] Одговор: Висина моста је \(44,1\text{ m}\), а брзина камена је \(29,4\text{ m/s}\).
Висина моста (пређени пут слободног пада): \[ h = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \text{ m/s}^2 \cdot (3\text{ s})^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 9}{2} = 44,1\text{ m} \] Брзина удара о воду: \[ v = g \cdot t = 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 3\text{ s} = 29,4\text{ m/s} \] Одговор: Висина моста је \(44,1\text{ m}\), а брзина камена је \(29,4\text{ m/s}\).
Задатак 2 (Средњи ниво): Стрела је испаљена вертикално навише почетном брзином од \(30\text{ m/s}\). Колико износи време кретања до максималне висине и колику највећу висину стрела достиже? (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\))
Подаци: \(v_0 = 30\text{ m/s}\), \(g = 10\text{ m/s}^2\).
1. Време пењања до највише тачке: \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{30\text{ m/s}}{10\text{ m/s}^2} = 3\text{ s} \] 2. Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(30\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{900}{20} = 45\text{ m} \] Одговор: Стрела достиже максималну висину од \(45\text{ m}\) након \(3\text{ s}\).
1. Време пењања до највише тачке: \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{30\text{ m/s}}{10\text{ m/s}^2} = 3\text{ s} \] 2. Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(30\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{900}{20} = 45\text{ m} \] Одговор: Стрела достиже максималну висину од \(45\text{ m}\) након \(3\text{ s}\).
Задатак 3 (Тежи ниво): Дечак са балкона на висини \(15\text{ m}\) баци лоптицу вертикално навише почетном брзином \(10\text{ m/s}\). Одредити:
а) максималну висину коју лоптица достиже у односу на тло;
б) укупно време од тренутка бацања до удара о плочник тла. (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\))
а) максималну висину коју лоптица достиже у односу на тло;
б) укупно време од тренутка бацања до удара о плочник тла. (Узети \(g = 10\text{ m/s}^2\))
Подаци: \(h_0 = 15\text{ m}\), \(v_0 = 10\text{ m/s}\), \(g = 10\text{ m/s}^2\).
а) Пут који лоптица пређе од балкона до највише тачке: \[ s_1 = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \cdot 10} = \frac{100}{20} = 5\text{ m} \] Максимална висина у односу на тло је: \[ h = h_0 + s_1 = 15\text{ m} + 5\text{ m} = 20\text{ m} \] б) Време пењања до највише тачке: \[ t_1 = \frac{v_0}{g} = \frac{10}{10} = 1\text{ s} \] Након највише тачке, тело слободно пада са висине \(h = 20\text{ m}\): \[ t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20\text{ m}}{10\text{ m/s}^2}} = \sqrt{4} = 2\text{ s} \] Укупно време кретања: \[ t_u = t_1 + t_2 = 1\text{ s} + 2\text{ s} = 3\text{ s} \] Одговор: Максимална висина је \(20\text{ m}\), а укупно време кретања је \(3\text{ s}\).
а) Пут који лоптица пређе од балкона до највише тачке: \[ s_1 = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \cdot 10} = \frac{100}{20} = 5\text{ m} \] Максимална висина у односу на тло је: \[ h = h_0 + s_1 = 15\text{ m} + 5\text{ m} = 20\text{ m} \] б) Време пењања до највише тачке: \[ t_1 = \frac{v_0}{g} = \frac{10}{10} = 1\text{ s} \] Након највише тачке, тело слободно пада са висине \(h = 20\text{ m}\): \[ t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20\text{ m}}{10\text{ m/s}^2}} = \sqrt{4} = 2\text{ s} \] Укупно време кретања: \[ t_u = t_1 + t_2 = 1\text{ s} + 2\text{ s} = 3\text{ s} \] Одговор: Максимална висина је \(20\text{ m}\), а укупно време кретања је \(3\text{ s}\).
