Најважније из лекције
- Линеарна једначина са две непознате (\( ax+by+c=0 \)) има бесконачно много решења која графички представљају праву линију.
- Систем једначина чине две једначине које се решавају истовремено. Решење је уређени пар \( (x, y) \).
- Графички, систем може имати: једно решење (праве се секу), ниједно решење (праве су паралелне) или бесконачно много решења (праве се поклапају).
- Метод замене: Једна променљива се изрази из једне једначине (\( x = \dots \)) и убаци у другу.
- Метод супротних коефицијената: Једначине се множе бројевима тако да се при сабирању једна непозната поништи (нпр. \( 3y \) и \( -3y \)).
Линеарна једначина са две непознате \( x \) и \( y \) је једначина облика \( ax + by + c = 0 \), где су \( a, b, c \) реални бројеви, а коефицијенти \( a \) и \( b \) не могу истовремено бити једнаки 0.
Решење линеарне једначине с две непознате је сваки уређени пар бројева \( (x_0, y_0) \) који, када се замени у једначину, даје тачну бројевну једнакост.
Оваква једначина има бесконачно много решења. Њен графички приказ у координатном систему је права линија, а свака тачка на тој правој представља једно решење једначине.
За једначину \( 3x + 2y - 1 = 0 \), уређени пар \( (1, -1) \) јесте решење јер важи:
\[ 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0 \]
Уређени пар \( (0, 0) \) није решење јер је \( 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 = -1 \neq 0 \).
Провери да ли је уређени пар \( (2, 3) \) решење једначине \( -2x + y + 1 = 0 \).
Мењамо \( x = 2 \) и \( y = 3 \) у једначину:
\[ -2 \cdot 2 + 3 + 1 = -4 + 3 + 1 = 0 \]
Добили смо тачну једнакост \( 0 = 0 \).
Одговор: Да, уређени пар \( (2, 3) \) јесте решење ове једначине.
Одговор: Да, уређени пар \( (2, 3) \) јесте решење ове једначине.
Систем две линеарне једначине са две непознате настаје када тражимо заједничко решење за две линеарне везе међу истим величинама.
Општи облик система од две линеарне једначине с две непознате \( x \) и \( y \) је:
\[ \begin{array}{l} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{array} \]
где су \( a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \) дати реални бројеви.
Решење система је сваки уређен пар реалних бројева \( (x_0, y_0) \) који је решење обе једначине тог система.
Два система једначина су еквивалентна ако је свако решење једног од њих уједно решење и другог, или ако ниједан од та два система нема решење. Решити систем значи свести га на еквивалентан систем облика \( x = a \), \( y = b \).
Свакој линеарној једначини система придружујемо праву у координатном систему. Међусобни положај те две праве одређује број решења система.
| Графички приказ (међусобни положај правих) | Број решења система |
|---|---|
| Две праве које се секу у једној тачки. |
Тачно једно решење (координате пресечне тачке). |
| Две различите паралелне праве. |
Нема решења (праве немају заједничких тачака). Систем је немогућ. |
| Две праве које се поклапају. |
Бесконачно много решења (свака тачка на правој је решење). |
Суштина овог метода је да једну непознату изразимо преко друге на основу једне једначине, а затим у другој једначини заменимо ту непознату добијеним изразом.
Из једне једначине изрази \( x \) преко \( y \) (или \( y \) преко \( x \)). Најлакше је изабрати непознату уз коју је коефицијент 1 или -1.
Замени тај израз у другу једначину система. Добијаш једначину са једном непознатом.
Реши ту једначину и израчунај вредност прве непознате.
Врати добијену вредност у израз из првог корака да израчунаш другу непознату.
Реши систем једначина методом замене:
\[ \begin{array}{l} x + 2y = 8 \\ 2x - y = 1 \end{array} \]
1. Из прве једначине изражавамо \( x \):
\[ x = 8 - 2y \]
2. Мењамо \( x \) у другој једначини:
\[ 2(8 - 2y) - y = 1 \]
3. Решавамо једначину по \( y \):
\[ 16 - 4y - y = 1 \]
\[ -5y = 1 - 16 \]
\[ -5y = -15 \implies y = 3 \]
4. Враћамо вредност \( y \) у израз за \( x \):
\[ x = 8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2 \]
Решење система је уређени пар: \( (2, 3) \).
Овај метод се заснива на сабирању (или одузимању) једначина система како би се елиминисала једна непозната. Користи се када су коефицијенти уз исту непознату супротни бројеви (или их множењем сведемо на супротне).
По потреби, помножи једну или обе једначине одговарајућим бројевима тако да коефицијенти уз једну непознату постану супротни бројеви (нпр. \( 2y \) и \( -2y \)).
Сабери леве стране једначина и десне стране једначина. Једна непозната ће се поништити.
Реши добијену линеарну једначину са једном непознатом.
Добијену вредност замени у било коју од почетних једначина и израчунај другу непознату.
Реши систем једначина методом супротних коефицијената:
\[ \begin{array}{l} 3x + 2y = 9 \\ 2x - 2y = 1 \end{array} \]
Коефицијенти уз \( y \) су већ супротни бројеви (2 и -2), па можемо одмах да саберемо једначине:
\[ (3x + 2x) + (2y - 2y) = 9 + 1 \]
\[ 5x = 10 \implies x = 2 \]
Сада мењамо \( x = 2 \) у прву (или другу) једначину:
\[ 3 \cdot 2 + 2y = 9 \]
\[ 6 + 2y = 9 \]
\[ 2y = 3 \implies y = \frac{3}{2} \]
Решење система је уређени пар: \( (2, \frac{3}{2}) \).
Задаци за вежбање
Лак: Да ли је уређени пар \( (1, -2) \) решење система једначина?
\[ \begin{array}{l} 2x + y = 0 \\ x - 3y = 7 \end{array} \]
Мењамо \( x = 1 \) и \( y = -2 \) у обе једначине:
Прва: \( 2 \cdot 1 + (-2) = 2 - 2 = 0 \) (Тачно)
Друга: \( 1 - 3 \cdot (-2) = 1 + 6 = 7 \) (Тачно)
Пошто задовољава обе једначине, одговор је ДА.
Прва: \( 2 \cdot 1 + (-2) = 2 - 2 = 0 \) (Тачно)
Друга: \( 1 - 3 \cdot (-2) = 1 + 6 = 7 \) (Тачно)
Пошто задовољава обе једначине, одговор је ДА.
Средњи: Реши систем једначина методом замене:
\[ \begin{array}{l} 4x - y = 5 \\ 3x + 2y = 12 \end{array} \]
Из прве једначине лако изражавамо \( y \):
\[ -y = 5 - 4x \implies y = 4x - 5 \]
Мењамо у другу једначину:
\[ 3x + 2(4x - 5) = 12 \]
\[ 3x + 8x - 10 = 12 \]
\[ 11x = 22 \implies x = 2 \]
Враћамо \( x \) у израз за \( y \):
\[ y = 4 \cdot 2 - 5 = 8 - 5 = 3 \]
Решење: \( (2, 3) \).
Тежак: Реши систем једначина методом супротних коефицијената:
\[ \begin{array}{l} 5x + 4y = 11 \\ 2x + 3y = 10 \end{array} \]
Да бисмо елиминисали \( x \), множимо прву једначину са 2, а другу са -5 (или обрнуто):
\[ \begin{array}{l} 5x + 4y = 11 \quad / \cdot 2 \\ 2x + 3y = 10 \quad / \cdot (-5) \end{array} \]
Добијамо еквивалентан систем:
\[ \begin{array}{l} 10x + 8y = 22 \\ -10x - 15y = -50 \end{array} \]
Сабирамо једначине:
\[ (10x - 10x) + (8y - 15y) = 22 - 50 \]
\[ -7y = -28 \implies y = 4 \]
Мењамо \( y = 4 \) у прву полазну једначину:
\[ 5x + 4 \cdot 4 = 11 \]
\[ 5x + 16 = 11 \]
\[ 5x = -5 \implies x = -1 \]
Решење: \( (-1, 4) \).
