I.4. Реални Бројеви - Задаци

Да бисмо одредили која од наведених једначина има решења у скупу рационалних бројева \( \mathbb{Q} \), потребно је да решимо сваку једначину појединачно и проверимо припадност решења скупу \( \mathbb{Q} \). Скуп \( \mathbb{Q} \) чине сви бројеви који се могу записати у облику разломка \( \frac{p}{q} \), где су \( p, q \in \mathbb{Z} \) и \( q \neq 0 \).

а) \( x^2 = 1 \)

Корак 1: Решавање једначине

Једначина облика \( x^2 = a \) за \( a > 0 \) има два решења: \( x = \sqrt{a} \) и \( x = -\sqrt{a} \). \[ x_1 = \sqrt{1} = 1 \] \[ x_2 = -\sqrt{1} = -1 \]

Корак 2: Провера припадности скупу \( \mathbb{Q} \)

Бројеви \( 1 \) и \( -1 \) су цели бројеви, а сваки цео број је истовремено и рационалан број (нпр. \( 1 = \frac{1}{1} \)). Дакле, \( 1, -1 \in \mathbb{Q} \). Закључак: Ова једначина има решења у скупу \( \mathbb{Q} \).

б) \( x^2 = \frac{16}{25} \)

Корак 1: Решавање једначине

Примењујемо правило кореновања разломка \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \): \[ x_1 = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} \] \[ x_2 = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = -\frac{4}{5} \]

Корак 2: Провера припадности скупу \( \mathbb{Q} \)

Добијена решења су разломци, што значи да по дефиницији припадају скупу рационалних бројева. Закључак: Ова једначина има решења у скупу \( \mathbb{Q} \).

в) \( x^2 = 0,01 \)

Корак 1: Решавање једначине

Децимални број \( 0,01 \) можемо записати као разломак \( \frac{1}{100} \): \[ x_1 = \sqrt{0,01} = 0,1 = \frac{1}{10} \] \[ x_2 = -\sqrt{0,01} = -0,1 = -\frac{1}{10} \]

Корак 2: Провера припадности скупу \( \mathbb{Q} \)

Сваки коначан децимални број се може претворити у разломак, па су \( 0,1 \) и \( -0,1 \) рационални бројеви. Закључак: Ова једначина има решења у скупу \( \mathbb{Q} \).

г) \( x^2 = -1 \)

Корак 1: Анализа једначине

Квадрат било ког реалног броја је увек ненегативан број (\( x^2 \ge 0 \)). Како је са десне стране једначине број \( -1 \), који је мањи од нуле, ова једначина нема решења у скупу реалних бројева (\( \mathbb{R} \)), па самим тим ни у скупу рационалних бројева (\( \mathbb{Q} \)). Закључак: Ова једначина нема решења у скупу \( \mathbb{Q} \).

д) \( x^2 = 2 \)

Корак 1: Решавање једначине

Решења једначине су: \[ x_1 = \sqrt{2} \] \[ x_2 = -\sqrt{2} \]

Корак 2: Провера припадности скупу \( \mathbb{Q} \)

Број \( \sqrt{2} \) је ирационалан број. То је број који се не може записати у облику разломка и има бесконачан непериодичан децимални запис. Дакле, \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \). Закључак: Ова једначина нема решења у скупу \( \mathbb{Q} \).

а) \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \in \mathbb{Q} \) б) \( x^2 = \frac{16}{25} \Rightarrow x = \pm \frac{4}{5} \in \mathbb{Q} \) в) \( x^2 = 0,01 \Rightarrow x = \pm 0,1 \in \mathbb{Q} \) г) \( x^2 = -1 \Rightarrow \) нема реалних решења д) \( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \) Одговор: а), б), в).