Најважније из лекције
Основни принципи конструкције помоћу Питагорине теореме:
• Ако је број облика збира квадрата: \( x = \sqrt{a^2 + b^2} \) конструише се као хипотенуза правоуглог троугла с катетама \( a \) и \( b \).
• Ако је број облика разлике квадрата: \( x = \sqrt{c^2 - a^2} \) конструише се као катета правоуглог троугла с хипотенузом \( c \) и катетом \( a \).
• На бројевној правој: За тачке облика \( p \pm \sqrt{q} \), конструише се дуж дужине \( \sqrt{q} \), игла шестара се поставља у тачку \( p \), а лук се преноси десно (за \( + \)) или лево (за \( - \)).
• Ако је број облика збира квадрата: \( x = \sqrt{a^2 + b^2} \) конструише се као хипотенуза правоуглог троугла с катетама \( a \) и \( b \).
• Ако је број облика разлике квадрата: \( x = \sqrt{c^2 - a^2} \) конструише се као катета правоуглог троугла с хипотенузом \( c \) и катетом \( a \).
• На бројевној правој: За тачке облика \( p \pm \sqrt{q} \), конструише се дуж дужине \( \sqrt{q} \), игла шестара се поставља у тачку \( p \), а лук се преноси десно (за \( + \)) или лево (за \( - \)).
Питагорин пуж је низ правоуглих троуглова који се надовезују један на други, омогућавајући конструкцију дужи чије су дужине квадратни корени узастопних природних бројева (\( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4} \dots \)).
Први правоугли троугао има обе катете дужине \( 1 \). Његова хипотенуза је \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Сваки следећи троугао користи хипотенузу претходног као једну катету, док му је друга катета увек дужине \( 1 \).
Ако последњи конструисани троугао у Питагорином пужу има хипотенузу дужине \( \sqrt{7} \), колике ће бити дужине катета следећег правоуглог троугла у низу и колика ће бити његова хипотенуза?
Одговор: Катете следећег троугла биће \( \sqrt{7} \) (хипотенуза претходног) и \( 1 \). Његова хипотенуза биће \( \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 1^2} = \sqrt{7 + 1} = \sqrt{8} \).
Када треба конструисати дуж чија је дужина квадратни корен збира два квадрата (\( \sqrt{a^2 + b^2} \)), конструишемо је као хипотенузу правоуглог троугла чије су катете \( a \) и \( b \).
Конструиши прав угао.
На једном краку угла одмери дуж дужине \( a \), а на другом краку дуж дужине \( b \).
Спој добијене тачке. Добијена дуж (хипотенуза) има дужину \( \sqrt{a^2 + b^2} \).
Објасни како би конструисао дуж дужине \( \sqrt{5} \) cm користећи природне бројеве.
Одговор: Како је \( 5 = 2^2 + 1^2 \), конструисаћемо правоугли троугао чије су катете \( 2 \) cm и \( 1 \) cm. Дужина хипотенузе тог троугла биће тачно \( \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \) cm.
Када треба конструисати дуж чија је дужина квадратни корен разлике два квадрата (\( \sqrt{c^2 - a^2} \)), при чему је \( c > a \), конструишемо је као катету правоуглог троугла чија је хипотенуза \( c \) и друга катета \( a \).
Конструиши прав угао са теменом \( O \).
На једном краку одмери дуж дужине \( a \) до тачке \( A \).
Из тачке \( A \) опиши кружни лук полупречника \( c \) који сече други крак правог угла у тачки \( C \).
Дуж \( OC \) је друга катета и њена дужина износи \( \sqrt{c^2 - a^2} \).
Објасни како би конструисао дуж дужине \( \sqrt{3} \) cm користећи једнакост \( (\sqrt{3})^2 = 2^2 - 1^2 \).
Одговор: Конструисаћемо правоугли троугао са правим углом у темену \( O \). На један крак нанесемо катету дужине \( 1 \) cm. Из крајње тачке те катете шестаром нанесемо хипотенузу дужине \( 2 \) cm тако да пресече други крак. Добијена (друга) катета имаће дужину \( \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} \) cm.
Сваки ирационалан број облика \( \sqrt{x} \), \( -\sqrt{x} \), или \( a \pm \sqrt{x} \) може се приказати на бројевној правој тако што се прво конструише дуж дужине \( \sqrt{x} \), а затим се њена дужина пренесе шестаром на бројевну праву.
Центар кружног лука: Ако конструишемо број \( \pm\sqrt{x} \), игла шестара се ставља у координатни почетак (тачку \( 0 \)). Ако конструишемо број облика \( a \pm \sqrt{x} \), игла шестара се ставља у тачку која одговара броју \( a \).
Смер наношења: За знак \( + \) (сабирање) лук сече осу са десне стране од центра, а за знак \( - \) (одузимање) са леве стране.
Ако желиш да конструишеш тачку која одговара броју \( 1 - \sqrt{2} \), у коју тачку на бројевној правој ћеш забости иглу шестара и на коју страну ћеш пренети дужину \( \sqrt{2} \)?
Одговор: Иглу шестара ћу забости у тачку која одговара броју \( 1 \), а конструисану дужину \( \sqrt{2} \) ћу пренети на леву страну, јер је у питању одузимање (\( - \)).
Задаци за вежбање
Лак: Како ћеш конструисати дуж чија је дужина \( \sqrt{10} \)?
Приметимо да је \( 10 = 9 + 1 = 3^2 + 1^2 \).
Одговор: Дуж дужине \( \sqrt{10} \) ћемо конструисати као хипотенузу правоуглог троугла чије су катете дужине \( 3 \) и \( 1 \).
Одговор: Дуж дужине \( \sqrt{10} \) ћемо конструисати као хипотенузу правоуглог троугла чије су катете дужине \( 3 \) и \( 1 \).
Средњи: На бројевној правој дата је тачка \( A \) која одговара броју \( -2 \). Из тачке \( A \) описан је кружни лук полупречника \( \sqrt{5} \). Којим бројевима одговарају пресеци овог лука са бројевном правом?
Пошто је центар лука у тачки \( -2 \), а полупречник је \( \sqrt{5} \), пресеци се налазе на удаљености \( \sqrt{5} \) лево и десно од броја \( -2 \).
Одговор: Пресеци одговарају бројевима \( -2 - \sqrt{5} \) (лева тачка) и \( -2 + \sqrt{5} \) (десна тачка).
Одговор: Пресеци одговарају бројевима \( -2 - \sqrt{5} \) (лева тачка) и \( -2 + \sqrt{5} \) (десна тачка).
Тежак: Ученик је конструисао бројевну праву. Затим је конструисао правоугли троугао чија је једна катета на бројевној правој од тачке \( 4 \) до тачке \( 7 \), а друга катета је нормална на осу и њена дужина је \( 2 \). Затим је дужину хипотенузе пренео шестаром из тачке \( 7 \) на леву страну бројевне праве у тачку \( M \). Који број одговара тачки \( M \)?
Прво рачунамо дужину прве катете: \( 7 - 4 = 3 \). Друга катета је \( 2 \).
Хипотенуза \( c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \).
Ова дужина је шестаром пренета из тачке \( 7 \) улево, што значи да од \( 7 \) одузимамо \( \sqrt{13} \).
Одговор: Тачки \( M \) одговара број \( 7 - \sqrt{13} \).
Хипотенуза \( c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \).
Ова дужина је шестаром пренета из тачке \( 7 \) улево, што значи да од \( 7 \) одузимамо \( \sqrt{13} \).
Одговор: Тачки \( M \) одговара број \( 7 - \sqrt{13} \).
