Најважније из лекције
- Рачунање са великим округлим бројевима: Обавља се исто као са малим бројевима, уз додавање одговарајућег броја нула на крају.
- Веза операција: Свако сабирање се може проверити одузимањем, а свако одузимање сабирањем.
- Правило потписивања: Увек потписујемо јединице испод јединица, десетице испод десетица, итд.
- Пренос и позајмљивање: Рачунамо здесна налево. Код сабирања вишак преко 9 преносимо у следећу колону лево. Код одузимања, ако је горња цифра мања, позајмљујемо 1 из колоне лево (што постаје 10 у тренутној колони).
- Одузимање од нула (нпр. 10 000): Позајмљује се од прве цифре различите од нуле, све нуле на путу постају 9, а последња постаје 10.
Рачунање са вишецифреним бројевима који се завршавају нулама (вишеструке декадне јединице) врши се на исти начин као и са једноцифреним или двоцифреним бројевима, уз поштовање класа и месних вредности.
Ако знамо да је \( 5 + 2 = 7 \), онда знамо и да је:
\( 500 + 200 = 700 \)
\( 5\,000 + 2\,000 = 7\,000 \)
\( 5\,000\,000 + 2\,000\,000 = 7\,000\,000 \)
\( 500 + 200 = 700 \)
\( 5\,000 + 2\,000 = 7\,000 \)
\( 5\,000\,000 + 2\,000\,000 = 7\,000\,000 \)
Исто правило важи и за одузимање:
Пошто је \( 17 - 9 = 8 \), онда је \( 17\,000 - 9\,000 = 8\,000 \).
Пошто је \( 17 - 9 = 8 \), онда је \( 17\,000 - 9\,000 = 8\,000 \).
Израчунај: \( 45\,000\,000 + 17\,000\,000 \) и \( 1\,000\,000 - 500\,000 \).
\( 45 + 17 = 62 \implies 45\,000\,000 + 17\,000\,000 = 62\,000\,000 \)
\( 10 - 5 = 5 \implies 100 - 50 = 50 \implies 1\,000\,000 - 500\,000 = 500\,000 \)
\( 10 - 5 = 5 \implies 100 - 50 = 50 \implies 1\,000\,000 - 500\,000 = 500\,000 \)
Сабирање и одузимање су међусобно повезане рачунске операције. Ако знамо збир два броја, можемо лако одредити разлику.
\[ a + b = c \implies c - a = b \quad \text{и} \quad c - b = a \]
Ако је \( 3\,000 + 2\,000 = 5\,000 \), онда је:
\( 5\,000 - 3\,000 = 2\,000 \)
\( 5\,000 - 2\,000 = 3\,000 \)
\( 5\,000 - 3\,000 = 2\,000 \)
\( 5\,000 - 2\,000 = 3\,000 \)
Веће бројеве можемо усмено сабирати и одузимати тако што их раставимо на хиљаде, стотине, десетице и јединице.
Групишемо хиљаде са хиљадама, а јединице са јединицама:
\( 2\,341 + 5\,236 = (2\,000 + 5\,000) + (341 + 236) = 7\,000 + 577 = 7\,577 \)
\( 2\,341 + 5\,236 = (2\,000 + 5\,000) + (341 + 236) = 7\,000 + 577 = 7\,577 \)
Постепено одузимамо месне вредности или раздвајамо умањеник на делове:
\( 1\,389 - 400 = (1\,300 + 89) - 400 = (1\,300 - 400) + 89 = 900 + 89 = 989 \)
\( 1\,389 - 400 = (1\,300 + 89) - 400 = (1\,300 - 400) + 89 = 900 + 89 = 989 \)
Писмено сабирање се врши потписивањем бројева један испод другог, тако да цифре истих месних вредности буду у истој колони. Рачуна се увек здесна налево.
Ако је збир цифара у једној колони већи од 9, записује се цифра јединица тог збира, а вишак десетица се "преноси" у следећу колону улево.
Сабирање више сабирака са прелазом: \( 2\,240 + 3\,935 + 2\,189 \)
\[
\begin{array}{cccccc}
& & 1 & 1 & 1 & \small{\text{(пренос)}}\\
& & 2 & 2 & 4 & 0 \\
& & 3 & 9 & 3 & 5 \\
+& & 2 & 1 & 8 & 9 \\
\hline
& & 8 & 3 & 6 & 4
\end{array}
\]
Када се вишецифрени бројеви одузимају потписивањем, поново се поравнавају месне вредности. Одузима се здесна налево.
Ако је цифра умањеника мања од одговарајуће цифре умањиоца, узимамо ("позајмљујемо") једну јединицу са следеће веће месне вредности (оне лево од ње), која вреди као 10 јединица тренутне месне вредности.
Одузимање са "позајмљивањем": \( 13\,946 - 8\,357 \)
\[
\begin{array}{ccccccc}
& & 13 & 8 & 13 & 16 & \small{\text{(после позајмљивања)}}\\
& \cancel{1} & \cancel{3} & \cancel{9} & \cancel{4} & \cancel{6} \\
-& & 8 & 3 & 5 & 7 \\
\hline
& & 5 & 5 & 8 & 9
\end{array}
\]
Одузимање од вишеструких декадних јединица (бројева који се завршавају нулама):
Ако треба да одузмемо \( 5\,000 - 731 \), "позајмљујемо" од хиљада. Цифра хиљада се смањује за 1, све нуле у средини постају 9, а последња нула (јединице) постаје 10. \[ \begin{array}{ccccc} & 4 & 9 & 9 & 10 \\ & \cancel{5} & \cancel{0} & \cancel{0} & \cancel{0} \\ - & & 7 & 3 & 1 \\ \hline & 4 & 2 & 6 & 9 \end{array} \]
Ако треба да одузмемо \( 5\,000 - 731 \), "позајмљујемо" од хиљада. Цифра хиљада се смањује за 1, све нуле у средини постају 9, а последња нула (јединице) постаје 10. \[ \begin{array}{ccccc} & 4 & 9 & 9 & 10 \\ & \cancel{5} & \cancel{0} & \cancel{0} & \cancel{0} \\ - & & 7 & 3 & 1 \\ \hline & 4 & 2 & 6 & 9 \end{array} \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај усмено збир и разлику бројева \( 75\,000 \) и \( 25\,000 \).
Сабирање: \( 75 + 25 = 100 \implies 75\,000 + 25\,000 = 100\,000 \)
Одузимање: \( 75 - 25 = 50 \implies 75\,000 - 25\,000 = 50\,000 \)
Одузимање: \( 75 - 25 = 50 \implies 75\,000 - 25\,000 = 50\,000 \)
Средњи: Израчунај писменим поступком (потписивањем): \( 24\,568 + 8\,794 \).
Потписујемо бројеве један испод другог пазећи на месне вредности:
\[
\begin{array}{cccccc}
& 1 & 1 & 1 & 1 & \\
& 2 & 4 & 5 & 6 & 8 \\
+& & 8 & 7 & 9 & 4 \\
\hline
& 3 & 3 & 3 & 6 & 2
\end{array}
\]
Одговор: \( 33\,362 \)
Тежак: Користећи везу сабирања и одузимања, одреди непознати број у једначини: \( x + 1\,458 = 9\,000 \), а затим га израчунај писменим поступком.
По правилу везе сабирања и одузимања: \( x = 9\,000 - 1\,458 \).
Одузимамо од вишеструке декадне јединице: \[ \begin{array}{ccccc} & 8 & 9 & 9 & 10 \\ & \cancel{9} & \cancel{0} & \cancel{0} & \cancel{0} \\ -& 1 & 4 & 5 & 8 \\ \hline & 7 & 5 & 4 & 2 \end{array} \] Одговор: Непознати број је \( 7\,542 \).
Одузимамо од вишеструке декадне јединице: \[ \begin{array}{ccccc} & 8 & 9 & 9 & 10 \\ & \cancel{9} & \cancel{0} & \cancel{0} & \cancel{0} \\ -& 1 & 4 & 5 & 8 \\ \hline & 7 & 5 & 4 & 2 \end{array} \] Одговор: Непознати број је \( 7\,542 \).
