Најважније из лекције
Директна пропорционалност: \( y = k \cdot x \) (однос \( \frac{y}{x} = k \) је сталан, график је права кроз координатни почетак).
Скуп \( \mathbb{Q} \): Сви бројеви облика \( \frac{p}{q} \) (\( p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \)).
Апсолутна вредност и супротан број: \( |-a| = |a| \ge 0 \), \( -(-a) = a \).
Упоређивање: Позитивни бројеви: већа апсолутна вредност значи већи број (\( 5 > 2 \)). Негативни бројеви: мања апсолутна вредност значи већи број (\( -2 > -5 \)).
Сабирање и одузимање: Исти знак сабирамо и задржавамо знак (\( -2 + (-3) = -5 \)); различите одузимамо према апсолутној вредности (\( -5 + 2 = -3 \)). Одузимање је сабирање супротног броја (\( a - b = a + (-b) \)).
Неједначине: Код непознатог умањиоца мења се смер неједнакости (\( a - x < b \iff x > a - b \)).
Скуп \( \mathbb{Q} \): Сви бројеви облика \( \frac{p}{q} \) (\( p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \)).
Апсолутна вредност и супротан број: \( |-a| = |a| \ge 0 \), \( -(-a) = a \).
Упоређивање: Позитивни бројеви: већа апсолутна вредност значи већи број (\( 5 > 2 \)). Негативни бројеви: мања апсолутна вредност значи већи број (\( -2 > -5 \)).
Сабирање и одузимање: Исти знак сабирамо и задржавамо знак (\( -2 + (-3) = -5 \)); различите одузимамо према апсолутној вредности (\( -5 + 2 = -3 \)). Одузимање је сабирање супротног броја (\( a - b = a + (-b) \)).
Неједначине: Код непознатог умањиоца мења се смер неједнакости (\( a - x < b \iff x > a - b \)).
Две променљиве величине су директно пропорционалне ако је количник њихових одговарајућих вредности константан. То значи да колико се пута једна величина повећа (или смањи), исто толико пута се повећа (или смањи) и друга величина.
\[ y = k \cdot x \quad \text{односно} \quad \frac{y}{x} = k \quad (x \neq 0) \]
\( k \) је коефицијент директне пропорционалности.
Када се величине \( x \) и \( y \) мере различитим мерним јединицама, коефицијент \( k \) има изведену јединицу мере (нпр. брзина \( v = \frac{s}{t} \) у \( \text{m/s} \), густина \( \rho = \frac{m}{V} \) у \( \text{g/cm}^3 \), цена \( c = \frac{P}{K} \) у \( \text{дин./kg} \)).
График директне пропорционалности у координатном систему је права (или полуправа) која полази из координатног почетка \( (0, 0) \). Све тачке зависности леже на тој правој.
Ако аутомобил троши \( 6\text{ l} \) горива на \( 100\text{ km} \), потрошња по километру је \( k = \frac{6}{100} = 0{,}06\text{ l/km} \). Формула потрошње за пређени пут \( s \) гласи: \( V = 0{,}06 \cdot s \).
Рационалан број је сваки број који се може написати као количник два цела броја, при чему делилац није нула.
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z}, \; q \in \mathbb{Z}, \; q \neq 0 \right\} = \left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p \in \mathbb{Z}, \; q \in \mathbb{N} \right\} \]
Скуп свих рационалних бројева састоји се од негативних рационалних бројева (\( \mathbb{Q}^- \)), нуле и позитивних рационалних бројева (\( \mathbb{Q}^+ \)):
\[ \mathbb{Q} = \mathbb{Q}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Q}^+ \]
Проширивање и скраћивање:
Вредност рационалног броја се не мења ако и бројилац и именилац помножимо (проширивање) или поделимо (скраћивање) истим целим бројем \( k \neq 0 \): \[ \frac{p}{q} = \frac{p \cdot k}{q \cdot k}, \qquad \frac{p}{q} = \frac{p : k}{q : k} \]
Вредност рационалног броја се не мења ако и бројилац и именилац помножимо (проширивање) или поделимо (скраћивање) истим целим бројем \( k \neq 0 \): \[ \frac{p}{q} = \frac{p \cdot k}{q \cdot k}, \qquad \frac{p}{q} = \frac{p : k}{q : k} \]
Сваки негативан разломак се може записати као: \( -\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} \).
Превођење записа:
- Разломак у децимални запис: \( \frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75 \)
- Проценат у разломак: \( 25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \)
- Мешовити број: \( -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3} \)
Сваком рационалном броју одговара тачно једна тачка на бројевној правој. Позитивни бројеви се налазе десно од координатног почетка \( O(0) \), а негативни лево. Да би се разломци различитих именилаца лакше нанели, своде се на заједнички именилац (НЗС).
Супротни бројеви су бројеви који се налазе на једнаком растојању од нуле, али са супротних страна. Супротан број броја \( r \) је \( -r \). Важи:
\[ -(-r) = r, \qquad -(0) = 0 \]
Апсолутна вредност \( |r| \) представља геометријско растојање тачке која одговара броју \( r \) од координатног почетка на бројевној правој.
\[ |r| = \begin{cases} r, & r \ge 0 \\ -r, & r < 0 \end{cases} \]
Својства апсолутне вредности:
- Апсолутна вредност је увек ненегативна: \( |r| \ge 0 \) за свако \( r \in \mathbb{Q} \).
- Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности: \( |r| = |-r| \).
- За разломке важи: \( \left| \frac{p}{q} \right| = \frac{|p|}{|q|} \).
На бројевној правој, од два броја већи је онај који се налази десније.
- Сваки позитиван број је већи од нуле и од сваког негативног броја: \( \text{позитиван} > 0 > \text{негативан} \).
- Од два позитивна броја, већи је онај који има већу апсолутну вредност (онај који је даљи од нуле).
- Од два негативна броја, већи је онај који има мању апсолутну вредност (онај који је ближи нули).
- Ако су истих именилаца: већи је онај са већим бројиоцем (нпр. \( \frac{5}{7} > \frac{2}{7} \)).
- Ако су истих бројилаца: већи је онај са мањим имениоцем (нпр. \( \frac{3}{4} > \frac{3}{5} \)).
- Ако су различитих именилаца: проширивањем се сведу на заједнички именилац (НЗС), па се пореде бројиоци.
Упоређивање:
- \( -3{,}2 > -5{,}8 \) јер је \( |-3{,}2| = 3{,}2 < 5{,}8 = |-5{,}8| \)
- \( -\frac{3}{4} \) и \( -\frac{2}{3} \): како је \( -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12} \) и \( -\frac{2}{3} = -\frac{8}{12} \), следи \( -\frac{2}{3} > -\frac{3}{4} \)
Сабирање:
- Бројеви истог знака: саберу се њихове апсолутне вредности и препише се заједнички знак.
\( -2{,}3 + (-1{,}4) = -(2{,}3 + 1{,}4) = -3{,}7 \) - Бројеви различитог знака: одузму се апсолутне вредности (од веће мања) и припише се знак сабирка са већом апсолутном вредношћу.
\( -\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = -\left(\frac{4}{5} - \frac{1}{5}\right) = -\frac{3}{5} \)
Одузимање: Одузимање броја \( b \) је еквивалентно сабирању њему супротног броја \( -b \):
\[ a - b = a + (-b) \]
\( -\frac{2}{7} - \left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{3}{7} \)
Ако су бројеви задати у различитим записима (један у децималном, други као разломак), преводе се у исти запис. Ако децимални запис није коначан (нпр. \( \frac{1}{3} = 0{,}333\dots \)), оба броја морају се записати у облику разломка.
Особине сабирања:
- Комутативност: \( a + b = b + a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Неутрални елемент: \( a + 0 = a \)
- Супротни елемент: \( a + (-a) = 0 \)
Основне једначине са сабирањем и одузимањем:
- Непознати сабирак: \( x + a = b \implies x = b - a \)
- Непознати умањеник: \( x - a = b \implies x = b + a \)
- Непознати умањилац: \( a - x = b \implies x = a - b \)
Неједначине са непознатим умањиоцем:
Када је непозната у умањиоцу, знак неједнакости се окреће: \[ a - x < b \implies x > a - b \qquad \text{односно} \qquad a - x > b \implies x < a - b \]
Када је непозната у умањиоцу, знак неједнакости се окреће: \[ a - x < b \implies x > a - b \qquad \text{односно} \qquad a - x > b \implies x < a - b \]
Једначине и неједначине са апсолутним вредностима (\( a > 0 \)):
- \( |x| = a \iff x = a \;\text{ или }\; x = -a \) (за \( a < 0 \) нема решења)
- \( |x| < a \iff -a < x < a \)
- \( |x| > a \iff x > a \;\text{ или }\; x < -a \)
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Упореди бројеве:
а) \( -4{,}25 \) и \( -4{,}5 \)
б) \( -\dfrac{2}{3} \) и \( \dfrac{1}{6} \)
а) \( -4{,}25 \) и \( -4{,}5 \)
б) \( -\dfrac{2}{3} \) и \( \dfrac{1}{6} \)
а) Поредимо апсолутне вредности: \( |-4{,}25| = 4{,}25 \), а \( |-4{,}5| = 4{,}50 \). Пошто је \( 4{,}25 < 4{,}50 \), мања апсолутна вредност значи да је негативан број већи:
\[ -4{,}25 > -4{,}5 \]
б) Сваки позитиван број је већи од негативног броја, па је:
\[ -\frac{2}{3} < \frac{1}{6} \]
Задатак 2 (средњи): Израчунај вредност израза:
\[ -2\frac{1}{4} + 1{,}5 - \left(-\frac{3}{8}\right) \]
Преведимо све сабирке у разломке са заједничким имениоцем \( 8 \):
\( -2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4} = -\frac{18}{8} \)
\( 1{,}5 = \frac{3}{2} = \frac{12}{8} \)
\( -\left(-\frac{3}{8}\right) = +\frac{3}{8} \)
Сада сабирамо: \[ -\frac{18}{8} + \frac{12}{8} + \frac{3}{8} = \frac{-18 + 12 + 3}{8} = \frac{-3}{8} = -\frac{3}{8} \] Одговор: \( -\dfrac{3}{8} \) (или \( -0{,}375 \)).
\( -2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4} = -\frac{18}{8} \)
\( 1{,}5 = \frac{3}{2} = \frac{12}{8} \)
\( -\left(-\frac{3}{8}\right) = +\frac{3}{8} \)
Сада сабирамо: \[ -\frac{18}{8} + \frac{12}{8} + \frac{3}{8} = \frac{-18 + 12 + 3}{8} = \frac{-3}{8} = -\frac{3}{8} \] Одговор: \( -\dfrac{3}{8} \) (или \( -0{,}375 \)).
Задатак 3 (средњи): Аутомобил се креће равномерном брзином од \( 72\text{ km/h} \).
а) Изрази ову брзину у метрима у секунди (\( \text{m/s} \)).
б) Напиши формулу зависности пређеног пута \( s \) (у метрима) од времена \( t \) (у секундама).
а) Изрази ову брзину у метрима у секунди (\( \text{m/s} \)).
б) Напиши формулу зависности пређеног пута \( s \) (у метрима) од времена \( t \) (у секундама).
а) Како је \( 1\text{ km} = 1000\text{ m} \) и \( 1\text{ h} = 3600\text{ s} \):
\[ v = 72 \cdot \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}} = 72 \cdot \frac{5}{18}\text{ m/s} = 4 \cdot 5\text{ m/s} = 20\text{ m/s} \]
б) Пошто су пређени пут и време директно пропорционални (\( s = v \cdot t \)), формула гласи:
\[ s = 20 \cdot t \]
Задатак 4 (тежак): Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ \frac{3}{4} - x \ge 1{,}2 \]
Непозната \( x \) је умањилац, па се приликом изолације непознате знак неједнакости окреће:
\[ x \le \frac{3}{4} - 1{,}2 \]
Пребацимо у исти запис (децимални или разломке). Како је \( \frac{3}{4} = 0{,}75 \):
\[ x \le 0{,}75 - 1{,}2 \]
Одузимањем добијамо:
\[ x \le -(1{,}20 - 0{,}75) \implies x \le -0{,}45 \quad \left(\text{односно } x \le -\frac{9}{20}\right) \]
Одговор: Решење су сви рационални бројеви такви да је \( x \le -0{,}45 \).
