Најважније из лекције
Осна симетрија: Пресликавање код којег се тачка пресликава са друге стране осе симетрије по нормали, на истом растојању од осе.
Специфичност: Тачке које већ леже на оси симетрије се не померају (слика се поклапа са оригиналом).
Геометријска конструкција: Изводи се само шестаром и лењиром, пресецањем лукова са осе симетрије.
Својства: Осна симетрија чува растојање (дужине страница остају исте) и паралелност (паралелне праве остају паралелне). Фигуре се пресликавају тако што се пресликавају њихова темена.
Специфичност: Тачке које већ леже на оси симетрије се не померају (слика се поклапа са оригиналом).
Геометријска конструкција: Изводи се само шестаром и лењиром, пресецањем лукова са осе симетрије.
Својства: Осна симетрија чува растојање (дужине страница остају исте) и паралелност (паралелне праве остају паралелне). Фигуре се пресликавају тако што се пресликавају њихова темена.
Осносиметрична слика тачке \( T \) у односу на праву \( s \) (која представља осу симетрије) јесте тачка \( T' \) која се налази са друге стране осе \( s \), таква да права која пролази кроз тачке \( T \) и \( T' \) сече осу \( s \) под правим углом, а саме тачке се налазе на једнаком растојању од осе.
Две праве су нормалне ако се секу под правим углом. Пресек нормале и осе симетрије назива се подножје нормале.
Тачка која припада оси симетрије пресликава се сама у себе. Дакле, ако тачка \( B \in s \), онда је \( B = B' \).
Техничка конструкција се изводи помоћу два лењира (за цртање нормале) и мерењем растојања, док се геометријска конструкција изводи искључиво помоћу шестара и једног лењира без подељака.
Кораци геометријске конструкције тачке \( A' \) која је симетрична тачки \( A \) у односу на осу \( s \):
Постави иглу шестара у тачку \( A \) и конструиши лук (део кружнице) чији полупречник бираш тако да лук сече праву \( s \) у две тачке. Означи те тачке са \( M \) и \( N \).
Не мењајући отвор шестара, конструиши лукове полупречника \( MA \) из тачака \( M \) и \( N \). Ови лукови ће се пресећи у тачки \( A \) и у још једној тачки са супротне стране осе \( s \). Ту другу тачку означи са \( A' \).
Конструиши праву одређену тачкама \( A \) и \( A' \). Ова права је нормална на осу \( s \) и важи да су растојања од осе до тачака \( A \) и \( A' \) једнака.
Да би се пресликала дуж \( PQ \) у односу на осу симетрије, довољно је пресликати њене крајње тачке \( P \) и \( Q \) у тачке \( P' \) и \( Q' \), а затим их спојити.
На исти начин се пресликавају и геометријске фигуре (троугао, правоугаоник и сл.) – тако што се конструишу осно-симетричне слике свих њихових темена, која се затим редом спајају.
Осна симетрија је пресликавање које чува растојања између тачака. (Дуж и њена осно-симетрична слика имају једнаке дужине).
Осна симетрија је пресликавање које чува паралелност. (Ако су две странице фигуре паралелне, и њихове слике ће бити паралелне).
Задаци за вежбање
Лак: Дата је права \( s \) и тачка \( K \) која се налази тачно на правој \( s \). Где се налази осно-симетрична слика \( K' \) тачке \( K \) у односу на праву \( s \)?
Одговор: Тачка \( K' \) се налази на истом месту где и тачка \( K \) (поклапају се). Тачка која припада оси симетрије пресликава се сама у себе (\( K = K' \)).
Средњи: Дуж \( AB \) има дужину \( 6 \text{ cm} \). Ако је дуж \( A'B' \) њена осно-симетрична слика у односу на неку праву \( p \), колика је дужина дужи \( A'B' \)? Објасни зашто.
Одговор: Дужина дужи \( A'B' \) је такође \( 6 \text{ cm} \). Разлог је то што је осна симетрија пресликавање које чува растојања између тачака, па су оригинална дуж и њена слика једнаких дужина.
Тежак: Опиши поступак како би конструисао осно-симетричну слику троугла \( \triangle MNP \) у односу на осу симетрије \( q \), користећи само шестар и лењир без подељака.
Одговор:
1. Примени поступак геометријске конструкције за тачку \( M \): из тачке \( M \) опиши лук који сече осу \( q \) у две тачке, а затим из тих пресека опиши лукове са друге стране осе да добијеш тачку \( M' \).
2. Понови исти геометријски поступак за теме \( N \) да добијеш тачку \( N' \).
3. Понови исти поступак за теме \( P \) да добијеш тачку \( P' \).
4. Споји тачке \( M', N' \) и \( P' \) лењиром како би добио слику троугла \( \triangle M'N'P' \).
1. Примени поступак геометријске конструкције за тачку \( M \): из тачке \( M \) опиши лук који сече осу \( q \) у две тачке, а затим из тих пресека опиши лукове са друге стране осе да добијеш тачку \( M' \).
2. Понови исти геометријски поступак за теме \( N \) да добијеш тачку \( N' \).
3. Понови исти поступак за теме \( P \) да добијеш тачку \( P' \).
4. Споји тачке \( M', N' \) и \( P' \) лењиром како би добио слику троугла \( \triangle M'N'P' \).
