Најважније из лекције
Механички рад: \( A = F \cdot s \) [J]. Позитиван када сила делује у смеру кретања, негативан када делује у супротном (нпр. рад силе трења \( A_{\text{tr}} = -F_{\text{tr}}s \)).
Кинетичка енергија: \( E_k = \frac{mv^2}{2} \) [J]. Зависи од квадрата брзине (двапут већа брзина даје четири пута већу енергију).
Потенцијална енергија: \( E_p = mgh \) [J]. Енергија положаја у односу на изабрани референтни ниво.
Закон одржања механичке енергије: У изолованом систему је \( E_k + E_p = \text{const} \). При паду тела, \( E_p \) прелази у \( E_k \). У присуству отпора: \( E_1 = E_2 + A_o \).
Снага и ефикасност: Снага \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) [W] одређује брзину вршења рада. Коефицијент корисног дејства \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \) увек је мањи од 1 због неизбежних губитака.
Кинетичка енергија: \( E_k = \frac{mv^2}{2} \) [J]. Зависи од квадрата брзине (двапут већа брзина даје четири пута већу енергију).
Потенцијална енергија: \( E_p = mgh \) [J]. Енергија положаја у односу на изабрани референтни ниво.
Закон одржања механичке енергије: У изолованом систему је \( E_k + E_p = \text{const} \). При паду тела, \( E_p \) прелази у \( E_k \). У присуству отпора: \( E_1 = E_2 + A_o \).
Снага и ефикасност: Снага \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) [W] одређује брзину вршења рада. Коефицијент корисног дејства \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \) увек је мањи од 1 због неизбежних губитака.
Физичка величина која описује пренос енергије деловањем силе \( F \) на тело дуж пређеног пута \( s \).
\( A \)
џул (\( \text{J} \)), \( 1\text{ J} = 1\text{ N} \cdot \text{m} \)
\[ A = F \cdot s \]
\( F \) – интензитет сталне силе у правцу кретања, \( s \) – пређени пут тела
- Позитиван рад (\( A > 0 \)): Сила делује у смеру кретања тела (убрзава га или врши корисни рад).
- Негативан рад (\( A < 0 \)): Сила делује у смеру супротном од кретања (нпр. рад силе трења: \( A_{\text{tr}} = -F_{\text{tr}} \cdot s = -\mu m g s \)).
- Рад једнак нули (\( A = 0 \)): Сила делује нормално на правац кретања или нема померања тела (\( s = 0 \)).
Приликом равномерног подизања терета масе \( 380\text{ kg} \) на висину од \( H = 22,4\text{ m} \), вучна сила дизалице једнака је тежини терета (\( F = mg \)), па је рад:
\[ A = F \cdot H = m \cdot g \cdot H = 380\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 22,4\text{ m} \approx 83,5\text{ kJ} \]
Тело масе \( 200\text{ g} \) клизи константном брзином по хоризонталној равни под дејством вучне силе на путу од \( 20\text{ cm} \). Колики је коефицијент трења \( \mu \) ако је вучна сила извршила рад од \( 157\text{ mJ} \)? (\( g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \))
Пошто се тело креће константном брзином, вучна сила је по интензитету једнака сили трења: \( F = F_{\text{tr}} = \mu mg \).
Рад је: \( A = F \cdot s = \mu m g s \).
Одатле је коефицијент трења: \[ \mu = \frac{A}{m \cdot g \cdot s} = \frac{0,157\text{ J}}{0,2\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 0,2\text{ m}} \approx 0,4 \]
Рад је: \( A = F \cdot s = \mu m g s \).
Одатле је коефицијент трења: \[ \mu = \frac{A}{m \cdot g \cdot s} = \frac{0,157\text{ J}}{0,2\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 0,2\text{ m}} \approx 0,4 \]
Облик механичке енергије који тело поседује услед свог кретања. Свако тело масе \( m \) које се креће брзином \( v \) има способност да врши рад.
\( E_k \)
џул (\( \text{J} \))
\[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \]
\( m \) – маса тела, \( v \) – брзина кретања тела
Кинетичка енергија зависи од квадрата брзине. Ако се брзина тела повећа \( 3 \) пута, кинетичка енергија се повећава \( 3^2 = 9 \) пута.
Падобранац пре отварања падобрана има \( 25 \) пута већу кинетичку енергију него касније при спуштању са отвореним падобраном брзином од \( 10\text{ m/s} \). Колика је била његова брзина непосредно пре отварања падобрана?
Према услову задатка:
\[ E_{k1} = 25 \cdot E_{k2} \implies \frac{m v_1^2}{2} = 25 \cdot \frac{m v_2^2}{2} \]
Скраћивањем масе добијамо:
\[ v_1^2 = 25 \cdot v_2^2 \implies v_1 = 5 \cdot v_2 = 5 \cdot 10\text{ m/s} = 50\text{ m/s} \]
Облик механичке енергије који тело поседује услед свог положаја у гравитационом пољу Земље у односу на изабрани референтни ниво.
\( E_p \)
џул (\( \text{J} \))
\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]
\( m \) – маса тела, \( g \) – гравитационо убрзање (\( \approx 9,81\text{ m/s}^2 \)), \( h \) – висина у односу на референтни ниво
Потенцијална енергија зависи од избора референтног нивоа (\( h = 0 \)). За тело на столу, потенцијална енергија у односу на плочу стола је \( 0\text{ J} \), док је у односу на под просторије позитивна.
На којој се висини изнад тла налази тело масе \( 2,8\text{ kg} \) ако његова потенцијална енергија у односу на тло износи \( 0,9\text{ kJ} \)? (\( g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \))
Из формуле \( E_p = mgh \) висина је:
\[ h = \frac{E_p}{mg} = \frac{900\text{ J}}{2,8\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2} \approx 32,7\text{ m} \]
Збир кинетичке и потенцијалне енергије представља укупну механичку енергију тела: \( E = E_k + E_p \).
\( E \)
џул (\( \text{J} \))
Закон одржања механичке енергије: У затвореном (изолованом) систему, ако на тело не делују силе трења и отпора средине, укупна механичка енергија остаје константна током времена:
\[ E_1 = E_2 \quad \Longleftrightarrow \quad E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]
Када друга тела или спољашње силе изврше позитиван рад над телом, важи: \( E_1 + A = E_2 \). Ако делују силе отпора средине (рад \( A_o \)), део механичке енергије прелази у топлотну: \( E_1 = E_2 + A_o \).
При слободном паду са висине \( H \), почетна енергија је само потенцијална: \( E = mgH \). Непосредно пре удара о тло сва се потенцијална енергија претворила у кинетичку: \( E_k = \frac{mv^2}{2} = mgH \).
Тело је пуштено да слободно пада са висине од \( 10\text{ m} \). Колики је однос његове кинетичке и потенцијалне енергије на висини од \( 1\text{ m} \) изнад тла?
Укупан пад износи \( s = 10\text{ m} - 1\text{ m} = 9\text{ m} \).
Брзина на висини \( h = 1\text{ m} \) је \( v^2 = 2gs \).
Кинетичка енергија је \( E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{m \cdot 2gs}{2} = mgs \).
Потенцијална енергија на тој висини је \( E_p = mgh \).
Однос је: \[ \frac{E_k}{E_p} = \frac{mgs}{mgh} = \frac{s}{h} = \frac{9\text{ m}}{1\text{ m}} = 9 \]
Брзина на висини \( h = 1\text{ m} \) је \( v^2 = 2gs \).
Кинетичка енергија је \( E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{m \cdot 2gs}{2} = mgs \).
Потенцијална енергија на тој висини је \( E_p = mgh \).
Однос је: \[ \frac{E_k}{E_p} = \frac{mgs}{mgh} = \frac{s}{h} = \frac{9\text{ m}}{1\text{ m}} = 9 \]
Снага је физичка величина која показује брзину вршења рада, односно количину рада извршену у јединици времена.
\( P \) (снага), \( \eta \) (коефицијент корисног дејства)
ват (\( \text{W} \)), \( 1\text{ W} = 1\text{ J/s} \)
\[ P = \frac{A}{t} = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v \]
\( A \) – рад, \( t \) – време, \( F \) – вучна сила, \( v \) – брзина кретања тела
Коефицијент корисног дејства (\( \eta \)): Мера ефикасности машине или механизма, изражена односом корисног и укупног рада (или снаге):
\[ \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \]
Коефицијент корисног дејства је бездимензиона величина и увек је мањи од 1 (односно мањи од \( 100\% \)) услед деловања сила трења и отпора.
Колико износи корисна снага водене турбине чија је укупна снага \( 60\text{ kW} \), ако је њен коефицијент корисног дејства \( 0,9 \)?
Из обрасца \( \eta = \frac{P_k}{P_u} \) следи:
\[ P_k = \eta \cdot P_u = 0,9 \cdot 60\text{ kW} = 54\text{ kW} \]
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Локомотива са три вагона укупне масе \( 300\text{ t} \) креће се равномерно брзином од \( 36\text{ km/h} \). Колика је њена кинетичка енергија?
Претварамо вредности у основне SI јединице:
\( m = 300\text{ t} = 300\,000\text{ kg} = 3 \cdot 10^5\text{ kg} \)
\( v = 36\text{ km/h} = \frac{36}{3,6}\text{ m/s} = 10\text{ m/s} \)
Примењујемо формулу за кинетичку енергију: \[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} = \frac{3 \cdot 10^5\text{ kg} \cdot (10\text{ m/s})^2}{2} = \frac{3 \cdot 10^7}{2}\text{ J} = 15 \cdot 10^6\text{ J} = 15\text{ MJ} \] Одговор: Кинетичка енергија композиције је \( 15\text{ MJ} \).
\( m = 300\text{ t} = 300\,000\text{ kg} = 3 \cdot 10^5\text{ kg} \)
\( v = 36\text{ km/h} = \frac{36}{3,6}\text{ m/s} = 10\text{ m/s} \)
Примењујемо формулу за кинетичку енергију: \[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} = \frac{3 \cdot 10^5\text{ kg} \cdot (10\text{ m/s})^2}{2} = \frac{3 \cdot 10^7}{2}\text{ J} = 15 \cdot 10^6\text{ J} = 15\text{ MJ} \] Одговор: Кинетичка енергија композиције је \( 15\text{ MJ} \).
Средњи ниво: Аутомобил масе \( 1\,100\text{ kg} \) убрзава из стања мировања до брзине од \( 54\text{ km/h} \). Максимална снага мотора при том убрзању износи \( 70\text{ kW} \). Занемарујући отпоре трења и ваздуха, израчунати потребно време за ово убрзање.
Крајња брзина је:
\[ v = 54\text{ km/h} = \frac{54}{3,6}\text{ m/s} = 15\text{ m/s} \]
Рад који мотор мора да изврши једнак је промени кинетичке енергије:
\[ A = E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} = \frac{1\,100\text{ kg} \cdot (15\text{ m/s})^2}{2} = \frac{1\,100 \cdot 225}{2}\text{ J} = 123\,750\text{ J} \]
Време убрзања израчунавамо из дефиниције снаге \( P = \frac{A}{t} \):
\[ t = \frac{A}{P} = \frac{123\,750\text{ J}}{70\,000\text{ W}} \approx 1,77\text{ s} \]
Одговор: Аутомобил ће убрзати за приближно \( 1,77\text{ s} \).
Средњи/тежи ниво: Одбојкашка лопта масе \( 230\text{ g} \) слободно пада са висине од \( 14\text{ m} \). Колика је њена кинетичка енергија непосредно пре удара о тло? Занемарити отпор ваздуха и узети \( g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \).
Према закону о одржању механичке енергије, у одсуству отпора ваздуха почетна потенцијална енергија једнака је крајњој кинетичкој енергији на нивоу тла (\( E_p = E_k \)):
\( m = 230\text{ g} = 0,23\text{ kg} \), \( h = 14\text{ m} \) \[ E_k = E_p = m \cdot g \cdot h = 0,23\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 14\text{ m} \approx 31,6\text{ J} \] Одговор: Кинетичка енергија лопте пре удара износи \( 31,6\text{ J} \).
\( m = 230\text{ g} = 0,23\text{ kg} \), \( h = 14\text{ m} \) \[ E_k = E_p = m \cdot g \cdot h = 0,23\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 14\text{ m} \approx 31,6\text{ J} \] Одговор: Кинетичка енергија лопте пре удара износи \( 31,6\text{ J} \).
Тежак ниво: Падобранац масе \( 85\text{ kg} \) искочио је из авиона са висине од \( 3\,200\text{ m} \). На одређеној висини достигао је највећу брзину од \( 50\text{ m/s} \) и у том тренутку отворио падобран. Ако је рад силе отпора ваздуха до тог тренутка износио \( 1,895\text{ MJ} \), на којој висини \( h_2 \) је падобран отворен? (\( g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \))
Почетна механичка енергија је потенцијална енергија на почетку:
\[ E_{p1} = m \cdot g \cdot h_1 = 85\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 3\,200\text{ m} \approx 2\,668\,320\text{ J} \]
Према закону одржања енергије:
\[ E_{p1} = E_{p2} + E_k + A_o \implies mgh_1 = mgh_2 + \frac{mv^2}{2} + A_o \]
Одатле изражавамо непознату висину \( h_2 \):
\[ h_2 = h_1 - \frac{A_o}{mg} - \frac{v^2}{2g} \]
Израчунавамо појединачне чланове:
\[ \frac{A_o}{mg} = \frac{1\,895\,000\text{ J}}{85\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2} \approx 2\,272,6\text{ m} \]
\[ \frac{v^2}{2g} = \frac{(50\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{2500}{19,62} \approx 127,4\text{ m} \]
Висина отварања падобрана:
\[ h_2 = 3\,200\text{ m} - 2\,272,6\text{ m} - 127,4\text{ m} = 800\text{ m} \]
Одговор: Падобран је отворен на висини од \( 800\text{ m} \).
