Најважније из лекције
- Једнаки имениоци: Именилац преписујемо, а бројиоце одузимамо. \( \left( \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \right) \)
- Различити имениоци: Прво тражимо НЗС да бисмо изједначили имениоце проширивањем, а затим одузимамо.
- Мешовити бројеви: Могу се одузимати претварањем у неправе разломке или одвојеним одузимањем целих и разломљених делова.
- Позајмљивање: Код мешовитих бројева, ако је разломљени део умањеника мањи од умањиоца, претварамо једно цело у разломак (нпр. \( 4\frac{1}{3} = 3\frac{4}{3} \)).
Разлика два разломка једнаких именилаца је разломак чији је именилац једнак имениоцима умањеника и умањиоца, а бројилац је разлика њихових бројилаца.
\[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}, \quad a \ge b \]
Умањеник не сме бити мањи од умањиоца.
\( \frac{6}{7} - \frac{4}{7} = \frac{6 - 4}{7} = \frac{2}{7} \)
Израчунај разлику разломака: \( \frac{11}{9} - \frac{7}{9} \)
\( \frac{11}{9} - \frac{7}{9} = \frac{11 - 7}{9} = \frac{4}{9} \)
Разломке различитих именилаца одузимамо тако што их прво проширивањем преведемо у разломке једнаких именилаца (тражењем Најмањег заједничког садржаоца - НЗС), па их потом одузмемо по правилу за једнаке имениоце.
\[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - cb}{bd}, \quad ad > cb \]
Одузимање \( \frac{11}{8} - \frac{3}{10} \):
НЗС за 8 и 10 је 40. Проширујемо први разломак са 5, а други са 4.
\( \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{55}{40} - \frac{12}{40} = \frac{43}{40} = 1\frac{3}{40} \)
НЗС за 8 и 10 је 40. Проширујемо први разломак са 5, а други са 4.
\( \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{55}{40} - \frac{12}{40} = \frac{43}{40} = 1\frac{3}{40} \)
Израчунај: \( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \)
НЗС(3, 2) = 6.
\( \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} \)
Мешовите бројеве можемо одузимати на два начина.
Дате мешовите бројеве претварамо у неправе разломке, доводимо на заједнички именилац (ако је потребно) и одузимамо.
\( 3\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5} = \frac{18}{5} - \frac{7}{5} = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} \)
\( 3\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5} = \frac{18}{5} - \frac{7}{5} = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} \)
Одузимамо целе делове од целих делова, а разломљене делове од разломљених делова.
\( 3\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5} = (3 - 1) + \left( \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \right) = 2\frac{1}{5} \)
\( 3\frac{3}{5} - 1\frac{2}{5} = (3 - 1) + \left( \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \right) = 2\frac{1}{5} \)
Користећи други начин, израчунај: \( 6\frac{7}{8} - 4\frac{1}{8} \)
\( 6\frac{7}{8} - 4\frac{1}{8} = (6 - 4) + \left( \frac{7}{8} - \frac{1}{8} \right) = 2 + \frac{6}{8} = 2\frac{6}{8} \) (што се може скратити на \( 2\frac{3}{4} \)).
Ако је прави разломак у умањенику мањи од правог разломка у умањиоцу, морамо „позајмити” 1 целу јединицу од целог дела умањеника и претворити је у разломак.
Израчунавање \( 3\frac{1}{5} - 2\frac{4}{5} \):
Пошто не можемо одузети \( \frac{4}{5} \) од \( \frac{1}{5} \), позајмљујемо 1 од броја 3.
\( 3\frac{1}{5} = 2 + 1 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 2\frac{6}{5} \)
Сада одузимамо: \( 2\frac{6}{5} - 2\frac{4}{5} = 0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \)
Пошто не можемо одузети \( \frac{4}{5} \) од \( \frac{1}{5} \), позајмљујемо 1 од броја 3.
\( 3\frac{1}{5} = 2 + 1 + \frac{1}{5} = 2 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 2\frac{6}{5} \)
Сада одузимамо: \( 2\frac{6}{5} - 2\frac{4}{5} = 0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \)
Израчунај: \( 5\frac{5}{8} - 2\frac{7}{8} \)
Позајмљујемо 1 од броја 5: \( 5\frac{5}{8} = 4\frac{13}{8} \)
\( 4\frac{13}{8} - 2\frac{7}{8} = 2\frac{6}{8} \) (након скраћивања са 2, добијамо \( 2\frac{3}{4} \)).
\( 4\frac{13}{8} - 2\frac{7}{8} = 2\frac{6}{8} \) (након скраћивања са 2, добијамо \( 2\frac{3}{4} \)).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај разлику разломака једнаких именилаца: \( \frac{25}{8} - \frac{17}{8} \)
\( \frac{25}{8} - \frac{17}{8} = \frac{25 - 17}{8} = \frac{8}{8} = 1 \)
Средњи: Израчунај разлику разломака различитих именилаца: \( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \)
Тражимо НЗС за 4 и 3, што је 12. Проширујемо разломке:
\( \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12} \)
\( \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12} \)
Тежак: Израчунај разлику мешовитих бројева са различитим имениоцима користећи позајмљивање: \( 6\frac{1}{4} - 3\frac{5}{6} \)
1. Сводимо разломљене делове на заједнички именилац (НЗС за 4 и 6 је 12):
\( 6\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 3\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 6\frac{3}{12} - 3\frac{10}{12} \)
2. Пошто је \( \frac{3}{12} < \frac{10}{12} \), позајмљујемо једно цело од броја 6:
\( 6\frac{3}{12} = 5\frac{15}{12} \)
3. Одузимамо:
\( 5\frac{15}{12} - 3\frac{10}{12} = 2\frac{5}{12} \)
\( 6\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 3\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = 6\frac{3}{12} - 3\frac{10}{12} \)
2. Пошто је \( \frac{3}{12} < \frac{10}{12} \), позајмљујемо једно цело од броја 6:
\( 6\frac{3}{12} = 5\frac{15}{12} \)
3. Одузимамо:
\( 5\frac{15}{12} - 3\frac{10}{12} = 2\frac{5}{12} \)
