Најважније из лекције
Магични круг је фигура код које је збир бројева дуж било које праве линије која пролази кроз центар увек константан.
Основни магични круг са 9 бројева (од 1 до 9) има број 5 у центру, док спољашња поља чине четири пара са једнаким збировима \( (1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10) \). Укупан збир по сваком правцу је \(10 + 5 = 15\).
Својство инваријантности: Магични круг задржава своја магична својства (збирови праваца остају једнаки међу собом) уколико се сви његови бројеви саберу, одузму или помноже истим бројем.
Основни магични круг са 9 бројева (од 1 до 9) има број 5 у центру, док спољашња поља чине четири пара са једнаким збировима \( (1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10) \). Укупан збир по сваком правцу је \(10 + 5 = 15\).
Својство инваријантности: Магични круг задржава своја магична својства (збирови праваца остају једнаки међу собом) уколико се сви његови бројеви саберу, одузму или помноже истим бројем.
Магични круг је фигура код које су збирови бројева по свим назначеним правцима међусобно једнаки.
Магични круг са девет бројева састоји се од једног централног поља и осам спољашњих поља која су повезана линијама (правцима) које пролазе кроз центар. Сваки правац садржи тачно три поља: два наспрамна спољашња поља и заједничко централно поље.
Ако у центар магичног круга упишемо број 5, а у спољашња поља распоредимо бројеве 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 и 9 тако да наспрамни парови буду:
- 1 и 9 (јер је \(1 + 9 = 10\))
- 2 и 8 (јер је \(2 + 8 = 10\))
- 3 и 7 (јер је \(3 + 7 = 10\))
- 4 и 6 (јер је \(4 + 6 = 10\))
Магична својства при рачунским операцијама:
- Сабирање: Ако сваком броју магичног круга додамо исти број, добијена фигура ће и даље бити магични круг.
- Одузимање: Ако од сваког броја магичног круга одузмемо исти број, фигура остаје магични круг.
- Множење: Ако сваки број магичног круга помножимо истим бројем, фигура такође остаје магични круг.
Посматрајмо магични круг са бројевима од 1 до 9 (центар је 5, а карактеристичан збир правца је 15).
Ако сваки број помножимо са 2, добијамо нове бројеве: центар постаје 10, а спољашњи парови постају (2, 18), (4, 16), (6, 14) и (8, 12).
Нови збир сваког правца биће: \[ 2 + 10 + 18 = 30 \] \[ 4 + 10 + 16 = 30 \] Фигура је и даље магични круг са новим константним збиром 30.
Ако сваки број помножимо са 2, добијамо нове бројеве: центар постаје 10, а спољашњи парови постају (2, 18), (4, 16), (6, 14) и (8, 12).
Нови збир сваког правца биће: \[ 2 + 10 + 18 = 30 \] \[ 4 + 10 + 16 = 30 \] Фигура је и даље магични круг са новим константним збиром 30.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Дат је делимично попуњен магични круг са девет поља у коме је у центру број 10. Позната су три спољашња поља са бројевима 3, 5 и 7. Одреди бројеве који морају стајати на њима наспрамним пољима ако је збир на сваком правцу 25.
Нека је \(x\) наспрамно поље за број 3. Пошто је укупан збир правца 25, важи:
\[ 3 + 10 + x = 25 \implies 13 + x = 25 \implies x = 12 \]
Нека је \(y\) наспрамно поље за број 5: \[ 5 + 10 + y = 25 \implies 15 + y = 25 \implies y = 10 \]
Нека је \(z\) наспрамно поље за број 7: \[ 7 + 10 + z = 25 \implies 17 + z = 25 \implies z = 8 \]
Одговор: Наспрамна поља морају садржати бројеве 12, 10 и 8.
Нека је \(y\) наспрамно поље за број 5: \[ 5 + 10 + y = 25 \implies 15 + y = 25 \implies y = 10 \]
Нека је \(z\) наспрамно поље за број 7: \[ 7 + 10 + z = 25 \implies 17 + z = 25 \implies z = 8 \]
Одговор: Наспрамна поља морају садржати бројеве 12, 10 и 8.
Средњи задатак: Ако је збир бројева на сваком од праваца магичног круга једнак 60, а збир два наспрамна спољашња поља износи 44, који број се налази у централном пољу тог магичног круга?
Сваки правац чине два наспрамна спољашња поља и једно централно поље.
Формула за збир на једном правцу је: \[ \text{Збир спољашњих поља} + \text{Централно поље} = \text{Збир правца} \]
Заменом познатих вредности добијамо: \[ 44 + \text{Централно поље} = 60 \] \[ \text{Централно поље} = 60 - 44 = 16 \]
Одговор: У централном пољу се налази број 16.
Формула за збир на једном правцу је: \[ \text{Збир спољашњих поља} + \text{Централно поље} = \text{Збир правца} \]
Заменом познатих вредности добијамо: \[ 44 + \text{Централно поље} = 60 \] \[ \text{Централно поље} = 60 - 44 = 16 \]
Одговор: У централном пољу се налази број 16.
Тешки задатак: Полазимо од основног магичног круга са бројевима од 1 до 9, где је у центру број 5, а карактеристичан збир на сваком правцу је 15. Ако сваком броју у овом магичном кругу додамо број 4623, одреди колика ће бити вредност новог збира на сваком од праваца.
Сваки правац се састоји од тачно три поља. Када сваком појединачном броју додамо 4623, укупни збир три броја на сваком правцу ће се увећати за:
\[ 3 \cdot 4623 = 13869 \]
Нови збир на сваком правцу биће једнак старом збиру увећаном за ову вредност: \[ \text{Нови збир} = 15 + 13869 = 13884 \]
Провера преко једног правца:
Нови центар: \( 5 + 4623 = 4628 \)
Нови наспрамни пар: \( (1 + 4623) + (9 + 4623) = 4624 + 4632 = 9256 \)
Нови збир правца: \( 9256 + 4628 = 13884 \)
Одговор: Нови збир на сваком од праваца износиће 13884.
Нови збир на сваком правцу биће једнак старом збиру увећаном за ову вредност: \[ \text{Нови збир} = 15 + 13869 = 13884 \]
Провера преко једног правца:
Нови центар: \( 5 + 4623 = 4628 \)
Нови наспрамни пар: \( (1 + 4623) + (9 + 4623) = 4624 + 4632 = 9256 \)
Нови збир правца: \( 9256 + 4628 = 13884 \)
Одговор: Нови збир на сваком од праваца износиће 13884.
