Корице уџбеника

3.7. Математичка логика

Изабери решење задатка:

Задатак 1 (бесплатан)

Кратко решење

\( m \in L \), \( m \notin D \); \( z \notin L \), \( z \in D \); \( v \in L \), \( v \in D \). На дијаграму: \( m \) само у \( L \), \( z \) само у \( D \), \( v \) у пресеку \( L \cap D \).

Детаљно решење

Скуп \( L \) чине чланови литерарне, а скуп \( D \) чланови драмске секције; ко је члан обе секције, тај иде у заједнички део (пресек). Марко је члан литерарне, а није драмске, па \( m \) уписујемо у део који припада само скупу \( L \): \( m \in L \) и \( m \notin D \). Зоран је члан драмске, а није литерарне, па \( z \) уписујемо у део који припада само скупу \( D \): \( z \notin L \) и \( z \in D \). Вера је члан и литерарне и драмске секције, па \( v \) уписујемо у пресек \( L \cap D \): \( v \in L \) и \( v \in D \). Тако на дијаграму у само \( L \) стоји \( m \), у само \( D \) стоји \( z \), а у заједничкој области стоји \( v \).

Кратак запис решења:

Ко је члан обе секције иде у пресек, а остали у свој део дијаграма.

Најважније из лекције

  • Венови дијаграми помажу у визуелизацији логичких проблема. Специјални појмови се цртају као подскупови општијих појмова (нпр. тврдња "Сваки А је Б").
  • Логичке везе: "Ако А, онда Б" значи да из тачности исказа А следи тачност исказа Б. Ако Б није тачно, није тачно ни А.
  • Скуповне операције у речима: Реч И представља пресек (\( \cap \)), реч ИЛИ представља унију (\( \cup \)), а реч НЕ представља разлику скупова (\( \setminus \)).
  • При решавању проблема са преклапањем скупова, укупан број елемената добијамо тако што саберемо елементе који припадају само првом скупу, само другом скупу и њиховом пресеку.
Логика је наука о законима и облицима мишљења. Приликом логичког закључивања користимо исказе.
Исказ је реченица која може бити само тачна или нетачна (не може бити оба истовремено).
Приликом закључивања посебну пажњу треба обратити на речи: сваки, неки, следи, или, и, не.
У математици, уместо речи сваки често се каже било који или произвољан. Уместо речи неки често се каже бар један.
Венови дијаграми се користе да се графички прикаже смисао реченица које групишу бића, предмете или појмове. Када је једно својство специјалан случај другог, то приказујемо као скуп унутар скупа.
Венов дијаграм који приказује мањи скуп (нпр. 'слонови') унутар већег скупа (нпр. 'сисари'). Овај дијаграм илуструје тврдњу да је специјални појам део општег појма.
Тврдња: Сваки слон је сисар.
Ово значи да се цео скуп слонова налази унутар скупа сисара.
Из овога можемо закључити: Неки сисари нису слонови (постоје елементи у већем скупу који нису део мањег скупа).
Ако знамо да је "сваки квадрат правоугаоник", да ли можемо рећи да је "сваки правоугаоник квадрат"?
Одговор: Не. Скуп квадрата је унутар скупа правоугаоника. Постоје правоугаоници који нису квадрати.
Математичке законитости се најчешће формулишу у облику: Ако (неки услов), онда (неки закључак). Ово се може рећи и као: Из (услова) следи (закључак).
Правила закључивања за исказ „Ако А, онда Б“:
  • Ако знамо да је тачно А, онда мора бити тачно и Б.
  • Ако знамо да није тачно Б, онда закључујемо да није тачно ни А.
Тврдњу "Сваки слон је сисар" можемо записати као: Ако је нешто слон, онда је то сисар.
Ако за неку животињу знамо да није сисар, сигурно можемо закључити да та животиња није слон.
Логичке речи можемо превести у операције са скуповима:
  • И (истовремено припадање) означава пресек скупова \( (A \cap B) \).
  • ИЛИ (припадање бар једном) означава унију скупова \( (A \cup B) \).
  • НЕ (искључивање) означава разлику скупова \( (A \setminus B) \).
Венов дијаграм са два круга (скупови A и B) који се секу. Леви део (само A) представља A \ B, десни део (само B) представља B \ A, а средишњи преклоп представља њихов пресек A ∩ B.
У групи, деца тренирају фудбал (скуп F) или кошарку (скуп K).
- Деца која тренирају и фудбал и кошарку налазе се у пресеку \( F \cap K \).
- Деца која тренирају фудбал, али не кошарку, налазе се у разлици \( F \setminus K \).
Да бисмо израчунали укупан број деце, сабирамо: (деца која тренирају само фудбал) + (деца која тренирају само кошарку) + (деца која тренирају оба).

Задаци за вежбање

Лак: Дате су следеће изјаве о скуповима. Која реч недостаје у реченици да би она значила исто што и "Сваки дечак воли фудбал"?
"____ који дечак воли фудбал."
Недостаје реч било (или "Било који"). Уместо "сваки", у логици се често користи израз "било који" или "произвољан".
Средњи: Дато је правило: "Ако је број дељив са 4, онда је дељив са 2."
Ако за неки број сигурно знаш да није дељив са 2, шта можеш закључити о његовој дељивости са 4?
Ако није испуњен закључак (није дељив са 2), онда није испуњен ни почетни услов.
Одговор: Закључујемо да тај број сигурно није дељив са 4.
Тежак: У једном одељењу сваки ученик учи бар један страни језик (енглески или немачки). Енглески језик учи 20 ученика, немачки учи 15 ученика, а оба језика учи 7 ученика. Колико укупно ученика има у том одељењу?
Користимо скуповне операције:
1. Само енглески учи: \( 20 - 7 = 13 \) ученика.
2. Само немачки учи: \( 15 - 7 = 8 \) ученика.
3. Оба језика учи: 7 ученика.
Укупан број ученика је збир ова три дела: \( 13 + 8 + 7 = 28 \).
Одговор: У одељењу има 28 ученика.

Савладај
домаћи
уз хиљаде решења, лекција и тестова: