Најважније из лекције
Неједначина је запис облика \( L < D \), \( L > D \), \( L \le D \) или \( L \ge D \), где бар један од израза \( L \) (лева страна) и \( D \) (десна страна) садржи променљиву. Домен неједначине је пресек домена израза \( L \) и \( D \) (дељење нулом се не уводи). Решење неједначине с једном непознатом је сваки број из домена за који неједнакост постаје тачна, а скуп решења \( R_c \) садржи сва решења — може бити \( \varnothing \), неки интервал или цео \( R \). На бројевној правој строгу границу (\( < \), \( > \)) приказујемо отвореним кружићем, а границу која се узима (\( \le \), \( \ge \)) попуњеним кружићем. Две неједначине су еквивалентне ако имају једнаке скупове решења.
Нека су \( L \) и \( D \) изрази, од којих бар један садржи једну или више променљивих. Тада су записи \( L < D \), \( L > D \), \( L \le D \) и \( L \ge D \) неједначине.
Израз \( L \) зове се лева страна неједначине, а израз \( D \) десна страна неједначине. Неједначина је с једном променљивом (непознатом) ако су \( L \) и \( D \) изрази с највише једном истом променљивом.
Пример 4.1.
- \( x < 3 \) — неједначина с једном променљивом \( x \);
- \( 2y > 0{,}3 \) — неједначина с једном променљивом \( y \);
- \( 0 \le z - \sqrt{3} \) — неједначина с једном променљивом \( z \);
- \( x \ge y + 1 \) — неједначина с две променљиве \( x \) и \( y \).
У наставку разматрамо само неједначине с једном непознатом.
Домен или област дефинисаности неједначине с једном непознатом јесте пресек домена израза \( L \) и израза \( D \).
Подсети се: дељење нулом се не уводи. Зато, ако се непозната налази у имениоцу, из домена се искључује вредност за коју је именилац једнак нули.
Пример 4.2.
| Неједначина | Домен |
|---|---|
| \( x + 3 > 1 \) | \( R \) |
| \( \dfrac{x}{3} < 1 \) | \( R \) |
| \( \dfrac{1}{x} \ge 3 \) | \( R \setminus \{0\} \) |
| \( \dfrac{0}{x} \le -3 \) | \( R \setminus \{0\} \) |
Решење неједначине \( L < D \) с једном непознатом јесте сваки реалан број из домена за који је неједнакост \( L < D \) тачна ако се вредност непознате замени тим бројем. На исти начин уводи се решење неједначина \( L > D \), \( L \le D \) и \( L \ge D \).
Пример 4.3.
- Број \( 1 \) јесте решење неједначине \( x + 2 < 5 \), јер је неједнакост \( 1 + 2 < 5 \) тачна.
- Број \( 0 \) јесте решење неједначине \( 0 \ge 2 \cdot x \), јер је неједнакост \( 0 \ge 2 \cdot 0 \) тачна.
- Неједначина \( 0 \cdot x > 5 \) нема решења: не постоји реалан број \( t \) за који би \( 0 \cdot t > 5 \) било тачно, јер је \( 0 \cdot t = 0 \), а \( 0 \) није веће од \( 5 \).
Скуп решења неједначине с једном непознатом јесте скуп чији су елементи сва решења те неједначине.
Скуп решења обележава се са \( R_c \). Он може бити празан скуп \( \varnothing \), неки интервал или цео скуп реалних бројева \( R \). Решити неједначину значи одредити скуп њених решења.
Ако је \( a \) реалан број, најчешћи интервали и њихови графички прикази на бројевној правој су:
- \( (a, +\infty) \) — сви реални бројеви \( x \) такви да је \( x > a \) (тачка \( a \) се не узима — отворени кружић);
- \( [a, +\infty) \) — сви реални бројеви \( x \) такви да је \( x \ge a \) (тачка \( a \) се узима — попуњени кружић);
- \( (-\infty, a) \) — сви реални бројеви \( x \) такви да је \( x < a \);
- \( (-\infty, a] \) — сви реални бројеви \( x \) такви да је \( x \le a \).
Пример 4.4 (Табела 4.1).
| Неједначина | Скуп решења \( R_c \) | Опис |
|---|---|---|
| \( x < 1 \) | \( (-\infty, 1) \) | сви реални бројеви мањи од \( 1 \) |
| \( x > 1 \) | \( (1, +\infty) \) | сви реални бројеви већи од \( 1 \) |
| \( x \le 1 \) | \( (-\infty, 1] \) | сви реални бројеви мањи од или једнаки \( 1 \) |
| \( x \ge 1 \) | \( [1, +\infty) \) | сви реални бројеви већи од или једнаки \( 1 \) |
Две неједначине с једном непознатом јесу еквивалентне ако имају једнаке скупове решења.
Пример 4.5.
- \( x \cdot 0 \le 0 \) и \( x \cdot 0 \ge 0 \) јесу еквивалентне — скуп решења сваке је \( R_c = R \) (јер је \( x \cdot 0 = 0 \), а \( 0 \le 0 \) и \( 0 \ge 0 \) су увек тачне).
- \( x \ge 0 \) и \( x^2 \ge 0 \) нису еквивалентне: скуп решења неједначине \( x \ge 0 \) чине сви ненегативни реални бројеви, а скуп решења неједначине \( x^2 \ge 0 \) чине сви реални бројеви.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Испитај да ли је број \( 0 \) решење неједначине \( \dfrac{x}{7} \le 0 \).
Замењујемо непознату \( x \) бројем \( 0 \):
\[ \frac{0}{7} \le 0 \quad\Rightarrow\quad 0 \le 0. \]
Неједнакост \( 0 \le 0 \) је тачна, па број \( 0 \) припада домену (\( x \) је у бројиоцу, именилац \( 7 \ne 0 \)) и јесте решење.
Одговор: Да, број \( 0 \) јесте решење неједначине.
Одговор: Да, број \( 0 \) јесте решење неједначине.
Средњи задатак: Одреди скуп решења неједначине \( x \le 1 \), а затим неједначине \( 0 \cdot x < 0 \). Да ли су ове две неједначине еквивалентне?
За \( x \le 1 \) скуп решења су сви реални бројеви мањи од или једнаки \( 1 \):
\[ R_c = (-\infty,\, 1]. \]
За \( 0 \cdot x < 0 \): производ \( 0 \cdot x \) увек је \( 0 \), а \( 0 < 0 \) није тачно ни за један реалан број, па
\[ R_c = \varnothing. \]
Скупови решења нису једнаки (\( (-\infty,1] \ne \varnothing \)).
Одговор: Неједначине нису еквивалентне.
Одговор: Неједначине нису еквивалентне.
Тежак задатак: Дата је реченица: Особа је пунолетна ако број њених година \( b \) није мањи од \( 18 \). Запиши неједначину која одговара реченици, наведи њен скуп решења и графички га прикажи на бројевној правој.
„Није мањи од \( 18 \)” значи да је \( b \) веће од или једнако \( 18 \), па је неједначина:
\[ b \ge 18. \]
Скуп решења (број година је реалан број из домена задатка) јесте интервал:
\[ R_c = [18,\, +\infty). \]
На бројевној правој тачку \( 18 \) узимамо (попуњени кружић, јер важи и једнакост), а зрак иде удесно:
Одговор: \( b \ge 18 \); \( R_c = [18, +\infty) \).
