Најважније из лекције
Елонгација и амплитуда: Елонгација (\(x\)) је тренутна удаљеност од равнотежног положаја, а амплитуда (\(x_0\)) је максимална удаљеност. Пут у једној осцилацији је \(s_1 = 4x_0\).
Период и фреквенција: Период (\(T = \frac{t}{n}\)) је време једне осцилације, а фреквенција (\(\nu = \frac{n}{t}\)) број осцилација у секунди. Веза: \(\nu = \frac{1}{T}\).
Опружни осцилатор: Период зависи од масе тела и крутости опруге, а не зависи од амплитуде.
Математичко клатно: Период (\(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)) зависи искључиво од дужине нити \(l\) и гравитационог убрзања \(g\), а не зависи од масе тега нити од амплитуде.
Период и фреквенција: Период (\(T = \frac{t}{n}\)) је време једне осцилације, а фреквенција (\(\nu = \frac{n}{t}\)) број осцилација у секунди. Веза: \(\nu = \frac{1}{T}\).
Опружни осцилатор: Период зависи од масе тела и крутости опруге, а не зависи од амплитуде.
Математичко клатно: Период (\(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)) зависи искључиво од дужине нити \(l\) и гравитационог убрзања \(g\), а не зависи од масе тега нити од амплитуде.
Елонгација (\(x\)) је растојање тела од равнотежног положаја у било ком тренутку осциловања. У равнотежном положају елонгација је једнака нули (\(x = 0\)).
Амплитуда (\(x_0\) или \(A\)) је највеће растојање тела од равнотежног положаја (максимална елонгација).
Мерна јединица за елонгацију и амплитуду је метар (\(\text{m}\)), а често се користи и центиметар (\(\text{cm}\)).
Током једне пуне осцилације тело пређе пут једнак четворострукој амплитуди:
\[ s_1 = 4x_0 \]
За \(n\) осцилација укупан пређени пут је \(s = n \cdot s_1 = 4n \cdot x_0\).
Ако тело осцилује са амплитудом \(x_0 = 5\text{ cm}\), током једне осцилације прећи ће пут \(s_1 = 4 \cdot 5\text{ cm} = 20\text{ cm}\). За 3 пуне осцилације укупан пређени пут износи \(s = 3 \cdot 20\text{ cm} = 60\text{ cm}\).
Период осциловања (\(T\)) је време за које тело изврши једну пуну осцилацију.
Основна мерна јединица за период осциловања је секунда (\(\text{s}\)).
\[ T = \frac{t}{n} \]
\(t\) – укупно време осциловања, \(n\) – број извршених осцилација
При мерењу се обично мери време за већи број осцилација (\(n\)), а затим се то време подели са бројем осцилација како би се добила тачнија вредност периода.
Фреквенција или учестаност (\(\nu\) или \(f\)) је број осцилација које тело изврши у јединици времена (једној секунди).
Мерна јединица за фреквенцију је херц (\(\text{Hz}\)): \(1\text{ Hz} = \frac{1}{\text{s}} = 1\text{ s}^{-1}\).
\[ \nu = \frac{n}{t} \]
Пошто је \(T = \frac{t}{n}\), фреквенција и период су узајамно реципрочне величине:
\[ \nu = \frac{1}{T} \quad \Longleftrightarrow \quad T = \frac{1}{\nu} \]
Ако клатно за \(1\text{ s}\) изврши 2 осцилације, његова фреквенција је \(\nu = 2\text{ Hz}\), а период осциловања је \(T = \frac{1}{2\text{ Hz}} = 0{,}5\text{ s}\).
1. Тело окачено о еластичну опругу:
- Период осциловања зависи од масе тела (већа маса \(\rightarrow\) већи период) и од еластичних својстава опруге.
- Период осциловања не зависи од амплитуде.
2. Математичко клатно:
Математичко клатно је тело занемарљивих димензија окачено о неистегљиву нит занемарљиве масе које осцилује у вертикалној равни под дејством Земљине теже.
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
\(l\) – дужина нити клатна (\(\text{m}\)), \(g\) – гравитационо убрзање (\(\approx 9{,}81\text{ m/s}^2\))
Период осциловања математичког клатна:
- зависи од дужине клатна \(l\) (дуже клатно има већи период) и гравитационог убрзања \(g\),
- не зависи од масе тела које осцилује,
- не зависи од амплитуде (при малим угловима осциловања).
| Физичка величина | Ознака | Формула | Мерна јединица |
|---|---|---|---|
| Елонгација | \(x\) | - | \(\text{m}\) |
| Амплитуда | \(x_0\) или \(A\) | \(x_{\text{max}}\) | \(\text{m}\) |
| Период | \(T\) | \(T = \frac{t}{n} = \frac{1}{\nu}\) | \(\text{s}\) |
| Фреквенција | \(\nu\) или \(f\) | \(\nu = \frac{n}{t} = \frac{1}{T}\) | \(\text{Hz}\) (\(\text{s}^{-1}\)) |
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело које осцилује на опрузи изврши 30 пуних осцилација за 15 секунди. Одреди период и фреквенцију осциловања тог тела.
Познато: \(n = 30\), \(t = 15\text{ s}\)
Период осциловања: \[ T = \frac{t}{n} = \frac{15\text{ s}}{30} = 0{,}5\text{ s} \] Фреквенција осциловања: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5\text{ s}} = 2\text{ Hz} \quad \left(\text{или } \nu = \frac{n}{t} = \frac{30}{15\text{ s}} = 2\text{ Hz}\right) \] Одговор: Период је \(0{,}5\text{ s}\), а фреквенција \(2\text{ Hz}\).
Период осциловања: \[ T = \frac{t}{n} = \frac{15\text{ s}}{30} = 0{,}5\text{ s} \] Фреквенција осциловања: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5\text{ s}} = 2\text{ Hz} \quad \left(\text{или } \nu = \frac{n}{t} = \frac{30}{15\text{ s}} = 2\text{ Hz}\right) \] Одговор: Период је \(0{,}5\text{ s}\), а фреквенција \(2\text{ Hz}\).
Задатак 2 (средњи): Тег окачен о опругу изведемо из равнотежног положаја за \(6\text{ cm}\) и пустимо да слободно осцилује.
а) Колики пут тег пређе за 4 пуне осцилације?
б) Ако је фреквенција осциловања \(\nu = 2{,}5\text{ Hz}\), колико је времена потребно за те 4 осцилације?
а) Колики пут тег пређе за 4 пуне осцилације?
б) Ако је фреквенција осциловања \(\nu = 2{,}5\text{ Hz}\), колико је времена потребно за те 4 осцилације?
Познато: \(x_0 = 6\text{ cm}\), \(n = 4\), \(\nu = 2{,}5\text{ Hz}\)
а) Пут током једне осцилације: \(s_1 = 4 \cdot x_0 = 4 \cdot 6\text{ cm} = 24\text{ cm}\).
Укупан пређени пут: \[ s = n \cdot s_1 = 4 \cdot 24\text{ cm} = 96\text{ cm} \] б) Време израчунавамо из релације \(\nu = \frac{n}{t} \Rightarrow t = \frac{n}{\nu}\): \[ t = \frac{4}{2{,}5\text{ Hz}} = 1{,}6\text{ s} \] Одговор: Пређени пут је \(96\text{ cm}\), а потребно време је \(1{,}6\text{ s}\).
а) Пут током једне осцилације: \(s_1 = 4 \cdot x_0 = 4 \cdot 6\text{ cm} = 24\text{ cm}\).
Укупан пређени пут: \[ s = n \cdot s_1 = 4 \cdot 24\text{ cm} = 96\text{ cm} \] б) Време израчунавамо из релације \(\nu = \frac{n}{t} \Rightarrow t = \frac{n}{\nu}\): \[ t = \frac{4}{2{,}5\text{ Hz}} = 1{,}6\text{ s} \] Одговор: Пређени пут је \(96\text{ cm}\), а потребно време је \(1{,}6\text{ s}\).
Задатак 3 (тежи): Математичко клатно дужине \(l\) осцилује са периодом \(T = 2\text{ s}\) на Земљи.
а) Како ће се променити период осциловања ако дужину нити клатна повећамо 4 пута?
б) Како ће се променити период осциловања ако масу куглице повећамо 2 пута, без промене дужине нити?
а) Како ће се променити период осциловања ако дужину нити клатна повећамо 4 пута?
б) Како ће се променити период осциловања ако масу куглице повећамо 2 пута, без промене дужине нити?
Формула за период математичког клатна је \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\).
а) Када се дужина повећа 4 пута (\(l' = 4l\)): \[ T' = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2T = 2 \cdot 2\text{ s} = 4\text{ s} \] Период ће се повећати 2 пута (износиће \(4\text{ s}\)).
б) Период осциловања математичког клатна не зависи од масе тела, па ће период остати непромењен (\(T = 2\text{ s}\)).
а) Када се дужина повећа 4 пута (\(l' = 4l\)): \[ T' = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = 2T = 2 \cdot 2\text{ s} = 4\text{ s} \] Период ће се повећати 2 пута (износиће \(4\text{ s}\)).
б) Период осциловања математичког клатна не зависи од масе тела, па ће период остати непромењен (\(T = 2\text{ s}\)).
