Најважније из лекције
Слободан пад и хици:
- Слободан пад (\( v_0=0 \)): \( h = \frac{gt^2}{2} \), \( v = gt = \sqrt{2gh} \).
- Хитац наниже: \( h = v_0t + \frac{gt^2}{2} \), \( v = v_0 + gt \).
- Хитац навише: \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \), \( t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} \); време пењања је једнако времену падања, а почетна брзина по интензитету једнака је крајњој брзини при паду.
- Средња брзина (равномерно променљиво): \( v_s = \frac{v_0 + v}{2} \).
- Сила трења: \( F_{tr} = \mu \cdot F_n \) (на хоризонталној равни \( F_n = mg \)).
- Кретање сталном брзином (\( v = \text{const} \)): вучна сила је у равнотежи са силом трења/отпора (\( F = F_{tr} \) или \( F = F_o \)).
- Сила отпора средине: \( F_o = m \cdot a \), делује увек супротно смеру кретања тела.
Слободан пад је равномерно убрзано кретање тела без почетне брзине (\( v_0 = 0 \)) под дејством Земљине теже, са убрзањем \( g \approx 9,81 \text{ m/s}^2 \).
Хитац наниже је равномерно убрзано кретање тела у пољу Земљине теже са почетном брзином усмереном вертикално надоле (\( v_0 > 0 \)).
Слободан пад (\( v_0 = 0 \)):
\[ h = \frac{gt^2}{2}, \quad v = gt, \quad v = \sqrt{2gh} \]
Хитац наниже (\( v_0 > 0 \)):
\[ h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}, \quad v = v_0 + gt, \quad v^2 - v_0^2 = 2gh \quad (v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}) \]
\( h \) – висина (пређени пут) [\(\text{m}\)], \( t \) – време [\(\text{s}\)], \( v \) – тренутна/крајња брзина [\(\text{m/s}\)], \( g \) – гравитационо убрзање (\( 9,81\text{ m/s}^2 \)).
Ако тело слободно пада \( 3\text{ s} \), пређени пут износи:
\[ h = \frac{gt^2}{2} = \frac{9,81 \cdot 3^2}{2} = \frac{9,81 \cdot 9}{2} = 44,14\text{ m} \]
Лопта је испуштена са висине од \( 45\text{ m} \). Коликом брзином ће ударити о тло?
Пошто је слободан пад (\( v_0 = 0 \)), користимо везу брзине и висине:
\[ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 45\text{ m}} = \sqrt{882,9\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 29,7\text{ m/s} \]
Хитац навише је равномерно успорено кретање тела у пољу Земљине теже са почетном брзином \( v_0 \) усмереном вертикално нагоре.
Тренутна брзина и висина у тренутку \( t \):
\[ v = v_0 - gt, \quad h = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \]
Време пењања до највише тачке (\( t_{\text{max}} \)) и максимална висина (\( h_{\text{max}} \)):
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g}, \quad h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
Закон симетрије код хица навише:
- Време пењања до максималне висине једнако је времену падања назад на почетни ниво (\( t_{\text{penjanja}} = t_{\text{padanja}} \)).
- Брзина којом се тело врати у почетну тачку по интензитету је једнака почетној брзини којом је избачено (\( v_{\text{krajnje}} = v_0 \)).
Тело је бачено у вис почетном брзином \( v_0 = 10\text{ m/s} \). Израчунати максималну висину и време пењања.
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{10\text{ m/s}}{9,81\text{ m/s}^2} \approx 1,02\text{ s} \]
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(10\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{100}{19,62} \approx 5,1\text{ m} \]
Средња брзина описује колики је укупан пут тело прешло за одређено укупно време.
Општа формула за средњу брзину:
\[ v_s = \frac{s_u}{t_u} \]
Средња брзина искључиво код равномерно променљивог кретања:
\[ v_s = \frac{v_0 + v}{2} \]
\( s_u \) – укупан пут [\(\text{m}\)], \( t_u \) – укупно време [\(\text{s}\)], \( v_0 \) – почетна брзина [\(\text{m/s}\)], \( v \) – крајња брзина [\(\text{m/s}\)].
Ако тело започне кретање брзином \( 10\text{ m/s} \) и равномерно убрза до \( 30\text{ m/s} \), његова средња брзина износи:
\[ v_s = \frac{10\text{ m/s} + 30\text{ m/s}}{2} = 20\text{ m/s} \]
Сила трења (\( F_{tr} \)) је сила која се јавља на додирној површини два тела и одупире се њиховом релативном кретању.
\( F_{tr} \) – сила трења (\(\text{N}\)), \( F_n \) – нормална сила притиска (\(\text{N}\)), \( \mu \) – коефицијент трења (нема јединицу).
\[ F_{tr} = \mu \cdot F_n \]
На хоризонталној подлози, где на тело делује само тежина \( Q = mg \), важи \( F_n = mg \), па је \( F_{tr} = \mu mg \).
Ако се тело креће стална (константном) брзином, резултујућа сила је једнака нули, што значи да је вучна сила по интензитету једнака сили трења или сили отпора средине: \( F = F_{tr} \) или \( F = F_o \).
Сила отпора при кретању кроз препреку/средину:
\[ F_o = m \cdot a \]
Успорење \( a \) може се израчунати преко киноматске релације: \( v^2 - v_0^2 = 2as \Rightarrow a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} \).
Орман тежине \( F_n = 1000\text{ N} \) гура се по поду. Ако је измерена сила трења \( F_{tr} = 500\text{ N} \), коефицијент трења је:
\[ \mu = \frac{F_{tr}}{F_n} = \frac{500\text{ N}}{1000\text{ N}} = 0,5 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело масе \( 10\text{ kg} \) креће се по хоризонталној подлози са коефицијентом трења \( \mu = 0,1 \). Израчунати силу трења која делује на тело (узети \( g = 9,81\text{ m/s}^2 \)).
Нормална сила на хоризонталној подлози једнака је тежини тела:
\[ F_n = m \cdot g = 10\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 = 98,1\text{ N} \]
Сила трења је:
\[ F_{tr} = \mu \cdot F_n = 0,1 \cdot 98,1\text{ N} = 9,81\text{ N} \]
Задатак 2 (средњи): Тело је пуштено са врха зграде да слободно пада и ударило је о тло брзином од \( 39,24\text{ m/s} \). Одредити време падања и висину зграде (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \)).
1. Време падања израчунавамо из formule \( v = gt \):
\[ t = \frac{v}{g} = \frac{39,24\text{ m/s}}{9,81\text{ m/s}^2} = 4\text{ s} \]
2. Висина зграде износи:
\[ h = \frac{gt^2}{2} = \frac{9,81\text{ m/s}^2 \cdot (4\text{ s})^2}{2} = \frac{9,81 \cdot 16}{2} = 78,48\text{ m} \]
Задатак 3 (средњи): Питомац је бацио капу вертикално у вис тако да је достигла максималну висину од \( 20\text{ m} \). Коликом почетном брзином је капа избачена и колико је укупно време њеног лета (до повратка у руку)? (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \))
1. Из формуле за максималну висину \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \):
\[ v_0 = \sqrt{2gh_{\text{max}}} = \sqrt{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 20\text{ m}} = \sqrt{392,4} \approx 19,81\text{ m/s} \]
2. Време пењања је:
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{19,81\text{ m/s}}{9,81\text{ m/s}^2} \approx 2,02\text{ s} \]
3. Укупно време лета (пењање + падање) износи:
\[ t_u = 2 \cdot t_{\text{max}} = 2 \cdot 2,02\text{ s} = 4,04\text{ s} \]
Задатак 4 (тежак): Метак масе \( 10\text{ g} \) (\( 0,01\text{ kg} \)) удари у дрвену даску дебљине \( 3\text{ cm} \) (\( 0,03\text{ m} \)) брзином од \( 500\text{ m/s} \), а из ње излети брзином од \( 200\text{ m/s} \). Одредити интензитет силе отпора коју даска пружа метку.
1. На основу кинематичке једначине за равномерно успорено кретање \( v^2 - v_0^2 = 2as \), налазимо убрзање (успорење):
\[ a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} = \frac{(200\text{ m/s})^2 - (500\text{ m/s})^2}{2 \cdot 0,03\text{ m}} = \frac{40\,000 - 250\,000}{0,06} = \frac{-210\,000}{0,06} = -3\,500\,000\text{ m/s}^2 \]
2. По II Њутновом закону, сила отпора износи:
\[ F_o = m \cdot a = 0,01\text{ kg} \cdot (-3\,500\,000\text{ m/s}^2) = -35\,000\text{ N} = -35\text{ kN} \]
Интензитет силе отпора износи \( 35\text{ kN} \) (негативан знак показује да делује супротно смеру кретања).
