III.5. Еквивалентне трансформације неједначина. Линеарна неједначина с једном непознатом

Да бисмо одредили скупове решења ових линеарних неједначина, користићемо еквивалентне трансформације: правило додавања истог броја обема странама и правило множења/дељења позитивним или негативним бројем.

а) \( x + 7 < -5 \)

Одузећемо 7 са обе стране неједначине како бисмо изоловали непознату \( x \): \[ x < -5 - 7 \] \[ x < -12 \] Скуп решења је интервал \( x \in (-\infty, -12) \).

б) \( \frac{4}{3} - x > \frac{2}{3} \)

Прво ћемо одузети \( \frac{4}{3} \) са обе стране: \[ -x > \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \] \[ -x > -\frac{2}{3} \] Множимо обе стране са \( -1 \), при чему се смер знака неједнакости мења: \[ x < \frac{2}{3} \] Скуп решења је интервал \( x \in (-\infty, \frac{2}{3}) \).

в) \( -0,5 - x \le -2,5 \)

Додајемо 0,5 обема странама: \[ -x \le -2,5 + 0,5 \] \[ -x \le -2,0 \] Множимо са \( -1 \) и мењамо смер знака: \[ x \ge 2 \] Скуп решења је интервал \( x \in [2, +\infty) \).

г) \( \sqrt{2} + x \ge -3\sqrt{2} \)

Одузимамо \( \sqrt{2} \) са обе стране: \[ x \ge -3\sqrt{2} - \sqrt{2} \] \[ x \ge -4\sqrt{2} \] Скуп решења је интервал \( x \in [-4\sqrt{2}, +\infty) \).

д) \( -0,5 \cdot y \le 2,5 \)

Делимо обе стране са \( -0,5 \). Пошто је број којим делимо негативан, смер знака се мења: \[ y \ge 2,5 : (-0,5) \] \[ y \ge -5 \] Скуп решења је интервал \( y \in [-5, +\infty) \).

ђ) \( -\sqrt{3} \cdot v > \sqrt{3} \)

Делимо обе стране са \( -\sqrt{3} \) и мењамо смер знака неједнакости: \[ v < \frac{\cancel{\sqrt{3}}^1}{-\cancel{\sqrt{3}}_1} \] \[ v < -1 \] Скуп решења је интервал \( v \in (-\infty, -1) \).

е) \( \frac{1}{5} - 4t \ge 1 \)

Одузимамо \( \frac{1}{5} \) са обе стране: \[ -4t \ge 1 - \frac{1}{5} \] \[ -4t \ge \frac{4}{5} \] Делимо са \( -4 \) и мењамо смер знака: \[ t \le \frac{4}{5} : (-4) \] \[ t \le \frac{\cancel{4}^1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{\cancel{4}_1}\right) \] \[ t \le -\frac{1}{5} \] Скуп решења је интервал \( t \in (-\infty, -\frac{1}{5}] \).

ж) \( -0,7 + 3a \le -0,1 \)

Додајемо 0,7 обема странама: \[ 3a \le -0,1 + 0,7 \] \[ 3a \le 0,6 \] Делимо са 3: \[ a \le 0,6 : 3 \] \[ a \le 0,2 \] Скуп решења је интервал \( a \in (-\infty, 0,2] \).

з) \( 1\frac{1}{4} - 0,5b > \frac{1}{2} \)

Претворимо све у децимални запис (\( 1\frac{1}{4} = 1,25 \); \( \frac{1}{2} = 0,5 \)): \[ 1,25 - 0,5b > 0,5 \] Одузимамо 1,25 са обе стране: \[ -0,5b > 0,5 - 1,25 \] \[ -0,5b > -0,75 \] Делимо са \( -0,5 \) и мењамо смер знака: \[ b < (-0,75) : (-0,5) \] \[ b < 7,5 : 5 \] \[ b < 1,5 \] Скуп решења је интервал \( b \in (-\infty, 1,5) \).

а) \( x < -12 \); б) \( x < \frac{2}{3} \); в) \( x \ge 2 \); г) \( x \ge -4\sqrt{2} \); д) \( y \ge -5 \); ђ) \( v < -1 \); е) \( t \le -\frac{1}{5} \); ж) \( a \le 0,2 \); з) \( b < 1,5 \).