Најважније из лекције
- Једначина је једнакост са непознатом (обично \( x \)); знак \( = \) дели је на леву и десну страну.
- Решење је вредност непознате за коју је једнакост тачна. Замислимо једначину као вагу у равнотежи.
- Правило додавања: левој и десној страни можемо додати исти број, а једнакост остаје тачна. Тако непознату остављамо саму: \( x + a = b \Rightarrow x = b - a \).
- Ако важи \( a + b = c \), онда је \( a = c - b \); ако важи \( a - b = c \), онда је \( a = c + b \).
- Добијено решење увек проверимо заменом у полазну једначину.
- Текстуалне задатке решавамо у 6 корака: познате величине → непозната → једначина → решавање → провера → одговор (дужине сведемо на исту јединицу, \( 1\ \text{m} = 100\ \text{cm} \)).
Једначину схватамо као једнакост са променљивом (непознатом). Непозната се обично обележава словом \( x \) (или \( y,\ z,\ t \)).
Једнакост има две стране: све што је лево од знака \( = \) чини леву страну, а све десно од њега десну страну једначине.
Решење једначине је вредност променљиве која, када је заменимо у једначини, даје тачну једнакост.
У једначини \( x + 2 = 3 \) решење је број \( 1 \), јер заменом \( x = 1 \) добијамо тачну једнакост \( 1 + 2 = 3 \).
Једначину можемо да замислимо као вагу са два таса која су у равнотежи. Лева и десна страна једначине имају једнаку „масу“.
Вага остаје у равнотежи (једначина остаје тачна) ако на оба таса урадимо исто:
- додамо (или одузмемо) на оба таса предмете исте масе;
- масу на оба таса повећамо или смањимо исти број пута.
Управо ово својство користимо да бисмо непознату \( x \) оставили саму на једном тасу и тако пронашли решење.
Правило додавања. У поступку решавања једначине левој и десној страни можемо додати исти број, при чему једнакост и даље важи.
Због тога, да бисмо ослободили непознату сабирка \( a \), додајемо обема странама супротан број \( -a \) (то јест одузмемо \( a \)).
Решавамо \( x + 2 = 3 \) тако што обема странама додамо \( -2 \):
\[ x + 2 + (-2) = 3 + (-2) \]
\[ x = 1 \]
Скраћено то записујемо и као:
\[ x + 2 = 3 \;/ -2 \qquad\Rightarrow\qquad x = 3 - 2 = 1 \]
Одговор: решење је \( x = 1 \).
За решавање једначина корисна су и следећа својства, која важе за све рационалне бројеве \( a,\ b,\ c \):
| Ако важи | онда је |
|---|---|
| \( a + b = c \) | \( a = c - b \) и \( b = c - a \) |
| \( a - b = c \) | \( a = c + b \) |
| \( a - b = c \) | \( b = a - c \) |
Из \( x - 5{,}2 = -7{,}8 \) следи \( x = -7{,}8 + 5{,}2 = -2{,}6 \).
Добијено решење увек проверавамо: заменимо га уместо непознате у полазну једначину и проверимо да ли је једнакост тачна.
За једначину \( x + 2 = 3 \) и решење \( x = 1 \):
\[ 1 + 2 = 3 \quad\checkmark \]
Једнакост је тачна, па је \( x = 1 \) заиста решење.
Пре него што почнеш да решаваш текстуални задатак, важно је да га пажљиво прочиташ и разумеш. Некад је потребно прочитати га и више пута.
Текстуални задатак решавамо у корацима:
- Одреди које су величине познате.
- Одреди непознату величину и уведи ознаку за њу (нпр. \( x \)).
- Формирај одговарајућу једначину.
- Реши једначину.
- Провери да ли решење одговара условима задатка.
- Одговори на постављено питање.
Корисно је да све дужине изразимо у истој јединици, нпр. \( 1\ \text{m} = 100\ \text{cm} \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Реши једначину \( x + 2{,}5 = 0 \) и провери решење.
Обема странама додамо \( -2{,}5 \) (то јест одузмемо \( 2{,}5 \)):
\[ x + 2{,}5 = 0 \;/ -2{,}5 \]
\[ x = 0 - 2{,}5 = -2{,}5 \]
Провера: \( -2{,}5 + 2{,}5 = 0 \ \checkmark \)
Одговор: \( x = -2{,}5 \).
Одговор: \( x = -2{,}5 \).
Средњи задатак: Реши једначину \( x - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} \).
Обема странама додамо \( \dfrac{4}{5} \):
\[ x - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \]
\[ x = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]
Провера: \( 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} \ \checkmark \)
Одговор: \( x = 1 \).
Одговор: \( x = 1 \).
Тежак задатак: Нина је имала \( 2{,}5\ \text{m} \) украсне траке. Замотавала је рођендански поклон за своју другарицу и остало јој је \( 25\ \text{cm} \) траке. Колико је траке потрошила за паковање поклона?
1. Познато: Нина је имала \( 2{,}5\ \text{m} \) траке; остало јој је \( 25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m} \).
2. Непознато: нека је \( d\ \text{(m)} \) дужина траке коју је потрошила.
3. Једначина: од укупне траке потрошимо \( d \), па остане \( 0{,}25\ \text{m} \): \[ 2{,}5 - d = 0{,}25 \] 4. Решавање: обема странама додамо \( -2{,}5 \): \[ 2{,}5 - d = 0{,}25 \;/ -2{,}5 \] \[ -d = 0{,}25 - 2{,}5 = -2{,}25 \] \[ -(-d) = -(-2{,}25) \implies d = 2{,}25 \] 5. Провера: ако је потрошила \( 2{,}25\ \text{m} \), остане \( 2{,}5 - 2{,}25 = 0{,}25\ \text{m} \ \checkmark \)
6. Одговор: Нина је за паковање поклона потрошила \( 2{,}25\ \text{m} \) траке.
2. Непознато: нека је \( d\ \text{(m)} \) дужина траке коју је потрошила.
3. Једначина: од укупне траке потрошимо \( d \), па остане \( 0{,}25\ \text{m} \): \[ 2{,}5 - d = 0{,}25 \] 4. Решавање: обема странама додамо \( -2{,}5 \): \[ 2{,}5 - d = 0{,}25 \;/ -2{,}5 \] \[ -d = 0{,}25 - 2{,}5 = -2{,}25 \] \[ -(-d) = -(-2{,}25) \implies d = 2{,}25 \] 5. Провера: ако је потрошила \( 2{,}25\ \text{m} \), остане \( 2{,}5 - 2{,}25 = 0{,}25\ \text{m} \ \checkmark \)
6. Одговор: Нина је за паковање поклона потрошила \( 2{,}25\ \text{m} \) траке.
