Најважније из лекције
- Основне једначине се решавају применом супротних математичких операција (нпр. непознати сабирак се тражи одузимањем).
- Код сложених једначина прво се решавају операције које имају мањи приоритет (сабирање и одузимање) изван заграда, док се делови са вишим приоритетом (множење, дељење, заграде) чувају као "блок" све док не остану сами.
- Неједначине са одузимањем захтевају пажњу: када тражимо решења у скупу природних бројева, умањеник увек мора бити већи или једнак умањиоцу (\( x \ge a \) или \( x \le a \)).
- Увек провери решење уврштавањем добијеног броја у почетну једначину!
Решавање најразноврснијих математичких проблема често се своди на састављање и решавање једначина. Да би се то успешно урадило, потребно је пратити четири основна корака.
Пажљиво прочитај поставку. Издвој дате податке, уочи шта се тражи и препричај задатак својим речима.
Добро размисли. Уочавај везе међу подацима. По потреби нацртај слику или скицу.
Реши задатак. Вешто рачунај, прецизно цртај и уредно пиши.
Провери решење. Увери се да добијено решење задовољава почетне услове задатка.
Једначине решавамо коришћењем инверзних (супротних) операција. Сабирање је повезано са одузимањем, а множење са дељењем.
Непознати сабирак и чинилац:
\( x + a = b \implies x = b - a \)
\( x \cdot a = b \implies x = b : a \)
\( x + a = b \implies x = b - a \)
\( x \cdot a = b \implies x = b : a \)
Непознати умањеник и умањилац:
\( x - a = b \implies x = b + a \) (умањеник се добија сабирањем)
\( a - x = b \implies x = a - b \) (умањилац се добија одузимањем)
\( x - a = b \implies x = b + a \) (умањеник се добија сабирањем)
\( a - x = b \implies x = a - b \) (умањилац се добија одузимањем)
Непознати дељеник и делилац:
\( x : a = b \implies x = b \cdot a \) (дељеник се добија множењем)
\( a : x = b \implies x = a : b \) (делилац се добија дељењем)
\( x : a = b \implies x = b \cdot a \) (дељеник се добија множењем)
\( a : x = b \implies x = a : b \) (делилац се добија дељењем)
Ако је \( x - 15 = 45 \), тада је непознат умањеник:
\[ x = 45 + 15 \implies x = 60 \]
Реши једначину: \( 72 : x = 8 \)
Непознат је делилац, рачунамо га тако што дељеник поделимо количником.
\( x = 72 : 8 \)
\( x = 9 \)
\( x = 72 : 8 \)
\( x = 9 \)
Приликом решавања сложених једначина, морамо водити рачуна о приоритету рачунских операција. Операције множења и дељења имају предност над сабирањем и одузимањем.
Израз који садржи непознату и операцију вишег приоритета (нпр. \( x \cdot 2 \)) посматрамо као један јединствен непознати члан (нпр. непознати сабирак) све док га не изолујемо на једној страни једначине.
Решимо једначину \( x \cdot 2 + 70 = 750 \).
Множење је приоритетније, па \( x \cdot 2 \) посматрамо као непознати сабирак: \[ x \cdot 2 = 750 - 70 \] \[ x \cdot 2 = 680 \]
Сада имамо једноставну једначину са непознатим чиниоцем: \[ x = 680 : 2 \implies x = 340 \]
Множење је приоритетније, па \( x \cdot 2 \) посматрамо као непознати сабирак: \[ x \cdot 2 = 750 - 70 \] \[ x \cdot 2 = 680 \]
Сада имамо једноставну једначину са непознатим чиниоцем: \[ x = 680 : 2 \implies x = 340 \]
Реши једначину: \( 958 - (x : 71) = 12 \)
Израз у загради \( (x : 71) \) посматрамо као непознати умањилац:
\( x : 71 = 958 - 12 \)
\( x : 71 = 946 \)
Сада је \( x \) непознати дељеник:
\( x = 946 \cdot 71 \)
\( x = 67166 \)
\( x : 71 = 958 - 12 \)
\( x : 71 = 946 \)
Сада је \( x \) непознати дељеник:
\( x = 946 \cdot 71 \)
\( x = 67166 \)
Решавање неједначина са сабирањем и одузимањем прати слична правила као и код једначина, али се решење представља као скуп бројева.
Основна правила:
За \( x + a < b \implies x < b - a \)
За \( x - a < b \implies x < b + a \)
За \( a - x < b \implies x > a - b \) (обратити пажњу на промену смера знака ако се неједначина другачије тумачи)
За \( x + a < b \implies x < b - a \)
За \( x - a < b \implies x < b + a \)
За \( a - x < b \implies x > a - b \) (обратити пажњу на промену смера знака ако се неједначина другачије тумачи)
Када решавамо неједначине у скупу природних бројева (и нуле), разлика мора бити природан број или нула! Због тога уводимо додатне услове:
- Код \( x - a < b \) мора да важи \( x \ge a \).
- Код \( a - x < b \) (где је \( a \le b \)) мора да важи \( x \le a \).
Решимо неједначину \( 10 - x < 7 \).
Према правилу: \( x > 10 - 7 \implies x > 3 \).
Због услова да разлика не може бити негативна: \( x \le 10 \).
Решења су: \( x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \).
Према правилу: \( x > 10 - 7 \implies x > 3 \).
Због услова да разлика не може бити негативна: \( x \le 10 \).
Решења су: \( x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \).
Одреди скуп решења неједначине \( x - 5 \le 3 \).
Решавање неједначине: \( x \le 3 + 5 \implies x \le 8 \).
Услов за одузимање: умањеник мора бити већи или једнак умањиоцу, па је \( x \ge 5 \).
Бројеви који испуњавају оба услова су: \( x \in \{5, 6, 7, 8\} \).
Услов за одузимање: умањеник мора бити већи или једнак умањиоцу, па је \( x \ge 5 \).
Бројеви који испуњавају оба услова су: \( x \in \{5, 6, 7, 8\} \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Реши једначину \( x + 124 = 350 \).
Непознат је сабирак:
\( x = 350 - 124 \)
\( x = 226 \)
\( x = 350 - 124 \)
\( x = 226 \)
Средњи задатак: Ива је три кугле сладоледа и сок платила 360 динара. Ако сок кошта 120 динара, колико кошта једна кугла сладоледа? Састави и реши једначину.
Ако са \( x \) означимо цену једне кугле сладоледа, једначина гласи:
\( 3 \cdot x + 120 = 360 \)
\( 3 \cdot x = 360 - 120 \)
\( 3 \cdot x = 240 \)
\( x = 240 : 3 \)
\( x = 80 \)
Одговор: Једна кугла сладоледа кошта 80 динара.
\( 3 \cdot x + 120 = 360 \)
\( 3 \cdot x = 360 - 120 \)
\( 3 \cdot x = 240 \)
\( x = 240 : 3 \)
\( x = 80 \)
Одговор: Једна кугла сладоледа кошта 80 динара.
Тежак задатак: Реши сложену једначину \( (x - 14) \cdot 5 = 120 \).
Израз у загради \( (x - 14) \) посматрамо као непознати чинилац:
\( x - 14 = 120 : 5 \)
\( x - 14 = 24 \)
Сада је \( x \) непознати умањеник:
\( x = 24 + 14 \)
\( x = 38 \)
\( x - 14 = 120 : 5 \)
\( x - 14 = 24 \)
Сада је \( x \) непознати умањеник:
\( x = 24 + 14 \)
\( x = 38 \)
Тежак задатак: Одреди сва решења неједначине \( 21 - x > 13 \) у скупу природних бројева и нуле.
Решавамо неједначину са непознатим умањиоцем:
\( x < 21 - 13 \)
\( x < 8 \)
Услов (да би разлика била дефинисана): \( x \le 21 \) (овај услов је већ испуњен јер је \( x < 8 \)).
Пошто тражимо решења у скупу природних бројева и нуле, решења су:
\( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
\( x < 21 - 13 \)
\( x < 8 \)
Услов (да би разлика била дефинисана): \( x \le 21 \) (овај услов је већ испуњен јер је \( x < 8 \)).
Пошто тражимо решења у скупу природних бројева и нуле, решења су:
\( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
