Најважније из лекције
Гравитација и тежина: Сва тела се међусобно привлаче гравитационом силом. Маса (\(m\)) је непроменљива, док је тежина (\(Q = mg\)) сила којом тело притиска подлогу. У бестежинском стању тело нема ослонац (\(Q = 0\)).
Кретање у гравитационом пољу (\(g \approx 9,81\text{ m/s}^2\)):
Кретање у гравитационом пољу (\(g \approx 9,81\text{ m/s}^2\)):
- Слободан пад (\(v_0=0\)): \(v = gt\), \(h = \frac{gt^2}{2}\), \(v = \sqrt{2gh}\).
- Хитац наниже (\(v_0>0\)): \(v = v_0 + gt\), \(h = v_0t + \frac{gt^2}{2}\).
- Хитац навише: \(v = v_0 - gt\), \(h = v_0t - \frac{gt^2}{2}\); врх се достиже за \(t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g}\) на висини \(h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}\). Важи симетрија: \(t_{\text{пењања}} = t_{\text{падања}}\) и \(v_{\text{удар}} = v_0\).
Гравитациона сила је привлачна сила која се јавља између било која два тела у свемиру, а зависи од њихових маса и међусобног растојања.
Сила Земљине теже је гравитациона сила којом Земља привлачи сва тела на својој површини или у својој близини. Њен правац је вертикалан, а смер је ка центру Земље (надоле).
Тежина тела (\(Q\)) је сила којом тело услед гравитационог привлачења притиска хоризонталну подлогу или затеже нит о коју је обешено.
Мерна јединица за све силе (па и за тежину) јесте њутн (\(\text{N}\)).
Разлика између масе и тежине:
- Маса (\(m\)) је мера инертности тела и изражава се у килограмима (\(\text{kg}\)). Она је непроменљива и иста је на Земљи, Месецу или у бестежинском простору.
- Тежина (\(Q\)) је сила (\(\text{N}\)) и зависи од гравитационог убрзања планете (\(Q = mg\)). На Месецу је тежина тела око 6 пута мања него на Земљи.
- Тело нема тежину (налази се у бестежинском стању) када нема ослонац или вешање (нпр. током слободног пада).
Да ли тело масе \(60\text{ kg}\) има исту масу и исту тежину на Земљи и на Месецу?
Маса тела је непроменљива величина и износи \(60\text{ kg}\) и на Земљи и на Месецу. Међутим, тежина тела зависи од гравитационог убрзања (\(Q = mg\)). Како је гравитација на Месецу знатно слабија, тежина тела на Месецу биће мања него на Земљи.
Слободан пад је равномерно убрзано праволинијско кретање тела без почетне брзине (\(v_0 = 0\)) вертикално надоле само под дејством силе Земљине теже.
Вертикални хитац наниже је равномерно убрзано кретање тела са почетном брзином (\(v_0 > 0\)) усмереном вертикално надоле.
Убрзање које тела добијају услед силе Земљине теже назива се гравитационо убрзање (\(g \approx 9,81\text{ m/s}^2\)). У вакууму (без отпора ваздуха) сва тела падају са истим убрзањем независно од своје масе.
Формуле за слободан пад (\(v_0 = 0\)):
\[ v = gt \]
\[ h = \frac{gt^2}{2} \]
\[ v^2 = 2gh \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{2gh} \]
\(h\) – пређени пут (висина пада), \(v\) – крајња/тренутна брзина, \(t\) – време падања.
Формуле за вертикални хитац наниже (\(v_0 > 0\)):
\[ v = v_0 + gt \]
\[ h = v_0t + \frac{gt^2}{2} \]
\[ v^2 - v_0^2 = 2gh \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \]
Средња брзина код равномерно променљивог кретања:
\[ v_s = \frac{v_0 + v}{2} \quad \text{или уопштено} \quad v_s = \frac{s_u}{t_u} \]
Колику брзину постигне тело при слободном паду након \(2\text{ s}\)?
\(v = gt = 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 2\text{ s} = 19,62\text{ m/s}\).
Вертикални хитац навише је равномерно успорено кретање тела баченог почетном брзином (\(v_0\)) вертикално нагоре. Тело успорава због дејства Земљине теже све док се у највишој тачки тренутно не заустави (\(v = 0\)), након чега почиње слободно да пада.
Формуле за хитац навише током пењања:
\[ v = v_0 - gt \]
\[ h = v_0t - \frac{gt^2}{2} \]
\[ v^2 = v_0^2 - 2gh \]
Време пењања и максимална висина:
У највишој тачки брзина је \(v = 0\), одакле следи:
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} \]
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
Симетрија кретања код хица навише:
- Време пењања до максималне висине једнако је времену падања са те висине назад до полазне тачке (\(t_{\text{пењања}} = t_{\text{падања}}\)).
- Интензитет почетне брзине једнак је интензитету брзине којом тело удара назад у тло (\(v_{\text{удар}} = v_0\)).
Лопта је бачена вертикално увис почетном брзином \(v_0 = 19,62\text{ m/s}\). Израчунајте време пењања и максималну висину коју лопта достиже.
Време пењања:
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{19,62\text{ m/s}}{9,81\text{ m/s}^2} = 2\text{ s} \]
Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(19,62\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{384,94}{19,62} = 19,62\text{ m} \]
Сила трења (\(F_{tr}\)) је сила која се јавља на додирној површини два тела приликом њиховог релативног кретања или тежње за кретањем.
Смер силе трења је увек супротан смеру кретања тела!
\[ F_{tr} = \mu \cdot F_n \]
где је:
- \(F_{tr}\) – сила трења (\(\text{N}\))
- \(\mu\) – коефицијент трења (бездимензиона величина, нема мерну јединицу)
- \(F_n\) – нормална сила притиска тела на подлогу (\(\text{N}\)); на хоризонталној равни \(F_n = Q = mg\)
Карактеристике и врсте трења:
- Трење клизања и котрљања: Трење котрљања је знатно мање од трења клизања (зато се користе точкови и лежајеви).
- Корисност трења: Омогућава ходање, кретање и заустављање возила (кочење).
- Штетност трења: Доводи до загревања, трошења и хабања машинских делова (смањује се подмазивањем).
- Промена трења: Трење се повећава бацањем песка на залеђен пут или опремањем зимским шарама на гумама, а смањује углачавањем површина.
Када се тело креће кроз флуид (ваздух, вода) или кроз чврсту препреку (нпр. даска), на њега делује сила отпора (\(F_o\)) која успорава тело (\(F_o = m \cdot a\)). Приликом кретања константном брзином, вучна сила је једнака сили отпора средине (\(F = F_o\)).
Сандук тежине \(400\text{ N}\) гура се по поду. Ако је коефицијент трења \(\mu = 0,3\), колика је сила трења?
\[ F_{tr} = \mu \cdot F_n = 0,3 \cdot 400\text{ N} = 120\text{ N} \]
Задаци за вежбу
Задатак 1 (Лаки ниво): Камен је пуштен са моста да слободно пада и ударио је о површину воде након \(3\text{ s}\). Колика је висина моста? (Узети \(g = 9,81\text{ m/s}^2\))
Познато: \(v_0 = 0\), \(t = 3\text{ s}\), \(g = 9,81\text{ m/s}^2\)
Формула: \(h = \frac{gt^2}{2}\)
Рачун: \[ h = \frac{9,81\text{ m/s}^2 \cdot (3\text{ s})^2}{2} = \frac{9,81 \cdot 9}{2}\text{ m} = \frac{88,29}{2}\text{ m} = 44,145\text{ m} \approx 44,15\text{ m} \] Одговор: Висина моста износи \(44,15\text{ m}\).
Формула: \(h = \frac{gt^2}{2}\)
Рачун: \[ h = \frac{9,81\text{ m/s}^2 \cdot (3\text{ s})^2}{2} = \frac{9,81 \cdot 9}{2}\text{ m} = \frac{88,29}{2}\text{ m} = 44,145\text{ m} \approx 44,15\text{ m} \] Одговор: Висина моста износи \(44,15\text{ m}\).
Задатак 2 (Средњи ниво): Стрела је испаљена вертикално у вис брзином од \(39,24\text{ m/s}\).
а) Након колико времена ће стрела достићи највишу тачку?
б) До које максималне висине ће стрела долетети?
а) Након колико времена ће стрела достићи највишу тачку?
б) До које максималне висине ће стрела долетети?
Познато: \(v_0 = 39,24\text{ m/s}\), \(g = 9,81\text{ m/s}^2\)
а) Време пењања: \[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{39,24\text{ m/s}}{9,81\text{ m/s}^2} = 4\text{ s} \] б) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(39,24\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{1539,78}{19,62}\text{ m} = 78,48\text{ m} \] Одговор: Стрела достиже врх за \(4\text{ s}\) на висини од \(78,48\text{ m}\).
а) Време пењања: \[ t_{\text{max}} = \frac{v_0}{g} = \frac{39,24\text{ m/s}}{9,81\text{ m/s}^2} = 4\text{ s} \] б) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(39,24\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{1539,78}{19,62}\text{ m} = 78,48\text{ m} \] Одговор: Стрела достиже врх за \(4\text{ s}\) на висини од \(78,48\text{ m}\).
Задатак 3 (Средњи ниво): Тело масе \(50\text{ kg}\) вуче се по хоризонталном путу константном брзином. Колика је вучна сила потребна за ово кретање ако је коефицијент трења \(\mu = 0,2\)? (\(g = 9,81\text{ m/s}^2\))
Познато: \(m = 50\text{ kg}\), \(\mu = 0,2\), \(v = \text{const} \implies F_{\text{vučna}} = F_{tr}\)
Нормална сила (тежина): \[ F_n = mg = 50\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 = 490,5\text{ N} \] Сила трења: \[ F_{tr} = \mu \cdot F_n = 0,2 \cdot 490,5\text{ N} = 98,1\text{ N} \] Пошто се тело креће константном брзином, вучна сила је једнака сили трења: \[ F_{\text{vučna}} = 98,1\text{ N} \] Одговор: Потребна вучна сила износи \(98,1\text{ N}\).
Нормална сила (тежина): \[ F_n = mg = 50\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 = 490,5\text{ N} \] Сила трења: \[ F_{tr} = \mu \cdot F_n = 0,2 \cdot 490,5\text{ N} = 98,1\text{ N} \] Пошто се тело креће константном брзином, вучна сила је једнака сили трења: \[ F_{\text{vučna}} = 98,1\text{ N} \] Одговор: Потребна вучна сила износи \(98,1\text{ N}\).
Задатак 4 (Тежи ниво): Метак масе \(10\text{ g}\) улети у дрвену даску дебљине \(5\text{ cm}\) брзином од \(400\text{ m/s}\), а из ње излети брзином од \(100\text{ m/s}\). Израчунајте средњу силу отпора којом је дрвена даска деловала на метак.
Познато:
\(m = 10\text{ g} = 0,01\text{ kg}\),
\(s = 5\text{ cm} = 0,05\text{ m}\),
\(v_0 = 400\text{ m/s}\),
\(v = 100\text{ m/s}\)
1. Израчунавање успорења (\(a\)): \[ v^2 - v_0^2 = 2as \implies a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} \] \[ a = \frac{(100\text{ m/s})^2 - (400\text{ m/s})^2}{2 \cdot 0,05\text{ m}} = \frac{10000 - 160000}{0,1} = \frac{-150000}{0,1} = -1500000\text{ m/s}^2 \] 2. Израчунавање силе отпора (\(F_o\)): \[ F_o = m \cdot |a| = 0,01\text{ kg} \cdot 1500000\text{ m/s}^2 = 15000\text{ N} = 15\text{ kN} \] (Негативан предзнак убрзања показује да је сила супротног смера од смера кретања метка).
Одговор: Сила отпора даске износи \(15\text{ kN}\).
1. Израчунавање успорења (\(a\)): \[ v^2 - v_0^2 = 2as \implies a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} \] \[ a = \frac{(100\text{ m/s})^2 - (400\text{ m/s})^2}{2 \cdot 0,05\text{ m}} = \frac{10000 - 160000}{0,1} = \frac{-150000}{0,1} = -1500000\text{ m/s}^2 \] 2. Израчунавање силе отпора (\(F_o\)): \[ F_o = m \cdot |a| = 0,01\text{ kg} \cdot 1500000\text{ m/s}^2 = 15000\text{ N} = 15\text{ kN} \] (Негативан предзнак убрзања показује да је сила супротног смера од смера кретања метка).
Одговор: Сила отпора даске износи \(15\text{ kN}\).
