Најважније из лекције
Код кретања са сталним убрзањем (\(a = \text{const.}\)), брзина се мења линеарно (\(v = v_0 \pm at\)), а пређени пут са квадратом времена (\(s = v_0 t \pm \frac{at^2}{2}\)). Пређени пут одговара површини испод \(v-t\) графика.
Преглед кретања у гравитационом пољу Земље (\(a = g \approx 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)):
Преглед кретања у гравитационом пољу Земље (\(a = g \approx 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)):
| Врста кретања | Почетна брзина | Брзина (\(v\)) | Пут / Висина (\(s\) / \(h_t\)) | Кључне карактеристике |
|---|---|---|---|---|
| Слободан пад | \(v_0 = 0\) | \(v = gt\) | \(s = \frac{gt^2}{2}\) | \(v = \sqrt{2gh}\); бестежинско стање (\(Q=0\)) |
| Вертикални хитац наниже | \(v_0 > 0\) (наниже) | \(v = v_0 + gt\) | \(s = v_0 t + \frac{gt^2}{2}\) | \(v^2 = v_0^2 + 2gs\); пада брже од слободног пада |
| Вертикални хитац навише | \(v_0 > 0\) (навише) | \(v = v_0 - gt\) | \(h_t = v_0 t - \frac{gt^2}{2}\) | \(h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}\); \(t_u = 2t_{\uparrow} = \frac{2v_0}{g}\); \(v_{\text{udar}} = v_0\) |
Променљиво праволинијско кретање је кретање дуж праве линије при коме се брзина тела мења током времена.
Убрзање (\(a\)) је физичка величина која описује промену брзине тела у јединици времена.
Основна мерна јединица за убрзање у Међународном систему (СИ) је метар у секунди на квадрат (\(\text{m/s}^2\)).
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t} \]
\(v_0\) – почетна брзина, \(v\) – крајња (тренутна) брзина у тренутку \(t\), \(t\) – протекло време.
Тренутна брзина (\(v\)) је брзина тела у тачно одређеном тренутку времена (показује је, на пример, брзиномер у аутомобилу).
Средња брзина (\(v_{\text{sr}}\)) представља количник укупног пређеног пута и укупног времена кретања:
\[ v_{\text{sr}} = \frac{s_u}{t_u} \]
За превођење јединица брзине користи се релација:
\[ 1 \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{3,6} \frac{\text{m}}{\text{s}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 3,6 \frac{\text{km}}{\text{h}} \]
Аутомобил се креће брзином од \(108 \text{ km/h}\). Колика је његова брзина изражена у \(\text{m/s}\)?
\[ v = 108 \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{108}{3,6} \frac{\text{m}}{\text{s}} = 30 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Равномерно променљиво кретање је кретање код кога је убрзање стално (\(a = \text{const.}\)), што значи да се брзина у једнаким временским интервалима мења за једнаке износе. Може бити равномерно убрзано (брзина се повећава) или равномерно успорено (брзина се смањује).
Геометријско значење пређеног пута: На графику зависности брзине од времена (\(v-t\) график), пређени пут тела \(s\) увек је бројно једнак површини испод линије графика до временске осе.
Зависност тренутне брзине од времена:
\[ v = v_0 \pm a \cdot t \]
Зависност пређеног пута од времена:
\[ s = v_0 \cdot t \pm \frac{a \cdot t^2}{2} \]
Веза између брзине и пређеног пута:
\[ v^2 = v_0^2 \pm 2 \cdot a \cdot s \]
Знак \(+\) важи за убрзано, а знак \(-\) за успорено кретање. Ако тело креће из мировања (\(v_0 = 0\)), чланови са \(v_0\) једнаки су нули.
Код кретања са сталним убрзањем, средња брзина се може израчунати и као аритметичка средина почетне и крајње брзине:
\[ v_{\text{sr}} = \frac{v_0 + v}{2} \]
Аутомобил креће из мировања (\(v_0 = 0\)) и убрзава са \(a = 2 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) током \(t = 5 \text{ s}\).
Тренутна брзина: \(v = a \cdot t = 2 \cdot 5 = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Пређени пут: \(s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{2 \cdot 5^2}{2} = 25 \text{ m}\).
Тренутна брзина: \(v = a \cdot t = 2 \cdot 5 = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Пређени пут: \(s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{2 \cdot 5^2}{2} = 25 \text{ m}\).
Возило које се креће брзином \(20 \frac{\text{m}}{\text{s}}\) почне равномерно да кочи са успорењем \(a = 4 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). За које време ће се возило зауставити и колики пут ће прећи до заустављања?
У тренутку заустављања крајња брзина је \(v = 0\).
Време заустављања: \[ 0 = v_0 - a \cdot t \implies t = \frac{v_0}{a} = \frac{20 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 5 \text{ s} \] Пут до заустављања: \[ v^2 = v_0^2 - 2as \implies 0 = v_0^2 - 2as \implies s = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{20^2}{2 \cdot 4} = \frac{400}{8} = 50 \text{ m} \]
Време заустављања: \[ 0 = v_0 - a \cdot t \implies t = \frac{v_0}{a} = \frac{20 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 5 \text{ s} \] Пут до заустављања: \[ v^2 = v_0^2 - 2as \implies 0 = v_0^2 - 2as \implies s = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{20^2}{2 \cdot 4} = \frac{400}{8} = 50 \text{ m} \]
Слободан пад је праволинијско равномерно убрзано кретање тела без почетне брзине (\(v_0 = 0\)) искључиво под дејством силе Земљине теже.
Сва тела при слободном паду имају исто убрзање - убрзање Земљине теже (\(g\)), чија вредност при тлу износи приближно \(g \approx 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) (често се заокругљује на \(10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)).
Закони слободног пада (\(v_0 = 0, a = g\)):
\[ v = g \cdot t \]
\[ s = h = \frac{g \cdot t^2}{2} \]
\[ v^2 = 2 \cdot g \cdot h \implies v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \]
Висина тела изнад тла након времена \(t\) ако је пуштено са висине \(h\):
\[ h_t = h - \frac{g \cdot t^2}{2} \]
Закон квадрата времена: Код слободног пада, пређени путеви у узастопним једнаким временским интервалима од почетка кретања односе се као квадрати природних бројева:
\[ s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : \dots = 1^2 : 2^2 : 3^2 : 4^2 : \dots = 1 : 4 : 9 : 16 : \dots \]
Бестежинско стање је стање тела које слободно пада, при чему је његова тежина (сила којом притиска подлогу или затеже нит) једнака нули (\(Q = 0\)), јер подлога и тело падају истим убрзањем.
Са ког нивоа је пала саксија ако је ударила о земљу брзином \(v = 14 \frac{\text{m}}{\text{s}}\)? (Узети \(g = 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
Користимо везу између брзине и висине:
\[ v^2 = 2gh \implies h = \frac{v^2}{2g} = \frac{14^2}{2 \cdot 9,8} = \frac{196}{19,6} = 10 \text{ m} \]
Вертикални хитац наниже је кретање тела коме је саопштена почетна брзина \(v_0\) усмерена вертикално наниже и које се даље креће само под дејством силе Земљине теже (\(a = g\)).
Законитости кретања:
\[ v = v_0 + g \cdot t \]
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \]
\[ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s \]
Тренутна висина тела изнад тла:
\[ h_t = h - s = h - \left( v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \right) \]
Тело бачено вертикално наниже стиже на тло за краће време и са већом брзином у односу на тело које слободно пада са исте висине.
Лопта је бачена са висине \(h = 20 \text{ m}\) вертикално наниже почетном брзином \(v_0 = 5 \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Коликом брзином ће пасти на тло? (Узети \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
Пређени пут до тла је \(s = h = 20 \text{ m}\).
\[ v^2 = v_0^2 + 2gh = 5^2 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 25 + 400 = 425 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \]
\[ v = \sqrt{425} \approx 20,62 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Вертикални хитац навише је кретање тела баченог почетном брзином \(v_0\) усмереном вертикално навише, под искључивим утицајем силе Земљине теже. Све до највише тачке кретање је равномерно успорено, а након тренутног заустављања у највишој тачки прелази у слободан пад.
Законитости у фази пењања:
\[ v = v_0 - g \cdot t \]
\[ h_t = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \]
\[ v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot s \]
Кључни параметри кретања:
- Време пењања (\(t_{\uparrow}\)): време до највише тачке где је тренутна брзина \(v = 0\): \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} \]
- Максимална висина (\(h_{\text{max}}\)): \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
- Симетрија кретања: време пењања једнако је времену падања (\(t_{\uparrow} = t_{\downarrow}\)), па је укупно време лета: \[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = \frac{2v_0}{g} \]
- Брзина при паду на тло: интензитет брзине којом тело удари о тло једнак је почетној брзини (\(v = v_0\)), али супротног смера: \[ \vec{v} = -\vec{v}_0 \]
Тело је избачено вертикално навише брзином \(30 \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Колику максималну висину достиже и колико дуго траје целокупно кретање? (Узети \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \cdot 10} = \frac{900}{20} = 45 \text{ m} \]
Време пењања:
\[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{30}{10} = 3 \text{ s} \]
Укупно време лета:
\[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ s} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело слободно пада са врха зграде и удара о земљу након \(t = 3 \text{ s}\). Одредити висину зграде и брзину којом тело удари о тло. (Узети \(g = 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
Подаци: \(t = 3 \text{ s}\), \(v_0 = 0\), \(g = 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
1. Висина зграде је пређени пут при слободном паду: \[ h = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 3^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 9}{2} = 44,1 \text{ m} \] 2. Брзина у тренутку удара: \[ v = g \cdot t = 9,8 \cdot 3 = 29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] Одговор: Висина зграде је \(44,1 \text{ m}\), а брзина тела при удару је \(29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
1. Висина зграде је пређени пут при слободном паду: \[ h = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 3^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 9}{2} = 44,1 \text{ m} \] 2. Брзина у тренутку удара: \[ v = g \cdot t = 9,8 \cdot 3 = 29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] Одговор: Висина зграде је \(44,1 \text{ m}\), а брзина тела при удару је \(29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Задатак 2 (средњи): Аутомобил који се креће почетном брзином \(v_0 = 15 \frac{\text{m}}{\text{s}}\) почне равномерно да убрзава са убрзањем \(a = 1,5 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). Колики пут ће прећи за \(t = 6 \text{ s}\) и колика ће му тада бити тренутна и средња брзина?
Подаци: \(v_0 = 15 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(a = 1,5 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\), \(t = 6 \text{ s}\).
1. Пређени пут: \[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} = 15 \cdot 6 + \frac{1,5 \cdot 6^2}{2} = 90 + \frac{1,5 \cdot 36}{2} = 90 + 27 = 117 \text{ m} \] 2. Тренутна брзина: \[ v = v_0 + a \cdot t = 15 + 1,5 \cdot 6 = 15 + 9 = 24 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] 3. Средња брзина: \[ v_{\text{sr}} = \frac{s}{t} = \frac{117 \text{ m}}{6 \text{ s}} = 19,5 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] (Или преко формуле: \(v_{\text{sr}} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{15 + 24}{2} = 19,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}\))
Одговор: Пређени пут је \(117 \text{ m}\), тренутна брзина је \(24 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), а средња брзина \(19,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
1. Пређени пут: \[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} = 15 \cdot 6 + \frac{1,5 \cdot 6^2}{2} = 90 + \frac{1,5 \cdot 36}{2} = 90 + 27 = 117 \text{ m} \] 2. Тренутна брзина: \[ v = v_0 + a \cdot t = 15 + 1,5 \cdot 6 = 15 + 9 = 24 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] 3. Средња брзина: \[ v_{\text{sr}} = \frac{s}{t} = \frac{117 \text{ m}}{6 \text{ s}} = 19,5 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] (Или преко формуле: \(v_{\text{sr}} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{15 + 24}{2} = 19,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}\))
Одговор: Пређени пут је \(117 \text{ m}\), тренутна брзина је \(24 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), а средња брзина \(19,5 \frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Задатак 3 (средњи): Камен је бачен са висине \(h = 45 \text{ m}\) вертикално наниже почетном брзином \(10 \frac{\text{m}}{\text{s}}\). Након колико времена ће камен ударити о тло? (Узети \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
Подаци: \(h = 45 \text{ m}\), \(v_0 = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
1. Прво одредимо брзину при удару користећи везу брзине и пређеног пута: \[ v^2 = v_0^2 + 2gh = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 45 = 100 + 900 = 1000 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \] \[ v = \sqrt{1000} \approx 31,62 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] 2. Време пада израчунавамо из израза за брзину: \[ v = v_0 + gt \implies t = \frac{v - v_0}{g} = \frac{31,62 - 10}{10} = \frac{21,62}{10} \approx 2,16 \text{ s} \] Одговор: Камен ће пасти на тло за приближно \(2,16 \text{ s}\).
1. Прво одредимо брзину при удару користећи везу брзине и пређеног пута: \[ v^2 = v_0^2 + 2gh = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 45 = 100 + 900 = 1000 \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \] \[ v = \sqrt{1000} \approx 31,62 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] 2. Време пада израчунавамо из израза за брзину: \[ v = v_0 + gt \implies t = \frac{v - v_0}{g} = \frac{31,62 - 10}{10} = \frac{21,62}{10} \approx 2,16 \text{ s} \] Одговор: Камен ће пасти на тло за приближно \(2,16 \text{ s}\).
Задатак 4 (тежак): Стрела је испаљена вертикално навише са површине тла. На висину од \(25 \text{ m}\) попела се након \(1 \text{ s}\). Одредити:
а) Почетну брзину стреле;
б) Максималну висину коју ће стрела достићи;
в) Тренутак у коме ће стрела поново бити на висини од \(25 \text{ m}\) током падања. (Узети \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
а) Почетну брзину стреле;
б) Максималну висину коју ће стрела достићи;
в) Тренутак у коме ће стрела поново бити на висини од \(25 \text{ m}\) током падања. (Узети \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\))
Подаци: \(h_t = 25 \text{ m}\), \(t_1 = 1 \text{ s}\), \(g = 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
а) Из формуле за тренутну висину: \[ h_t = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2} \implies 25 = v_0 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^2}{2} \implies 25 = v_0 - 5 \implies v_0 = 30 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] б) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \cdot 10} = \frac{900}{20} = 45 \text{ m} \] в) Време пењања до максималне висине је: \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{30}{10} = 3 \text{ s} \] Стрела стиже до врха (\(45 \text{ m}\)) у тренутку \(t = 3 \text{ s}\). Са те тачке слободно пада назад. Да би поново дошла на висину од \(25 \text{ m}\), она у паду треба да пређе пут: \[ s_{\downarrow} = h_{\text{max}} - h_t = 45 - 25 = 20 \text{ m} \] Време падања са врха за тај пут: \[ s_{\downarrow} = \frac{g t_{\text{pad}}^2}{2} \implies 20 = \frac{10 \cdot t_{\text{pad}}^2}{2} \implies 20 = 5 t_{\text{pad}}^2 \implies t_{\text{pad}}^2 = 4 \implies t_{\text{pad}} = 2 \text{ s} \] Укупан тренутак од почетка кретања: \[ t_2 = t_{\uparrow} + t_{\text{pad}} = 3 + 2 = 5 \text{ s} \] Одговор: Почетна брзина је \(30 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), максимална висина је \(45 \text{ m}\), а на истој висини при паду биће у тренутку \(t_2 = 5 \text{ s}\).
а) Из формуле за тренутну висину: \[ h_t = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2} \implies 25 = v_0 \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^2}{2} \implies 25 = v_0 - 5 \implies v_0 = 30 \frac{\text{m}}{\text{s}} \] б) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{30^2}{2 \cdot 10} = \frac{900}{20} = 45 \text{ m} \] в) Време пењања до максималне висине је: \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{30}{10} = 3 \text{ s} \] Стрела стиже до врха (\(45 \text{ m}\)) у тренутку \(t = 3 \text{ s}\). Са те тачке слободно пада назад. Да би поново дошла на висину од \(25 \text{ m}\), она у паду треба да пређе пут: \[ s_{\downarrow} = h_{\text{max}} - h_t = 45 - 25 = 20 \text{ m} \] Време падања са врха за тај пут: \[ s_{\downarrow} = \frac{g t_{\text{pad}}^2}{2} \implies 20 = \frac{10 \cdot t_{\text{pad}}^2}{2} \implies 20 = 5 t_{\text{pad}}^2 \implies t_{\text{pad}}^2 = 4 \implies t_{\text{pad}} = 2 \text{ s} \] Укупан тренутак од почетка кретања: \[ t_2 = t_{\uparrow} + t_{\text{pad}} = 3 + 2 = 5 \text{ s} \] Одговор: Почетна брзина је \(30 \frac{\text{m}}{\text{s}}\), максимална висина је \(45 \text{ m}\), а на истој висини при паду биће у тренутку \(t_2 = 5 \text{ s}\).
