Најважније из лекције
Правила за решавање једначина са сабирањем и одузимањем:
- Непознати сабирак: Од збира одузимамо познати сабирак. (\( x + a = b \implies x = b - a \))
- Непознати умањеник: Разлици додајемо умањилац. (\( x - a = b \implies x = b + a \))
- Непознати умањилац: Од умањеника одузимамо разлику. (\( a - x = b \implies x = a - b \))
Решење једначине је вредност променљиве која замењена у једначини даје тачну једнакост (лева и десна страна постају једнаке).
Да ли је број \( 2,7 \) решење једначине \( x + 3,4 = 6,1 \)?
Уврштавамо вредност \( 2,7 \) уместо непознате \( x \):
Лева страна (Л): \( 2,7 + 3,4 = 6,1 \)
Десна страна (Д): \( 6,1 \)
Пошто је Л \(=\) Д, број \( 2,7 \) јесте тачно решење дате једначине.
Уврштавамо вредност \( 2,7 \) уместо непознате \( x \):
Лева страна (Л): \( 2,7 + 3,4 = 6,1 \)
Десна страна (Д): \( 6,1 \)
Пошто је Л \(=\) Д, број \( 2,7 \) јесте тачно решење дате једначине.
Ако приликом провере не добијеш тачну једнакост, негде је начињена грешка у рачуну и једначину треба решити поново.
Непознати сабирак одређује се тако што се од збира одузме познати сабирак.
\[ x + a = b \]
\[ x = b - a \]
Реши једначину: \( x + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \)
\[ x = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} \]
\[ x = \frac{1}{4} \]
Реши једначину: \( x + 1,3 = 4,8 \)
\[ x = 4,8 - 1,3 \]
\[ x = 3,5 \]
Непознати умањеник одређује се тако што се разлици дода познати умањилац.
\[ x - a = b \]
\[ x = b + a \]
Реши једначину: \( x - \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \)
\[ x = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} \]
\[ x = \frac{4}{5} \]
Реши једначину: \( x - 0,25 = 0,5 \)
\[ x = 0,5 + 0,25 \]
\[ x = 0,75 \]
Непознати умањилац одређује се тако што се од познатог умањеника одузме разлика.
\[ a - x = b \]
\[ x = a - b \]
Када је једначина дата са разломцима у два различита записа (децимални и разломак у облику \( \frac{a}{b} \)), потребно је прво све превести у исти запис. Препоручује се превођење у разломак \( \frac{a}{b} \) како би се избегли проблеми са бесконачним периодичним децималним бројевима.
Реши једначину: \( 2 \frac{1}{3} - x = 0,5 \)
Прво преводимо \( 0,5 \) у разломак \( \frac{1}{2} \): \[ 2 \frac{1}{3} - x = \frac{1}{2} \] \[ x = 2 \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{7}{3} - \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{14}{6} - \frac{3}{6} \] \[ x = \frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} \]
Прво преводимо \( 0,5 \) у разломак \( \frac{1}{2} \): \[ 2 \frac{1}{3} - x = \frac{1}{2} \] \[ x = 2 \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{7}{3} - \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{14}{6} - \frac{3}{6} \] \[ x = \frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} \]
Задаци за вежбање
Лак: Реши једначину: \( x + \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \)
У питању је непознати сабирак.
\[ x = \frac{6}{7} - \frac{2}{7} \]
\[ x = \frac{4}{7} \]
Средњи: Реши једначину: \( x - 1,2 = \frac{3}{4} \)
У питању је непознати умањеник. Прво можемо претворити све у децимални запис (пошто је \( \frac{3}{4} = 0,75 \)) или све у разломке.
Начин 1 (децимални): \[ x - 1,2 = 0,75 \] \[ x = 0,75 + 1,2 \] \[ x = 1,95 \]
Начин 2 (разломци): \[ x - \frac{12}{10} = \frac{3}{4} \] \[ x - \frac{6}{5} = \frac{3}{4} \] \[ x = \frac{3}{4} + \frac{6}{5} = \frac{15}{20} + \frac{24}{20} = \frac{39}{20} = 1 \frac{19}{20} \] (Оба решења су тачна и представљају исти број).
Начин 1 (децимални): \[ x - 1,2 = 0,75 \] \[ x = 0,75 + 1,2 \] \[ x = 1,95 \]
Начин 2 (разломци): \[ x - \frac{12}{10} = \frac{3}{4} \] \[ x - \frac{6}{5} = \frac{3}{4} \] \[ x = \frac{3}{4} + \frac{6}{5} = \frac{15}{20} + \frac{24}{20} = \frac{39}{20} = 1 \frac{19}{20} \] (Оба решења су тачна и представљају исти број).
Тежак: Реши једначину: \( 4 \frac{1}{6} - x = 2 \frac{2}{3} \)
У питању је непознати умањилац.
\[ x = 4 \frac{1}{6} - 2 \frac{2}{3} \]
Сводимо на заједнички именилац (6):
\[ x = 4 \frac{1}{6} - 2 \frac{4}{6} \]
Пошто не можемо одузети \( \frac{4}{6} \) од \( \frac{1}{6} \), "позајмљујемо" једно цело:
\[ x = 3 \frac{7}{6} - 2 \frac{4}{6} \]
\[ x = 1 \frac{3}{6} \]
Скраћујемо разломак:
\[ x = 1 \frac{1}{2} \]
