Најважније из лекције
- Израз повезује бројеве, променљиве (слова) и математичке операције, али никада не садржи знак једнакости (\( = \)).
- Постоје бројевни изрази (само бројеви) и изрази с променљивом (садрже непознате вредности).
- Редослед операција је строг: прво се решавају заграде, затим множење и дељење, а тек на крају сабирање и одузимање.
- Формуле су практични примери израза помоћу којих израчунавамо вредности (нпр. \( 4 \cdot a \) за обим квадрата).
Променљива (непозната) је непознати број или величина у математици. Обично се означава малим латиничним словима: \( x, y, z, a, b, c... \)
Израз је математички запис који чине бројеви, променљиве и симболи повезани знацима рачунских операција (и по потреби заградама).
У изразу се никада не појављује знак једнакости (\( = \))! Када се између два бројевна израза напише знак \( = \), добија се једнакост.
Примери израза: \( 56 \); \( x \); \( 23 + 457 \); \( y - 17 \); \( (23 + 1) : (2 \cdot 3) \)
Који од следећих записа представља израз, а који једнакост?
а) \( 15 - 3 \cdot 2 \)
б) \( x + 5 = 12 \)
а) \( 15 - 3 \cdot 2 \)
б) \( x + 5 = 12 \)
Одговор:
а) Израз (нема знака једнакости).
б) Једнакост (постоји знак једнакости између леве и десне стране).
а) Израз (нема знака једнакости).
б) Једнакост (постоји знак једнакости између леве и десне стране).
Изразе делимо у две основне групе у зависности од тога шта садрже:
- Бројевни израз – садржи само бројеве, рачунске операције и заграде. Нема непознатих слова. (Пример: \( 1 + 329 \); \( 7 \cdot (6 - 4) \))
- Израз с променљивом – садржи барем једну променљиву (слово), поред бројева и операција. (Пример: \( 5 + y \); \( 2 \cdot x - 3 \))
Одредите врсту следећих израза:
1) \( 45 : 9 + 2 \)
2) \( a \cdot 8 \)
1) \( 45 : 9 + 2 \)
2) \( a \cdot 8 \)
Одговор:
1) Бројевни израз (садржи само бројеве).
2) Израз с променљивом (садржи променљиву \( a \)).
1) Бројевни израз (садржи само бројеве).
2) Израз с променљивом (садржи променљиву \( a \)).
Вредност бројевног израза израчунава се тако што се изврше све рачунске операције које се у њему појављују. Вредност израза са променљивом зависи од тренутне вредности те променљиве.
Редослед извршавања рачунских операција:
- Увек се прво извршавају операције у заградама.
- Затим се множи и дели.
- На крају се сабира и одузима.
Израчунавање вредности сложенијег бројевног израза:
\[ 5 \cdot 40 + 2 \cdot (20 - 10) \]
Прво решавамо заграду: \( 20 - 10 = 10 \)
Затим множимо: \( 5 \cdot 40 = 200 \) и \( 2 \cdot 10 = 20 \)
На крају сабирамо: \( 200 + 20 = 220 \)
Затим множимо: \( 5 \cdot 40 = 200 \) и \( 2 \cdot 10 = 20 \)
На крају сабирамо: \( 200 + 20 = 220 \)
Израчунајте вредност израза: \( 12 + 18 : 3 \).
Множење и дељење имају предност у односу на сабирање и одузимање.
\( 12 + (18 : 3) = 12 + 6 = 18 \)
Вредност израза је 18.
\( 12 + (18 : 3) = 12 + 6 = 18 \)
Вредност израза је 18.
Формуле су посебни облици израза који се користе за израчунавање одређених величина (нпр. у геометрији). Вредност израза у формули мења се како се мењају вредности променљивих.
Ако је \( a \) дужина странице квадрата:
Табеларни приказ вредности обима и површине за првих пет природних бројева:
- \( 4 \cdot a \) је формула за обим квадрата.
- \( a \cdot a \) је формула за површину квадрата.
| \( a \) (страница) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 4 \cdot a \) (обим) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| \( a \cdot a \) (површина) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
Ако је обим једнакостраничног троугла дат формулом \( O = 3 \cdot a \), колика је вредност обима ако је страница \( a = 12 \)?
Замењујемо променљиву \( a \) бројем 12:
\( O = 3 \cdot 12 = 36 \)
Вредност обима је 36.
\( O = 3 \cdot 12 = 36 \)
Вредност обима је 36.
Задаци за вежбање
Лак: Израчунајте бројевну вредност израза: \( 50 - 5 \cdot 8 \).
Множење има предност у односу на одузимање.
\( 50 - (5 \cdot 8) = 50 - 40 = 10 \).
Одговор: 10.
\( 50 - (5 \cdot 8) = 50 - 40 = 10 \).
Одговор: 10.
Средњи: Математичким симболима запишите израз: „трострука вредност збира бројева 5 и 7 умањена за количник бројева 34 и 17”, а затим израчунајте његову вредност.
Запис израза: \( 3 \cdot (5 + 7) - 34 : 17 \)
Решавање по редоследу операција (прво заграда, па множење/дељење, па одузимање):
\( 3 \cdot 12 - 34 : 17 \)
\( 36 - 2 = 34 \)
Одговор: Вредност израза је 34.
Решавање по редоследу операција (прво заграда, па множење/дељење, па одузимање):
\( 3 \cdot 12 - 34 : 17 \)
\( 36 - 2 = 34 \)
Одговор: Вредност израза је 34.
Тежак: Дат је израз с променљивом: \( 2020 : 2 + 7 \cdot (x - 21) \). Израчунајте вредност овог израза ако је \( x = 390 : 13 \).
Прво морамо да израчунамо вредност променљиве \( x \):
\( x = 390 : 13 = 30 \)
Сада убацујемо вредност \( x \) у почетни израз:
\( 2020 : 2 + 7 \cdot (30 - 21) \)
Решавамо заграду:
\( 2020 : 2 + 7 \cdot 9 \)
Множимо и делимо:
\( 1010 + 63 = 1073 \)
Одговор: Вредност израза је 1073.
\( x = 390 : 13 = 30 \)
Сада убацујемо вредност \( x \) у почетни израз:
\( 2020 : 2 + 7 \cdot (30 - 21) \)
Решавамо заграду:
\( 2020 : 2 + 7 \cdot 9 \)
Множимо и делимо:
\( 1010 + 63 = 1073 \)
Одговор: Вредност израза је 1073.
