III.2. Еквивалентне трансформације једначина. Линеарна једначина с једном непознатом

Да бисмо одредили скупове решења и утврдили еквивалентност, решићемо сваку једначину појединачно. Еквивалентне једначине су оне које имају исти скуп решења.

а) \( 2 \cdot x = 0 \)

Корак 1: Решавање једначине

Делимо обе стране једначине бројем \( 2 \): \[ x = 0 : 2 \] \[ x = 0 \] Скуп решења је \( R_a = \{0\} \).

б) \( 0 \cdot x = 2 \)

Корак 1: Анализа једначине

Ово је једначина облика \( 0 \cdot x = b \), где је \( b \neq 0 \). Како је производ било ког броја и нуле увек нула, не постоји реалан број \( x \) такав да је \( 0 = 2 \). Скуп решења је празан скуп: \( R_b = \emptyset \).

в) \( 0 \cdot x = 0 \)

Корак 1: Анализа једначине

Ово је једначина облика \( 0 \cdot x = 0 \). Било који реалан број помножен нулом даје нулу, што значи да је ова једнакост тачна за свако \( x \). Скуп решења је скуп свих реалних бројева: \( R_v = \mathbb{R} \).

г) \( \frac{4}{5} \cdot x = 0 \)

Корак 1: Решавање једначине

Множимо обе стране реципрочном вредношћу \( \frac{5}{4} \): \[ x = 0 \cdot \frac{5}{4} \] \[ x = 0 \] Скуп решења је \( R_g = \{0\} \).

д) \( \sqrt{2} \cdot x = 0 \)

Корак 1: Решавање једначине

Делимо обе стране са \( \sqrt{2} \): \[ x = 0 : \sqrt{2} \] \[ x = 0 \] Скуп решења је \( R_d = \{0\} \).

ђ) \( 0 \cdot x = 7,8 \)

Корак 1: Анализа једначине

Слично као у примеру под б), лева страна је увек \( 0 \), а десна \( 7,8 \). Једнакост \( 0 = 7,8 \) никада није тачна. Скуп решења је празан скуп: \( R_{đ} = \emptyset \).

Закључак о еквивалентности

Еквивалентне су једначине које имају идентичне скупове решења: 1. Једначине а), г) и д) су еквивалентне јер им је скуп решења \( \{0\} \). 2. Једначине б) и ђ) су еквивалентне јер им је скуп решења \( \emptyset \) (немају решења). Једначина в) није еквивалентна ниједној другој јер је њено решење цео скуп \( \mathbb{R} \).

а) \( 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \), \( R_a = \{0\} \) б) \( 0x = 2 \Rightarrow 0 = 2 \), \( R_b = \emptyset \) в) \( 0x = 0 \Rightarrow 0 = 0 \), \( R_v = \mathbb{R} \) г) \( \frac{4}{5}x = 0 \Rightarrow x = 0 \), \( R_g = \{0\} \) д) \( \sqrt{2}x = 0 \Rightarrow x = 0 \), \( R_d = \{0\} \) ђ) \( 0x = 7,8 \Rightarrow 0 = 7,8 \), \( R_{đ} = \emptyset \) Еквивалентне су: (а, г, д) и (б, ђ).