Најважније из лекције
- Примена неједначина: текстуалне задатке решавамо у шест корака — одреди познато, уведи непознату \( x \), формирај неједначину, реши је, провери и одговори.
- Еквивалентне трансформације: истом броју можемо додати/одузети на обе стране (знак се не мења); множење или дељење позитивним бројем не мења знак.
- Кључно правило: при множењу или дељењу негативним бројем знак неједнакости се окреће (нпр. \( -5t \ge -20 \Rightarrow t \le 4 \)).
- Скуп решења: решење је скуп бројева; на бројевној правој гранична тачка је ○ (празан кружић) за \( <,\, > \) и ● (пун кружић) за \( \le,\, \ge \).
- Реалан услов: дужине, време и број предмета траже додатни услов \( x > 0 \) или \( x \ge 0 \).
Многи текстуални (примењени) задаци се своде на решавање линеарне неједначине с једном непознатом. При томе је пожељно да пратиш ових шест корака:
- Одреди које су величине познате.
- Одреди непознату величину и уведи ознаку за њу (нпр. \( x \)).
- Формирај одговарајућу неједначину (или више њих) из услова задатка.
- Реши неједначину (или неједначине).
- Провери да ли добијена решења одговарају условима задатка.
- Одговори на питање постављено у задатку.
Често се уз главну неједначину јавља и додатни услов (нпр. \( x > 0 \) или \( x \ge 0 \)) јер дужина, време, број предмета и слично не могу бити негативни.
Неједначину решавамо тако што је постепено сводимо на једноставнију еквивалентну неједначину (која има исти скуп решења), користећи следећа правила.
Правило додавања. Ако се и левој и десној страни неједначине дода (или одузме) исти број или израз, добија се неједначина еквивалентна датој. Знак неједнакости се не мења.
Правило множења позитивним бројем. Ако се и лева и десна страна неједначине помноже (или поделе) истим позитивним бројем, добија се еквивалентна неједначина. Знак неједнакости се не мења.
Правило множења негативним бројем. Ако се и лева и десна страна неједначине помноже (или поделе) истим негативним бројем, знак неједнакости се мења у супротан: \( < \) прелази у \( > \), \( > \) у \( < \), \( \le \) у \( \ge \), а \( \ge \) у \( \le \).
Реши: \( -5t \le -5 \).
Делимо обе стране са \( -5 \) (негативан број), па окрећемо знак: \[ -5t \le -5 \;\; / : (-5) \] \[ t \ge 1 \] Пази: да смо заборавили да окренемо знак, добили бисмо погрешно \( t \le 1 \).
Делимо обе стране са \( -5 \) (негативан број), па окрећемо знак: \[ -5t \le -5 \;\; / : (-5) \] \[ t \ge 1 \] Пази: да смо заборавили да окренемо знак, добили бисмо погрешно \( t \le 1 \).
Решење линеарне неједначине није један број, већ читав скуп бројева (нпр. сви \( x \) за које важи \( x < 9 \)). Тај скуп можемо приказати на бројевној правој.
На бројевној правој обележавамо гранични број и зрак у одговарајућем смеру:
- код строгих неједнакости (\( < \) или \( > \)) гранична тачка се не укључује — цртамо је као празан кружић (○);
- код неједнакости \( \le \) или \( \ge \) гранична тачка се укључује — цртамо је као пун кружић (●);
- зрак засенчимо у смеру у ком се крећу решења (лево за \( < \) и \( \le \), десно за \( > \) и \( \ge \)).
Пример: скуп решења неједначине \( x \le 4 \) јесу сви бројеви који нису већи од \( 4 \) — то је зрак који полази од пуне тачке \( 4 \) и иде улево (види слику доле у средњем задатку).
Мартин је замислио један број. Тај број је помножио бројем \( 5 \), затим добијени производ умањио за \( 8 \) и добио број који је мањи од \( 37 \). Који је број Мартин замислио?
1. Познато: замишљени број је помножен са \( 5 \); производ умањен за \( 8 \) даје број мањи од \( 37 \).
2. Нека је \( x \) број који је Мартин замислио.
3. Одговарајућа неједначина: \( 5x - 8 < 37 \).
4. Решавамо: \[ 5x - 8 < 37 \;\; / +8 \] \[ 5x < 45 \;\; / :5 \] \[ x < 9 \] 5. За свако \( x < 9 \) важи \( 5x - 8 < 37 \).
6. Мартин је замислио број који је мањи од \( 9 \).
2. Нека је \( x \) број који је Мартин замислио.
3. Одговарајућа неједначина: \( 5x - 8 < 37 \).
4. Решавамо: \[ 5x - 8 < 37 \;\; / +8 \] \[ 5x < 45 \;\; / :5 \] \[ x < 9 \] 5. За свако \( x < 9 \) важи \( 5x - 8 < 37 \).
6. Мартин је замислио број који је мањи од \( 9 \).
Задаци за вежбање
Лак: Дужина једне странице правоугаоника је \( 36 \text{ m} \). Колика може да буде дужина друге странице да обим тог правоугаоника не буде већи од \( 200 \text{ m} \)?
Познато: једна страница је \( 36 \text{ m} \); обим није већи од \( 200 \text{ m} \) (значи \( \le 200 \)).
Непозната: дужина друге странице; нека је то \( x \) метара, при чему је \( x > 0 \).
Обим правоугаоника је \( 2 \cdot 36 + 2x \), па је неједначина: \[ 2 \cdot 36 + 2x \le 200 \] \[ 72 + 2x \le 200 \;\; / -72 \] \[ 2x \le 128 \;\; / :2 \] \[ x \le 64 \] Уз услов \( x > 0 \) добијамо \( 0 < x \le 64 \).
Одговор: Друга страница може бити већа од \( 0 \), а мања или једнака \( 64 \text{ m} \).
Непозната: дужина друге странице; нека је то \( x \) метара, при чему је \( x > 0 \).
Обим правоугаоника је \( 2 \cdot 36 + 2x \), па је неједначина: \[ 2 \cdot 36 + 2x \le 200 \] \[ 72 + 2x \le 200 \;\; / -72 \] \[ 2x \le 128 \;\; / :2 \] \[ x \le 64 \] Уз услов \( x > 0 \) добијамо \( 0 < x \le 64 \).
Одговор: Друга страница може бити већа од \( 0 \), а мања или једнака \( 64 \text{ m} \).
Средњи: Аутомобил се кретао брзином \( 72 \text{ km/h} \) када је возач почео да кочи, и даље се кретао равномерно успорено успорењем \( 5 \text{ m/s}^2 \) док се није зауставио. Брзина \( t \) секунди после почетка кочења износи \( (20 - 5t) \text{ m/s} \). Одреди све тренутке \( t \) у којима је брзина још увек ненегативна, тј. реши неједначину \( 20 - 5t \ge 0 \) и прикажи скуп решења на бројевној правој.
Полазна брзина \( 72 \text{ km/h} = \dfrac{72\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = 20 \text{ m/s} \), а успорење \( 5 \text{ m/s}^2 \), па је брзина после \( t \) секунди \( v = (20 - 5t) \text{ m/s} \).
Тражимо кад је брзина ненегативна: \[ 20 - 5t \ge 0 \;\; / -20 \] \[ -5t \ge -20 \;\; / :(-5) \] Делимо негативним бројем \( -5 \), па окрећемо знак: \[ t \le 4 \] Уз услов \( t \ge 0 \) добијамо \( 0 \le t \le 4 \).
Одговор: Брзина је ненегативна за све тренутке \( t \le 4 \) секунде (аутомобил се зауставио у \( t = 4 \text{ s} \)). Скуп решења \( t \le 4 \) приказан је на бројевној правој — пуна тачка у \( 4 \) и зрак улево:
Тражимо кад је брзина ненегативна: \[ 20 - 5t \ge 0 \;\; / -20 \] \[ -5t \ge -20 \;\; / :(-5) \] Делимо негативним бројем \( -5 \), па окрећемо знак: \[ t \le 4 \] Уз услов \( t \ge 0 \) добијамо \( 0 \le t \le 4 \).
Одговор: Брзина је ненегативна за све тренутке \( t \le 4 \) секунде (аутомобил се зауставио у \( t = 4 \text{ s} \)). Скуп решења \( t \le 4 \) приказан је на бројевној правој — пуна тачка у \( 4 \) и зрак улево:
Тежак: Од комада жице дужине \( 91 \text{ cm} \) исечена су три дела. Други део је за \( 3 \text{ cm} \) дужи од првог, а трећи део је два пута дужи од првог. Други део је најмање \( 5 \text{ cm} \) краћи од трећег дела, а први део је најкраћи. Колика може да буде дужина најкраћег дела жице?
Непозната: нека је дужина првог (најкраћег) дела \( x \) cm.
Тада је други део \( (x + 3) \) cm, а трећи део \( 2x \) cm.
Услов 1 (збир делова није већи од целог комада): \[ x + (x + 3) + 2x \le 91 \] \[ 4x + 3 \le 91 \;\; / -3 \] \[ 4x \le 88 \;\; / :4 \] \[ x \le 22 \] Услов 2 (други део је најмање \( 5 \text{ cm} \) краћи од трећег, тј. трећи је најмање \( 5 \) већи од другог): \[ 2x \ge (x + 3) + 5 \] \[ 2x \ge x + 8 \;\; / -x \] \[ x \ge 8 \] Из оба услова: \( 8 \le x \le 22 \).
Одговор: Дужина најкраћег (првог) дела жице је већа од или једнака \( 8 \text{ cm} \) и мања од или једнака \( 22 \text{ cm} \), тј. \( 8 \text{ cm} \le x \le 22 \text{ cm} \).
Тада је други део \( (x + 3) \) cm, а трећи део \( 2x \) cm.
Услов 1 (збир делова није већи од целог комада): \[ x + (x + 3) + 2x \le 91 \] \[ 4x + 3 \le 91 \;\; / -3 \] \[ 4x \le 88 \;\; / :4 \] \[ x \le 22 \] Услов 2 (други део је најмање \( 5 \text{ cm} \) краћи од трећег, тј. трећи је најмање \( 5 \) већи од другог): \[ 2x \ge (x + 3) + 5 \] \[ 2x \ge x + 8 \;\; / -x \] \[ x \ge 8 \] Из оба услова: \( 8 \le x \le 22 \).
Одговор: Дужина најкраћег (првог) дела жице је већа од или једнака \( 8 \text{ cm} \) и мања од или једнака \( 22 \text{ cm} \), тј. \( 8 \text{ cm} \le x \le 22 \text{ cm} \).
