I.3. Сличност троуглова

Шта се тражи

Са слике 3.13 треба, на основу датих углова и страница, испитати да ли су троуглови у сваком од четири пара слични. Користимо ставове о сличности: УУ (два једнака угла), СУС (две пропорционалне странице и једнак угао између њих) и ССС (три пропорционалне странице).

а) \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \) — став УУ

Са слике очитавамо углове троугла \( ABC \): \( \angle C = 20^\circ \) и \( \angle A = 120^\circ \). Трећи угао је \[ \angle B = 180^\circ - (20^\circ + 120^\circ) = 40^\circ. \] За троугао \( A_1B_1C_1 \) очитавамо \( \angle C_1 = 20^\circ \) и \( \angle A_1 = 40^\circ \), па је \[ \angle B_1 = 180^\circ - (20^\circ + 40^\circ) = 120^\circ. \] Оба троугла имају исти скуп углова \( \{20^\circ,\ 40^\circ,\ 120^\circ\} \). Пошто се два угла једног троугла поклапају са два угла другог, на основу става УУ троуглови су слични.
(Одговарајући једнаки углови су \( \angle C = \angle C_1 = 20^\circ \), \( \angle A = \angle B_1 = 120^\circ \), \( \angle B = \angle A_1 = 40^\circ \), тј. пресликавање је \( A\!\to\!B_1,\ B\!\to\!A_1,\ C\!\to\!C_1 \).)
Тврђење је тачно.

б) \( \Delta DEF \) и \( \Delta D_1E_1F_1 \) — став СУС

Са слике: у већем троуглу је угао при темену \( F \) једнак \( 60^\circ \), а странице које га образују су \[ EF = 2, \qquad FD = 4. \] У мањем троуглу је угао при темену \( F_1 \) такође \( 60^\circ \), а странице које га образују су \[ E_1F_1 = 1, \qquad F_1D_1 = 2. \] Дакле, углови између посматраних страница су једнаки: \( \angle F = \angle F_1 = 60^\circ \), а односи одговарајућих страница су \[ \frac{EF}{E_1F_1} = \frac{2}{1} = 2, \qquad \frac{FD}{F_1D_1} = \frac{4}{2} = 2. \] Пошто су ови односи једнаки \( \left( \dfrac{EF}{E_1F_1} = \dfrac{FD}{F_1D_1} = 2 \right) \) и угао између тих страница је једнак, на основу става СУС троуглови су слични.
Тврђење је тачно.

в) \( \Delta SMN \) и \( \Delta S_1M_1N_1 \) — став УУ

На слици је у оба троугла означен по један угао од \( 40^\circ \), а још један пар углова означен је истом (двоструком) ознаком, што значи да су и ти углови међусобно једнаки. Тако сваки од троуглова има два угла једнака одговарајућим угловима другог троугла, па су, на основу става УУ, троуглови слични.
Тврђење је тачно.

г) \( \Delta GHJ \) и \( \Delta G_1H_1J_1 \) — став УУ

У сваком од ова два троугла означена су по два угла од \( 60^\circ \). Тада је и трећи угао \[ 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ, \] па су оба троугла једнакострана (сви углови по \( 60^\circ \)). Како се њихови углови подударају, на основу става УУ троуглови су слични.
Тврђење је тачно.

Закључак

У сваком од четири пара троуглови су слични, па су тачна сва тврђења: а), б), в) и г).

Сви парови су слични (а) и в): УУ; б): СУС са \( 2{:}1=4{:}2 \); г): једнакострани), па су тачна сва тврђења — а), б), в) и г).