Која су од датих правила придруживања функције директне пропорционалности, а која линеарне функције? а) $ y = 3x $; б) $ y = -\sqrt{5}x - 3,4 $; в) $ y = 2x - 5 $; г) $ y = -4x $; д) $ y = x^2 $; ђ) $ x + y + 1 = 0 $; е) $ x - y = 0 $; ж) $ y = 13 $.

Дефиниција линеарне функције и директне пропорционалности Да бисмо класификовали дате функције, користимо следеће дефиниције: - Линеарна функција је функција облика $ y = kx + n $, где су $ k $ (коефицијент правца) и $ n $ (слободан члан) реални бројеви. Овај облик се назива експлицитни облик. Линеарна функција може бити дата и у имплицитном облику: $ ax + by + c = 0 $. - Функција директне пропорционалности је посебан случај линеарне функције где је слободан члан $ n = 0 $, односно обл...

Појам линеарне функције

Најважније из лекције

Експлицитни облик: $y = kx + n$. Овде је $x$ независно променљива, $y$ зависно променљива, $k$ коефицијент правца, а $n$ слободан члан.
Вредност функције: Задатој вредности $x$ придружујемо тачно једну вредност $y$, која се рачуна убацивањем у формулу (нпр. $y = 2 \cdot 5 + 1 = 11$).
Имплицитни облик: $ax + by + c = 0$. Из њега изражавањем променљиве $y$ добијамо експлицитни облик.
Специјални случајеви: Ако је $n=0$, у питању је директна пропорционалност ($y = kx$). Ако је $k=0$, у питању је константна функција ($y = n$).

Често уочавамо да једна величина зависи од друге. Када год нам је позната вредност једне величине, можемо одредити вредност друге величине на основу одређеног правила или закона.

Независно променљива (најчешће $x$) је величина чију вредност бирамо или задајемо.

Зависно променљива (најчешће $y$ или $f(x)$) је величина чија се вредност израчунава на основу независно променљиве.

Ако аутомобил путује константном брзином, пређени пут зависи од времена. Време је независно променљива, а пређени пут је зависно променљива.

Линеарна функција је придруживање којим се сваком реалном броју $x$ придружује реалан број $y$, према правилу дефинисаном линеарним изразом.

\[ y = kx + n \] Ово је експлицитни облик линеарне функције, где су $k$ и $n$ фиксирани реални бројеви, а $x \in \mathbb{R}$.

$k$ се назива коефицијент правца.
$n$ се назива слободан члан.

$Нацртати Декартов правоугли координатни систем са x-осом и y-осом. Обележити осе стрелицама на крајевима и ознакама $x$ и $y$. Координатни почетак (пресек оса) обележити са $0$. Нацртати праву линију која представља график линеарне функције. Линија треба да има коефицијент правца $k \neq 0$ и слободан члан $n \neq 0$, дакле, да не буде хоризонтална, вертикална, нити да пролази кроз координатни почетак. Праву линију обележити са $y = kx + n$. Тачку пресека праве линије са y-осом истаћи и обележити са $n$. Линија треба да има стрелице на крајевима.$

Специјални случајеви:
- Ако је $n = 0$, функција има облик $y = kx$, што представља директну пропорционалност.
- Ако је $k = 0$, функција има облик $y = n$, што је константна функција (сваком $x$ додељује се исти број $n$).

Одреди коефицијент правца $k$ и слободан члан $n$ за функцију $y = -4x + 7$.

Коефицијент уз $x$ је коефицијент правца: $k = -4$.
Број који стоји сам је слободан члан: $n = 7$.

Ако је функција задата формулом, вредност функције за дато $x$ рачунамо заменом тог броја уместо $x$ у формули. Ознака $f(x)$ чита се "еф од икс".

Нека је дата функција $f(x) = 3x + 2$. Вредност функције за $x = 4$ је:
$f(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$

Такође, можемо решавати и обрнути проблем: ако знамо вредност функције $y$, можемо наћи непознато $x$ решавањем линеарне једначине.

За коју вредност независно променљиве $x$ је вредност функције $y = \frac{1}{2}x - 3$ једнака 5?

Постављамо једначину где је $y = 5$:
\[ 5 = \frac{1}{2}x - 3 \] \[ \frac{1}{2}x = 5 + 3 \] \[ \frac{1}{2}x = 8 \] \[ x = 16 \] Вредност независно променљиве је $x = 16$.

Линеарна функција не мора увек бити изражена тако да је $y$ издвојено на једној страни једнакости. Када су променљиве и константе "помешане", говоримо о имплицитном облику.

\[ ax + by + c = 0 \] Ово је имплицитни облик линеарне функције, где су $a$, $b$ и $c$ реални бројеви, при чему је $b \neq 0$.

Имплицитни облик можемо превести у експлицитни применом правила за решавање једначина (пребацивање сабирке и дељење једначине).

Превођење имплицитног облика $5x + 3y - 4 = 0$ у експлицитни облик:
$3y = -5x + 4$ (пребацили смо $5x$ и $-4$ на десну страну)
$y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}$ (поделили смо целу једначину са 3)

Одреди експлицитни облик линеарне функције задате једначином $x + 2y = 6$.

\[ x + 2y = 6 \] \[ 2y = -x + 6 \] Поделимо целу једначину са 2: \[ y = -\frac{1}{2}x + 3 \]

Задаци за вежбање

Лак: Дата је линеарна функција $f(x) = 2x - 5$. Израчунај вредност функције за $x = 3$.

Убацујемо $x = 3$ у формулу:
$f(3) = 2 \cdot 3 - 5$
$f(3) = 6 - 5 = 1$
Одговор: Вредност функције је 1.

Средњи: Дате су функције $f(x) = 3x$ и $g(x) = 3x - 4$. Која од ових функција представља директну пропорционалност и зашто?

Одговор: Функција $f(x) = 3x$ представља директну пропорционалност зато што њен слободан члан износи нула ($n = 0$), односно облика је $y = kx$.

Тежак: Линеарна функција је задата у имплицитном облику једначином $6x - 2y + 8 = 0$.
а) Преведи функцију у експлицитни облик.
б) Одреди њен коефицијент правца ($k$) и слободан члан ($n$).

а) Издвајамо $y$ на једну страну:
$6x - 2y + 8 = 0$
$-2y = -6x - 8$
Помножимо/поделимо са $-2$:
$y = 3x + 4$
б) На основу добијеног експлицитног облика:
Коефицијент правца $k = 3$.
Слободан члан $n = 4$.

VI.1. Појам линеарне функције

Изабери решење задатка:

а) \( y = 3x \)

б) \( y = -\sqrt{5}x - 3,4 \)

в) \( y = 2x - 5 \)

г) \( y = -4x \)

д) \( y = x^2 \)

ђ) \( x + y + 1 = 0 \)

е) \( x - y = 0 \)

ж) \( y = 13 \)

Дефиниција линеарне функције и директне пропорционалности

Анализа појединачних примера

а) \( y = 3x \)

б) \( y = -\sqrt{5}x - 3,4 \)

в) \( y = 2x - 5 \)

г) \( y = -4x \)

д) \( y = x^2 \)

ђ) \( x + y + 1 = 0 \)

е) \( x - y = 0 \)

ж) \( y = 13 \)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а) \( y = 3x \)

б) \( y = -\sqrt{5}x - 3,4 \)

в) \( y = 2x - 5 \)

г) \( y = -4x \)

д) \( y = x^2 \)

ђ) \( x + y + 1 = 0 \)

е) \( x - y = 0 \)

ж) \( y = 13 \)

Детаљно решење

Дефиниција линеарне функције и директне пропорционалности

Анализа појединачних примера

а) \( y = 3x \)

б) \( y = -\sqrt{5}x - 3,4 \)

в) \( y = 2x - 5 \)

г) \( y = -4x \)

д) \( y = x^2 \)

ђ) \( x + y + 1 = 0 \)

е) \( x - y = 0 \)

ж) \( y = 13 \)

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: