Најважније из лекције
Вертикални хитац навише је кретање под дејством само гравитационог убрзања \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \), састављено из две фазе: успореног пењања до заустављања и убрзаног слободног пада назад.
• Тренутна брзина и висина: \( v = v_0 - gt \) и \( h_t = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \).
• Највиша тачка (\( v = 0 \)): Време пењања је \( t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} \), а највећа висина \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \).
• Симетрија кретања: Време пењања једнако је времену падања (\( t_{\uparrow} = t_{\downarrow} \)), укупно време кретања је \( t_u = \frac{2v_0}{g} \), а брзина при удару о тло има исти интензитет као почетна брзина, али супротан смер (\( \vec{v} = -\vec{v}_0 \)).
• Тренутна брзина и висина: \( v = v_0 - gt \) и \( h_t = v_0 t - \frac{gt^2}{2} \).
• Највиша тачка (\( v = 0 \)): Време пењања је \( t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} \), а највећа висина \( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \).
• Симетрија кретања: Време пењања једнако је времену падања (\( t_{\uparrow} = t_{\downarrow} \)), укупно време кретања је \( t_u = \frac{2v_0}{g} \), а брзина при удару о тло има исти интензитет као почетна брзина, али супротан смер (\( \vec{v} = -\vec{v}_0 \)).
Вертикални хитац навише је праволинијско кретање тела коме је саопштена почетна брзина \( v_0 \) усмерена вертикално навише, а које се одвија само под утицајем силе теже (занемарујући отпор средине).
Током кретања навише, тело се креће равномерно успорено са убрзањем земљине теже \( g = 9,8 \text{ m/s}^2 \), које је увек усмерено вертикално наниже.
Кинематичке једначине вертикалног хица навише добијају се из једначина равномерно успореног кретања када се убрзање \( a \) замени убрзањем силе теже \( g \):
| Физичка величина | Равномерно успорено кретање | Вертикални хитац навише (\( a = g \)) |
|---|---|---|
| Тренутна брзина | \( v = v_0 - a \cdot t \) | \( v = v_0 - g \cdot t \) |
| Пређени пут / висина | \( s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \) | \( h_t = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \) |
| Зависност брзине од пута | \( v^2 = v_0^2 - 2 \cdot a \cdot s \) | \( v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot h \) |
Ако је вредност брзине \( v \) позитивна, тело се још увек пење. Када је \( v = 0 \), тело је у највишој тачки. Када је \( v \) негативна, тело пада наниже (креће се у супротном смеру од почетне брзине).
У највишој тачки путање тренутна брзина тела једнака је нули (\( v = 0 \)). Из тог услова одређује се време потребно телу да достигне највећу висину (\( t_{\uparrow} \)), као и сама максимална висина (\( h_{\text{max}} \)).
\[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} \]
Време пењања до максималне висине
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
Максимална висина тела изнад тачке бацања
Лоптица је бачена вертикално навише почетном брзином \( v_0 = 4\text{ m/s} \).
Време пењања износи: \[ t_{\uparrow} = \frac{4\text{ m/s}}{9,8\text{ m/s}^2} \approx 0,4\text{ s} \] Максимална достигнута висина је: \[ h_{\text{max}} = \frac{(4\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,8\text{ m/s}^2} = \frac{16}{19,6} \approx 0,82\text{ m} \]
Време пењања износи: \[ t_{\uparrow} = \frac{4\text{ m/s}}{9,8\text{ m/s}^2} \approx 0,4\text{ s} \] Максимална достигнута висина је: \[ h_{\text{max}} = \frac{(4\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,8\text{ m/s}^2} = \frac{16}{19,6} \approx 0,82\text{ m} \]
Једнакост времена: Време потребно телу да достигне максималну висину (\( t_{\uparrow} \)) једнако је времену потребном телу да са те висине падне назад на тло (\( t_{\downarrow} \)):
\[ t_{\uparrow} = t_{\downarrow} \]
\[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = \frac{2v_0}{g} \]
Укупно време кретања тела (од бацања до повратка на полазни ниво)
Брзина при паду: Интензитет брзине којом тело пада назад на полазни ниво једнак је интензитету почетне брзине, али супротног смера:
\[ \vec{v} = -\vec{v}_0 \quad \text{односно} \quad v = -v_0 \]
Током кретања тело се на свакој међувисини налази тачно два пута: први пут док се пење (брзина усмерена навише) и други пут док пада (брзина истог интензитета усмерена наниже).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело је избачено вертикално навише почетном брзином \( v_0 = 19,6\text{ m/s} \). Колико износи време пењања до максималне висине и колико је укупно време кретања тела до удара о тло? (\( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
Време пењања одређујемо по формули:
\[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{19,6\text{ m/s}}{9,8\text{ m/s}^2} = 2\text{ s} \]
Укупно време кретања је двоструко време пењања:
\[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2 \cdot 2\text{ s} = 4\text{ s} \]
Одговор: Време пењања је \( 2\text{ s} \), а укупно време кретања је \( 4\text{ s} \).
Задатак 2 (средњи): Колику максималну висину достиже стрела испаљена вертикално навише почетном брзином \( v_0 = 29,4\text{ m/s} \)? Занемарити отпор ваздуха. (\( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
Максималну висину рачунамо по формули:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
\[ h_{\text{max}} = \frac{(29,4\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,8\text{ m/s}^2} = \frac{864,36\text{ m}^2/\text{s}^2}{19,6\text{ m/s}^2} = 44,1\text{ m} \]
Одговор: Стрела ће достићи максималну висину од \( 44,1\text{ m} \).
Задатак 3 (тежак): Камен је бачен вертикално навише почетном брзином \( v_0 = 29,4\text{ m/s} \). Одреди положај (висину) и брзину камена након \( t = 4\text{ s} \) од почетка кретања. Објасни шта значи добијени знак за брзину. (\( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
1. Висина након 4 секунде:
\[ h_t = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} = 29,4\text{ m/s} \cdot 4\text{ s} - \frac{9,8\text{ m/s}^2 \cdot (4\text{ s})^2}{2} \]
\[ h_t = 117,6\text{ m} - \frac{9,8 \cdot 16}{2}\text{ m} = 117,6\text{ m} - 78,4\text{ m} = 39,2\text{ m} \]
2. Брзина након 4 секунде:
\[ v = v_0 - g \cdot t = 29,4\text{ m/s} - 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 4\text{ s} = 29,4\text{ m/s} - 39,2\text{ m/s} = -9,8\text{ m/s} \]
Објашњење: Пошто је време пењања \( t_{\uparrow} = \frac{29,4}{9,8} = 3\text{ s} \), након \( t = 4\text{ s} \) тело се налази у фази падања. Негативан знак брзине (\( -9,8\text{ m/s} \)) показује да је вектор брзине усмерен наниже (супротно од почетног смера кретања).
