Најважније из лекције
Електромагнетна индукција: Настанак ЕМС услед временске промене магнетног флукса (\(\Delta \Phi\)).
Покретни проводник: \(\varepsilon = B l v \sin\theta\) - настаје деловањем Лоренцове силе на слободне електроне.
Фарадејев закон: \(\varepsilon = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) - индукована ЕМС сразмерна је брзини промене магнетног флукса.
Ленцово правило: Индукована струја ствара магнетно поље које се одупире промени флукса (знак минус у закону, директна последица Закона о одржању енергије).
Самоиндукција и узајамна индукција: Промена сопствене или туђе струје индукује ЕМС: \(\varepsilon_s = -L \frac{\Delta i}{\Delta t}\), односно \(\varepsilon_2 = -M \frac{\Delta i_1}{\Delta t}\). Јединица индуктивности је хенри (\(\text{H}\)).
Енергија магнетног поља: \(E_m = \frac{1}{2} L I^2\), са запреминском густином \(w = \frac{B^2}{2\mu}\) (\(\text{J/m}^3\)).
Покретни проводник: \(\varepsilon = B l v \sin\theta\) - настаје деловањем Лоренцове силе на слободне електроне.
Фарадејев закон: \(\varepsilon = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) - индукована ЕМС сразмерна је брзини промене магнетног флукса.
Ленцово правило: Индукована струја ствара магнетно поље које се одупире промени флукса (знак минус у закону, директна последица Закона о одржању енергије).
Самоиндукција и узајамна индукција: Промена сопствене или туђе струје индукује ЕМС: \(\varepsilon_s = -L \frac{\Delta i}{\Delta t}\), односно \(\varepsilon_2 = -M \frac{\Delta i_1}{\Delta t}\). Јединица индуктивности је хенри (\(\text{H}\)).
Енергија магнетног поља: \(E_m = \frac{1}{2} L I^2\), са запреминском густином \(w = \frac{B^2}{2\mu}\) (\(\text{J/m}^3\)).
Електромагнетна индукција је појава настајања електромоторне силе (ЕМС) у проводној контури услед промене магнетног флукса.
Електромоторна сила се индукује у проводнику када се он креће у магнетном пољу или када мирује у временски променљивом магнетном пољу.
Заједнички узрок индуковања електромоторне силе у свим случајевима је промена магнетног флукса (\(\Delta\Phi\)) кроз струјну контуру. Промена флукса може настати услед:
- промене јачине магнетног поља (\(B\)),
- промене површине контуре обухваћене пољем (\(S\)),
- промене оријентације контуре у односу на линије поља (промена угла \(\theta\)).
Приближавањем или удаљавањем магнетне шипке у односу на калем мења се број линија магнетног поља кроз његове навојке (мења се магнетни флукс), што доводи до појаве струје коју региструје галванометар.
Приликом кретања проводника брзином \(\vec{v}\) кроз магнетно поље индукције \(\vec{B}\), на слободне електроне у проводнику делује Лоренцова сила: \[\vec{F}_L = e(\vec{v} \times \vec{B})\]
Услед деловања Лоренцове силе долази до раздвајања наелектрисања дуж проводника и стварања унутрашњег електричног поља \(\vec{E}\). Процес траје до успостављања равнотеже електричне и Лоренцове силе (\(eE = evB\)), при чему се на крајевима проводника успоставља разлика потенцијала (индукована ЕМС).
\[ \varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin\theta \]
\(B\) – магнетна индукција (\(\text{T}\)), \(l\) – дужина проводника (\(\text{m}\)), \(v\) – брзина кретања (\(\text{m/s}\)), \(\theta\) – угао између вектора брзине и вектора магнетне индукције.
Ако се проводник креће паралелно линијама магнетног поља (\(\theta = 0^\circ\)), индукована ЕМС је једнака нули (\(\varepsilon = 0\)).
Јачина индуковане струје у затвореном струјном колу отпорности \(R\) по Омовом закону износи:
\[ I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \cdot l \cdot v \cdot \sin\theta}{R} \]
Проводник дужине \(0{,}4\text{ m}\) креће се брзином \(5\text{ m/s}\) нормално на линије хомогеног магнетног поља индукције \(0{,}5\text{ T}\). Израчунати индуковану ЕМС.
Пошто се проводник креће нормално на линије поља, \(\theta = 90^\circ\) (\(\sin 90^\circ = 1\)):
\[ \varepsilon = B \cdot l \cdot v = 0{,}5\text{ T} \cdot 0{,}4\text{ m} \cdot 5\text{ m/s} = 1\text{ V} \]
Фарадејев закон: Индукована електромоторна сила у затвореној струјној контури једнака је негативној брзини промене магнетног флукса кроз ту контуру у времену.
За једну проводну контуру:
\[ \varepsilon = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]
За калем са \(N\) једнаких навојака:
\[ \varepsilon = -N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]
\(\Delta \Phi\) – промена магнетног флукса (\(\text{Wb}\)), \(\Delta t\) – временски интервал (\(\text{s}\)), \(N\) – број навојака.
Промена магнетног флукса од \(1\text{ Wb}\) у времену од \(1\text{ s}\) индукује електромоторну силу од \(1\text{ V}\).
Ако је проводник непокретан, а магнетно поље променљиво у времену (\(\Delta\Phi = \Delta B \cdot S\)):
\[ \varepsilon = -\frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot S \]
Ленцово правило: Индукована струја има увек такав смер да својим сопственим магнетним пољем тежи да се супротстави промени магнетног флукса која ју је изазвала (узроку свог настанка).
Значење предзнака минус:
- Када магнетни флукс расте (\(\Delta\Phi > 0\)), сопствено индуковано магнетно поље \(\vec{B}_{\text{ind}}\) има супротан смер од спољашњег поља \(\vec{B}\) како би спречило његов раст.
- Када магнетни флукс опада (\(\Delta\Phi < 0\)), сопствено индуковано магнетно поље \(\vec{B}_{\text{ind}}\) има исти смер као спољашње поље \(\vec{B}\) како би спречило његово опадање.
Смер индуковане струје на основу смера њеног индукованог магнетног поља \(\vec{B}_{\text{ind}}\) одређује се правилом десне руке.
Ленцово правило је непосредна последица Закона о одржању енергије. Механички рад који врши спољашња сила (при савладавању одбојних/привлачних магнетних сила или Амперове силе која кочи кретање проводника) у потпуности се трансформише у електричну енергију индуковане струје.
Узајамна индукција: Појава индуковања ЕМС у једном струјном колу услед промене јачине струје у суседном струјном колу.
\[ \Phi_{21} = M_{21} \cdot i_1 \implies \varepsilon_2 = -M \cdot \frac{\Delta i_1}{\Delta t} \]
\(M\) – коефицијент узајамне индукције (мерна јединица: хенри \([\text{H}]\)).
Самоиндукција: Појава индуковања ЕМС у самом проводнику/калему кроз који протиче променљива струја.
Сопствени флукс и ЕМС самоиндукције:
\[ \Phi = L \cdot i \]
\[ \varepsilon_s = -L \cdot \frac{\Delta i}{\Delta t} \]
\(L\) – коефицијент самоиндукције (индуктивност), \(\Delta i / \Delta t\) – брзина промене струје.
Хенри (\(\text{H}\)): Јединица индуктивности. Проводник има индуктивност од \(1\text{ H}\) ако промена струје брзином од \(1\text{ A/s}\) у њему индукује ЕМС од \(1\text{ V}\):
\[ 1\text{ H} = 1\frac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{A}} \]
Индуктивност соленоида (завојнице):
\[ L = \mu_0 \mu_r \frac{N^2}{l} S = \mu n^2 V \]
\(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H/m}\) – магнетна пропустљивост вакуума, \(N\) – број навојака, \(l\) – дужина, \(S\) – попречни пресек, \(V = S \cdot l\) – запремина соленоида, \(n = N/l\).
- Генератори наизменичне струје: претварање механичке енергије у електричну.
- Трансформатори: промена наизменичног напона заснована на узајамној индукцији.
- Индукциони шпорети: стварање вртложних струја у дну феромагнетне посуде које је загревају.
- Магнетне кочнице: безконтактно кочење возова индуковањем вртложних струја.
При успостављању струје у калему, рад извора против ЕМС самоиндукције акумулира се као енергија магнетног поља унутар калема.
Енергија магнетног поља соленоида:
\[ E_m = \frac{1}{2} L \cdot I^2 \]
\(L\) – индуктивност (\(\text{H}\)), \(I\) – јачина струје (\(\text{A}\)).
Запреминска густина енергије магнетног поља:
\[ w = \frac{E_m}{V} = \frac{B^2}{2\mu} = \frac{B^2}{2\mu_0 \mu_r} \]
\(B\) – магнетна индукција (\(\text{T}\)), \(\mu = \mu_0 \mu_r\) – магнетна пропустљивост средине.
Јединица за запреминску густину енергије је џул по кубном метру (\(\text{J/m}^3\)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Праволинијски проводник дужине \(0{,}8\text{ m}\) креће се брзином \(3\text{ m/s}\) нормално на линије хомогеног магнетног поља индукције \(1\text{ T}\). Ако су крајеви проводника спојени на отпорник отпорности \(15\ \Omega\), израчунати јачину индуковане струје.
Познато: \(l = 0{,}8\text{ m}\), \(v = 3\text{ m/s}\), \(B = 1\text{ T}\), \(\theta = 90^\circ\), \(R = 15\ \Omega\).
1. Индукована електромоторна сила: \[ \varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin 90^\circ = 1\text{ T} \cdot 0{,}8\text{ m} \cdot 3\text{ m/s} = 2{,}4\text{ V} \] 2. Јачина индуковане струје према Омовом закону: \[ I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{2{,}4\text{ V}}{15\ \Omega} = 0{,}16\text{ A} \]
1. Индукована електромоторна сила: \[ \varepsilon = B \cdot l \cdot v \cdot \sin 90^\circ = 1\text{ T} \cdot 0{,}8\text{ m} \cdot 3\text{ m/s} = 2{,}4\text{ V} \] 2. Јачина индуковане струје према Омовом закону: \[ I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{2{,}4\text{ V}}{15\ \Omega} = 0{,}16\text{ A} \]
Задатак 2 (Средњи ниво): Калем квадратног пресека са страницама \(a = 10\text{ cm}\) има \(N = 100\) навојака жице и укупну отпорност \(1{,}5\ \Omega\). Калем се налази у магнетном пољу чије су линије нормалне на његову површину. Магнетна индукција се равномерно повећа од \(0\text{ T}\) до \(0{,}5\text{ T}\) у току \(1{,}2\text{ s}\). Одредити индуковану ЕМС и јачину индуковане струје.
Познато: \(a = 0{,}1\text{ m}\), \(S = a^2 = 0{,}01\text{ m}^2\), \(N = 100\), \(R = 1{,}5\ \Omega\), \(\Delta B = 0{,}5\text{ T} - 0\text{ T} = 0{,}5\text{ T}\), \(\Delta t = 1{,}2\text{ s}\).
1. Индукована ЕМС према Фарадејевом закону (по интензитету): \[ |\varepsilon| = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = N \frac{\Delta B \cdot S}{\Delta t} = 100 \cdot \frac{0{,}5\text{ T} \cdot 0{,}01\text{ m}^2}{1{,}2\text{ s}} \approx 0{,}42\text{ V} \] 2. Јачина индуковане струје: \[ I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{0{,}42\text{ V}}{1{,}5\ \Omega} = 0{,}28\text{ A} \]
1. Индукована ЕМС према Фарадејевом закону (по интензитету): \[ |\varepsilon| = N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = N \frac{\Delta B \cdot S}{\Delta t} = 100 \cdot \frac{0{,}5\text{ T} \cdot 0{,}01\text{ m}^2}{1{,}2\text{ s}} \approx 0{,}42\text{ V} \] 2. Јачина индуковане струје: \[ I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{0{,}42\text{ V}}{1{,}5\ \Omega} = 0{,}28\text{ A} \]
Задатак 3 (Средњи ниво): У калему индуктивности \(L = 0{,}02\text{ H}\) струја се равномерно повећа са \(0{,}3\text{ A}\) на \(1{,}1\text{ A}\) у временском интервалу од \(0{,}01\text{ s}\). Колика се електромоторна сила самоиндукције јавља у калему и колика је енергија магнетног поља при максималној струји?
Познато: \(L = 0{,}02\text{ H}\), \(i_1 = 0{,}3\text{ A}\), \(i_2 = 1{,}1\text{ A}\), \(\Delta t = 0{,}01\text{ s}\).
1. ЕМС самоиндукције: \[ \varepsilon_s = -L \frac{\Delta i}{\Delta t} = -0{,}02\text{ H} \cdot \frac{1{,}1\text{ A} - 0{,}3\text{ A}}{0{,}01\text{ s}} = -0{,}02 \cdot \frac{0{,}8}{0{,}01} = -1{,}6\text{ V} \] (Предзнак минус означава да се индукована ЕМС противи порасту струје.)
2. Енергија магнетног поља при струји \(I = 1{,}1\text{ A}\): \[ E_m = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}02\text{ H} \cdot (1{,}1\text{ A})^2 = 0{,}01 \cdot 1{,}21 = 0{,}0121\text{ J} = 12{,}1\text{ mJ} \]
1. ЕМС самоиндукције: \[ \varepsilon_s = -L \frac{\Delta i}{\Delta t} = -0{,}02\text{ H} \cdot \frac{1{,}1\text{ A} - 0{,}3\text{ A}}{0{,}01\text{ s}} = -0{,}02 \cdot \frac{0{,}8}{0{,}01} = -1{,}6\text{ V} \] (Предзнак минус означава да се индукована ЕМС противи порасту струје.)
2. Енергија магнетног поља при струји \(I = 1{,}1\text{ A}\): \[ E_m = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}02\text{ H} \cdot (1{,}1\text{ A})^2 = 0{,}01 \cdot 1{,}21 = 0{,}0121\text{ J} = 12{,}1\text{ mJ} \]
Задатак 4 (Тежи ниво): У одређеном делу простора у вакууму постоји хомогено магнетно поље индукције \(B = 10^{-2}\text{ T}\). Колика је запреминска густина енергије тог магнетног поља? Ако соленоид запремине \(V = 200\text{ cm}^3\) ствара такво магнетно поље, колика је укупна магнетна енергија ускладиштена у њему? (\(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m/A}\))
Познато: \(B = 10^{-2}\text{ T}\), \(V = 200\text{ cm}^3 = 2 \cdot 10^{-4}\text{ m}^3\), \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m/A}\).
1. Запреминска густина енергије: \[ w = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(10^{-2}\text{ T})^2}{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\text{Tm}}{\text{A}}} = \frac{10^{-4}}{8\pi \cdot 10^{-7}} = \frac{1000}{8\pi} \approx 39{,}8\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \] 2. Укупна ускладиштена магнетна енергија: \[ E_m = w \cdot V = 39{,}8\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-4}\text{ m}^3 \approx 7{,}96 \cdot 10^{-3}\text{ J} = 7{,}96\text{ mJ} \]
1. Запреминска густина енергије: \[ w = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{(10^{-2}\text{ T})^2}{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\text{Tm}}{\text{A}}} = \frac{10^{-4}}{8\pi \cdot 10^{-7}} = \frac{1000}{8\pi} \approx 39{,}8\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \] 2. Укупна ускладиштена магнетна енергија: \[ E_m = w \cdot V = 39{,}8\ \frac{\text{J}}{\text{m}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-4}\text{ m}^3 \approx 7{,}96 \cdot 10^{-3}\text{ J} = 7{,}96\text{ mJ} \]
