Најважније из лекције
- Кружница је само линија (скуп тачака једнако удаљених од центра), док круг чини та линија заједно са свим тачкама унутар ње.
- Пречник (\( d \)) је најдужа тетива и двоструко је већи од полупречника (\( d = 2r \)).
- Права може бити сечица (пресеца кружницу у две тачке) или тангента (додирује је у само једној тачки).
- Две кружнице се могу додиривати споља (\( O_1O_2 = r_1 + r_2 \)) или изнутра (\( O_1O_2 = r_1 - r_2 \)).
Кружница (кружна линија) је скуп свих тачака у равни које су једнако удаљене од једне утврђене тачке која се назива центар.
Полупречник је дуж чије су крајње тачке центар и било која тачка на кружници.
Кружница са центром \( O \) и полупречником \( r \) обележава се са \( k(O, r) \).
Круг представља скуп свих тачака кружнице и свих њених унутрашњих тачака.
Круг са центром \( O \) и полупречником \( r \) обележава се са \( K(O, r) \).
Свака кружница дели раван на унутрашњост и спољашњост:
- Тачка \( U \) је унутрашња ако је њено растојање од центра мање од полупречника (\( OU < r \)).
- Тачка \( S \) је спољашња ако је њено растојање од центра веће од полупречника (\( OS > r \)).
Да ли центар \( O \) припада кружници \( k(O, r) \), а да ли припада кругу \( K(O, r) \)?
Центар \( O \) не припада кружници (јер је његово растојање од центра једнако 0, а не \( r \)), али припада кругу јер је унутрашња тачка (\( 0 < r \)).
Права и кружница могу имати највише две заједничке тачке.
Сечица је права која са кружницом има две заједничке тачке.
Тангента је права која са кружницом има само једну заједничку тачку, која се назива тачка додира.
Ако права и кружница немају ниједну заједничку тачку, да ли права пролази кроз унутрашњост или спољашњост кружнице?
Права пролази искључиво кроз спољашњост кружнице. Све тачке те праве налазе се на растојању већем од полупречника у односу на центар.
Тетива кружнице је дуж која спаја било које две тачке на тој кружници.
Пречник је најдужа тетива и то је она тетива која пролази кроз центар кружнице.
Пречник (\( d \)) је два пута дужи од полупречника (\( r \)):
\[ d = 2r \]
Кружни лук је део кружнице између две њене тачке. Пречник дели кружницу на два једнака кружна лука који се називају полукружнице.
Ако је полупречник кружнице \( 3,5 \text{ cm} \), колика је дужина њене најдуже тетиве?
Најдужа тетива је пречник кружнице.
\[ d = 2r = 2 \cdot 3,5 \text{ cm} = 7 \text{ cm} \]
Две кружнице могу имати највише две заједничке тачке. Ако имају само једну заједничку тачку, кажемо да се додирују.
Додиривање споља: Растојање између центара (\( O_1 \) и \( O_2 \)) једнако је збиру њихових полупречника.
\[ O_1O_2 = r_1 + r_2 \]
Додиривање изнутра: Растојање између центара једнако је разлици њихових полупречника (већег и мањег).
\[ O_1O_2 = r_1 - r_2 \quad (r_1 > r_2) \]
Концентричне кружнице су кружнице које имају заједнички центар, али различите полупречнике. Оне немају заједничких тачака.
Дате су кружнице \( k_1(O_1, 5 \text{ cm}) \) и \( k_2(O_2, 3 \text{ cm}) \). Ако је растојање између њихових центара \( 8 \text{ cm} \), у каквом су оне односу?
Пошто је \( r_1 + r_2 = 5 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \), а то је једнако растојању између центара (\( O_1O_2 \)), ове две кружнице се додирују споља.
Задаци за вежбање
Лак: Задата је кружница \( k(O, 4 \text{ cm}) \). Дате су тачке \( A \), \( B \) и \( C \) чија су растојања од центра редом \( OA = 3 \text{ cm} \), \( OB = 4 \text{ cm} \) и \( OC = 6 \text{ cm} \). Која тачка припада кружници, која је унутрашња, а која спољашња?
- Тачка \( A \) је унутрашња јер је \( 3 \text{ cm} < 4 \text{ cm} \).
- Тачка \( B \) припада кружници јер је \( 4 \text{ cm} = 4 \text{ cm} \).
- Тачка \( C \) је спољашња јер је \( 6 \text{ cm} > 4 \text{ cm} \).
Средњи: Дат је круг \( K(O, 7 \text{ cm}) \) и тачка \( P \) која се налази на растојању од \( 10 \text{ cm} \) од центра \( O \). Израчунај најкраће и најдуже растојање од тачке \( P \) до кружнице.
Тачка се налази ван круга.
- Најкраће растојање добијамо када од растојања до центра одузмемо полупречник:
\( 10 \text{ cm} - 7 \text{ cm} = 3 \text{ cm} \) - Најдуже растојање добијамо када на растојање до центра додамо полупречник:
\( 10 \text{ cm} + 7 \text{ cm} = 17 \text{ cm} \)
Тежак: Две кружнице се додирују изнутра. Растојање између њихових центара је \( 6 \text{ cm} \). Ако је полупречник мање кружнице \( 4 \text{ cm} \), колики је пречник веће кружнице?
Када се кружнице додирују изнутра, важи правило:
\[ O_1O_2 = r_1 - r_2 \]
У овом случају је \( O_1O_2 = 6 \text{ cm} \) и \( r_2 = 4 \text{ cm} \).
\[ 6 \text{ cm} = r_1 - 4 \text{ cm} \]
\[ r_1 = 6 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 10 \text{ cm} \]
Полупречник веће кружнице је \( 10 \text{ cm} \). Задатак тражи пречник веће кружнице:
\[ d = 2 \cdot r_1 = 2 \cdot 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} \]
