Најважније из лекције
- Обележавање: Тачке (велика слова: \( A, B \)), праве (мала слова: \( a, p \)), равни (грчка слова: \( \alpha, \beta \)).
- Припадање: Тачка лежи на правој (\( \in \)) или не лежи на правој (\( \notin \)).
- Одређеност: Кроз 1 тачку пролази бесконачно правих. Кроз 2 тачке пролази тачно једна права.
- Колинеарност: Тачке на истој правој су колинеарне.
- Однос две праве: Могу да се секу (1 заједничка тачка), да буду паралелне (\( \parallel \) - 0 заједничких тачака) или да се поклапају.
- Полуправа: Део праве који има почетак, али нема крај.
Тачка, права и раван су основни геометријски објекти. Они се не дефинишу, већ се представљају сликама или моделима.
Ознаке:
- Тачке се обележавају великим словима латинице: \( A, B, C, P, S... \)
- Праве се обележавају малим словима латинице: \( p, q, r, s, t... \)
- Равни се обележавају малим словима грчког алфабета: \( \alpha \) (алфа), \( \beta \) (бета), \( \gamma \) (гама)...
Права и раван су неограничени геометријски објекти. На папиру можемо нацртати само њихове делове.
Између тачака и правих постоји однос припадања. Тачка може да припада или да не припада правој.
Ако тачка \( T \) припада правој \( p \), пишемо: \( T \in p \).
Ако тачка \( S \) не припада правој \( p \), пишемо: \( S \notin p \).
Ако тачка \( S \) не припада правој \( p \), пишемо: \( S \notin p \).
Постоји бесконачно много правих које садрже једну дату тачку (оне се секу у тој тачки).
Права је одређена са две различите тачке које јој припадају. Кроз две различите тачке може се провући само једна права.
Тачке које припадају истој правој називају се колинеарне тачке. Тачке које не припадају истој правој су неколинеарне.
Ако имамо три неколинеарне тачке \( A, B \) и \( C \), њима су одређене три различите праве: \( p(A, B) \), \( q(B, C) \) и \( r(A, C) \).
Две праве у истој равни могу имати три различита међусобна положаја у зависности од броја заједничких тачака:
| Положај правих | Број заједничких тачака | Опис |
|---|---|---|
| Секу се | Тачно једна | Праве имају једну заједничку пресечну тачку. |
| Паралелне су | Немају заједничких тачака | Праве се никада неће пресећи, ма колико их продужавали. Ознака: \( m \parallel n \). |
| Поклапају се | Све тачке су заједничке | Праве леже једна преко друге (представљају исту линију). Ознака: \( r = s \). |
За сваку праву и тачку ван ње постоји јединствена права која пролази кроз дату тачку и паралелна је датој правој.
Распоред тачака на правој се означава са: \( A - B - C \). Ово значи да се тачка \( B \) налази између тачака \( A \) и \( C \).
Свака права садржи бесконачно много тачака. Између сваке две различите тачке праве налази се бесконачно много других тачака.
Полуправа је део праве подељен једном тачком. Она има своју почетну тачку (почетак), али се наставља неограничено у једном смеру (нема крај).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Како се симболима записује да тачка \( M \) припада правој \( a \), а да тачка \( N \) не припада тој правој?
Тачка \( M \) припада правој \( a \): \( M \in a \).
Тачка \( N \) не припада правој \( a \): \( N \notin a \).
Тачка \( N \) не припада правој \( a \): \( N \notin a \).
Средњи задатак: Дате су три тачке \( P, Q \) и \( R \). Познато је да су ове тачке колинеарне. Колико правих је одређено овим тачкама?
Пошто су тачке колинеарне, то значи да све три леже на истој правој. Према томе, овим тачкама одређена је само једна права.
Тежак задатак: У равни је дата права \( p \) и тачка \( T \) која не припада правој \( p \) (\( T \notin p \)). Колико правих можеш нацртати које пролазе кроз тачку \( T \), а паралелне су са правом \( p \)? Колико правих можеш нацртати које пролазе кроз тачку \( T \) и секу праву \( p \)?
- Кроз тачку \( T \) може се нацртати тачно једна права која је паралелна са правом \( p \).
- Кроз тачку \( T \) може се нацртати бесконачно много правих које секу праву \( p \).
