Најважније из лекције
- Квадратни корен (\( \sqrt{a} \)) је ненегативан број чији је квадрат једнак \( a \). Поткорена величина \( a \) мора бити већа или једнака нули. Пример: \( \sqrt{49} = 7 \).
- Једначина \( x^2 = a \) (за \( a > 0 \)) увек има два решења: \( x = \sqrt{a} \) и \( x = -\sqrt{a} \). Пример: \( x^2 = 49 \implies x = 7 \) или \( x = -7 \).
- Квадрат корена: \( (\sqrt{a})^2 = a \), за свако \( a \ge 0 \).
- Корен квадрата: \( \sqrt{a^2} = |a| \), за сваки реалан број \( a \). Ово значи да резултат кореновања неке вредности на квадрат никада није негативан. Пример: \( \sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10 \).
Када решавамо једначину облика \( x^2 = a \) (где је \( a \) дати реалан број, а \( x \) непозната), број решења зависи од знака броја \( a \).
- Ако је \( a > 0 \) (позитиван број), једначина има тачно два решења која су узајамно супротни реални бројеви (један позитиван, један негативан).
- Ако је \( a = 0 \), једначина има једно решење: \( x = 0 \).
- Ако је \( a < 0 \) (негативан број), једначина нема решења у скупу реалних бројева.
Примери:
- \( x^2 = 16 \implies x = 4 \) или \( x = -4 \)
- \( x^2 = 0 \implies x = 0 \)
- \( x^2 = -9 \implies \) нема реалних решења (јер квадрат ниједног реалног броја не може бити негативан).
Одреди решења једначине \( x^2 = \frac{25}{49} \).
Пошто је \( \frac{25}{49} > 0 \), једначина има два решења:
\[ x = \frac{5}{7} \quad \text{или} \quad x = -\frac{5}{7} \]
Нека је \( a \) ненегативан реалан број (\( a \ge 0 \)). Квадратни корен броја \( a \) је ненегативно решење једначине \( x^2 = a \).
Обележава се са \( \sqrt{a} \) и чита се „квадратни корен броја \( a \)”.
Процес одређивања корена ненегативног реалног броја назива се кореновање. Број испод корена називамо поткорена величина.
Квадратни корен из позитивног броја је увек позитиван број!
Иако једначина \( x^2 = 9 \) има два решења (\( 3 \) и \( -3 \)), квадратни корен \( \sqrt{9} \) је само број \( 3 \).
Табеларни приказ квадратног корена за различите бројеве:
| Број \( a \) | Квадратни корен \( \sqrt{a} \) | Објашњење |
|---|---|---|
| \( 25 \) | \( \sqrt{25} = 5 \) | Јер је \( 5^2 = 25 \) и \( 5 \ge 0 \) |
| \( 0,04 \) | \( \sqrt{0,04} = 0,2 \) | Јер је \( 0,2^2 = 0,04 \) и \( 0,2 \ge 0 \) |
| \( 0 \) | \( \sqrt{0} = 0 \) | Јер је \( 0^2 = 0 \) и \( 0 \ge 0 \) |
Једначина \( x^2 = a \) (за \( a \ge 0 \)) увек има решење у скупу реалних бројева \( \mathbb{R} \), али та решења могу припадати различитим скуповима бројева.
- Ако је број \( a \) квадрат неког рационалног броја (нпр. \( 4, \frac{9}{16}, 0.25 \)), решења једначине и сам квадратни корен су рационални бројеви.
- Ако број \( a \) није квадрат рационалног броја (нпр. \( 2, 3, 5 \)), решења једначине и квадратни корен су ирационални бројеви (нпр. \( \sqrt{2} \)). То значи да се не могу записати у облику разломка.
Да ли је \( \sqrt{81} \) рационалан или ирационалан број? А шта је са \( \sqrt{7} \)?
\( \sqrt{81} = 9 \), што је рационалан број (јер је \( 81 = 9^2 \)).
Број \( 7 \) није квадрат ниједног рационалног броја, па је \( \sqrt{7} \) ирационалан број.
Број \( 7 \) није квадрат ниједног рационалног броја, па је \( \sqrt{7} \) ирационалан број.
Постоје два веома важна правила која повезују квадрирање и кореновање, али се мора пазити на знак броја.
1. Квадрат корена
За сваки ненегативан реалан број \( a \) (\( a \ge 0 \)) важи: \[ (\sqrt{a})^2 = a \]
За сваки ненегативан реалан број \( a \) (\( a \ge 0 \)) важи: \[ (\sqrt{a})^2 = a \]
Пример: \( (\sqrt{7})^2 = 7 \); \( (\sqrt{0,5})^2 = 0,5 \).
2. Корен квадрата и апсолутна вредност
За сваки реалан број \( a \) (позитиван, негативан или нулу) важи: \[ \sqrt{a^2} = |a| \]
За сваки реалан број \( a \) (позитиван, негативан или нулу) важи: \[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Подсетимо се дефиниције апсолутне вредности:
\( |a| = a \), ако је \( a \) позитиван број или нула.
\( |a| = -a \), ако је \( a \) негативан број.
\( |a| = a \), ако је \( a \) позитиван број или нула.
\( |a| = -a \), ако је \( a \) негативан број.
Примери за корен квадрата:
- \( \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 \), што је исто што и \( |3| = 3 \).
- \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \), што је исто што и \( |-5| = 5 \).
Грешка коју треба избегавати: \( \sqrt{(-4)^2} \) није једнако \( -4 \). Резултат кореновања мора бити ненегативан, па је тачан одговор \( |-4| = 4 \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунај вредности следећих корена:
а) \( \sqrt{64} \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{100}} \)
в) \( \sqrt{1,44} \)
а) \( \sqrt{64} \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{100}} \)
в) \( \sqrt{1,44} \)
а) \( \sqrt{64} = 8 \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} \)
в) \( \sqrt{1,44} = 1,2 \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} \)
в) \( \sqrt{1,44} = 1,2 \)
Средњи ниво: Повежи једначине са њиховим решењима и израчунај одговарајући корен.
а) Реши једначину \( x^2 = 121 \).
б) Колико износи \( \sqrt{121} \)? Објасни разлику у односу на задатак под а).
а) Реши једначину \( x^2 = 121 \).
б) Колико износи \( \sqrt{121} \)? Објасни разлику у односу на задатак под а).
а) Једначина \( x^2 = 121 \) има два решења: \( x = 11 \) или \( x = -11 \).
б) Квадратни корен \( \sqrt{121} = 11 \).
Разлика: Једначина тражи све бројеве чији је квадрат 121 (и позитивне и негативне), док по дефиницији квадратни корен представља искључиво ненегативно решење те једначине.
б) Квадратни корен \( \sqrt{121} = 11 \).
Разлика: Једначина тражи све бројеве чији је квадрат 121 (и позитивне и негативне), док по дефиницији квадратни корен представља искључиво ненегативно решење те једначине.
Тежи ниво: Израчунај вредност следећег израза примењујући правила за квадрат корена и корен квадрата:
\[ \sqrt{(-8)^2} + (\sqrt{15})^2 - \sqrt{100 - 36} \]
\[ \sqrt{(-8)^2} + (\sqrt{15})^2 - \sqrt{100 - 36} \]
Решавамо део по део:
1. \( \sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8 \)
2. \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) (јер је \( 15 \ge 0 \))
3. За трећи део прво морамо да одузмемо бројеве под кореном: \( \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \). (Пажња: \( \sqrt{100 - 36} \neq \sqrt{100} - \sqrt{36} \))
Сада спајамо све у почетни израз:
\( 8 + 15 - 8 = 15 \)
1. \( \sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8 \)
2. \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) (јер је \( 15 \ge 0 \))
3. За трећи део прво морамо да одузмемо бројеве под кореном: \( \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \). (Пажња: \( \sqrt{100 - 36} \neq \sqrt{100} - \sqrt{36} \))
Сада спајамо све у почетни израз:
\( 8 + 15 - 8 = 15 \)
