Најважније из лекције
Скуп и елементи: Скуп је одређен својим елементима (\( \in, \notin \)). Редослед и понављање елемената нису битни. Основни скупови бројева: \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \) и \( \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \).
Подскуп и празан скуп: \( A \subset B \) значи да су сви елементи из \( A \) такође и у \( B \). Празан скуп \( \emptyset \) нема елемената и подскуп је сваког скупа.
Скуповне операције:
Придруживање: Бројањем и мерењем објектима додељујемо бројеве, а уочене правилности у низовима записујемо алгебарским изразима са променљивом (нпр. \( 2n + 1 \)).
Подскуп и празан скуп: \( A \subset B \) значи да су сви елементи из \( A \) такође и у \( B \). Празан скуп \( \emptyset \) нема елемената и подскуп је сваког скупа.
Скуповне операције:
- Пресек (\( \cap \)): заједнички елементи (\( x \in A \) и \( x \in B \)).
- Унија (\( \cup \)): сви елементи оба скупа (\( x \in A \) или \( x \in B \)).
- Разлика (\( \setminus \)): елементи само првог скупа (\( x \in A \) и \( x \notin B \)).
- Дисјунктни скупови: скупови без заједничких елемената (\( A \cap B = \emptyset \)).
Придруживање: Бројањем и мерењем објектима додељујемо бројеве, а уочене правилности у низовима записујемо алгебарским изразима са променљивом (нпр. \( 2n + 1 \)).
Скуп је целина састављена од одређених објеката које називамо елементима или члановима тог скупа.
Скупове означавамо великим словима латинице (\(A, B, C, \dots\)). Симбол \( \in \) означава да елемент припада скупу, а симбол \( \notin \) да не припада.
Скуп је у потпуности одређен својим елементима:
- Редослед навођења елемената унутар витичастих заграда \( \{ \} \) није важан.
- Вишеструко навођење истог елемента не мења скуп (нпр. \( \{1, 2\} = \{1, 2, 2\} \)).
Венов дијаграм је графички приказ скупа помоћу затворене линије, при чему тачке унутар ње представљају елементе тог скупа.
Скупови могу бити:
- Коначни: садрже избројив број елемената (нпр. скуп дељилаца броја 6: \( \{1, 2, 3, 6\} \)).
- Бесконачни: садрже бесконачно много елемената, попут скупа природних бројева \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} \) или проширеног скупа природних бројева \( \mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \).
Нека је \( S \) скуп свих непарних природних бројева мањих од 8.
Запис скупа: \( S = \{1, 3, 5, 7\} \).
Припадање: \( 3 \in S \), док \( 4 \notin S \) и \( 9 \notin S \).
Запис скупа: \( S = \{1, 3, 5, 7\} \).
Припадање: \( 3 \in S \), док \( 4 \notin S \) и \( 9 \notin S \).
Скуп \( A \) је подскуп скупа \( B \) (ознака \( A \subset B \)) ако је сваки елемент скупа \( A \) уједно и елемент скупа \( B \).
За сваки скуп \( A \) важи да је сам себи подскуп: \( A \subset A \).
Празан скуп је скуп који нема ниједан елемент. Означава се са \( \emptyset \) или \( \varnothing \).
Празан скуп је подскуп сваког скупа: за сваки скуп \( A \) важи \( \emptyset \subset A \).
Ако је скуп једноцифрених бројева \( J = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), а скуп парних једноцифрених бројева \( P = \{2, 4, 6, 8\} \), онда је \( P \subset J \).
Одредити скуп решења једначине \( x + 5 = 2 \) у скупу природних бројева \( \mathbb{N} \).
Не постоји природан број \( x \) који задовољава ову једначину. Према томе, скуп решења је празан скуп: \( \emptyset \).
Пресек скупова (\( \cap \)): чине елементи који припадају и скупу \( A \) и скупу \( B \).
\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\} \]
Унија скупова (\( \cup \)): чине елементи који припадају скупу \( A \) или скупу \( B \) (бар једном од њих).
\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\} \]
Разлика скупова (\( \setminus \)): чине елементи који припадају скупу \( A \), а не припадају скупу \( B \).
\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\} \]
Својства скуповних операција:
- Комутативност: \( A \cap B = B \cap A \) и \( A \cup B = B \cup A \).
- Разлика у општем случају није комутативна: \( A \setminus B \neq B \setminus A \).
- Ако је \( A \subset B \), онда је \( A \cap B = A \), \( A \cup B = B \), а \( A \setminus B = \emptyset \).
Скупови чији је пресек празан скуп (\( A \cap B = \emptyset \)) називају се дисјунктни скупови. За њих важи: \( A \setminus B = A \) и \( B \setminus A = B \).
За скупове \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) и \( B = \{3, 4, 5, 6\} \):
- \( A \cap B = \{3, 4\} \)
- \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
- \( A \setminus B = \{1, 2\} \)
- \( B \setminus A = \{5, 6\} \)
Логичке речи повезују се са скуповним релацијама и операцијама:
- „Сваки” (произвољан, било који): указује на подскуп. Реченица „Сваки \( A \) је \( B \)” значи \( A \subset B \). Одатле следи да „неки \( B \) нису \( A \)”.
- „Неки” (бар један): означава постојање бар једног елемента са датим својством.
- „И” одговара пресеку скупова (\( \cap \)).
- „Или” одговара унији скупова (\( \cup \)).
- „Не” одговара разлици или одсуству из скупа.
Математички искази облика „Ако \( P \), онда \( Q \)”:
- Ако знамо да је \( P \) тачно, закључујемо да је и \( Q \) тачно.
- Ако знамо да \( Q \) није тачно, онда закључујемо да ни \( P \) није тачно.
Приликом решавања задатака са Веновим дијаграмима, унију два скупа рашчлањујемо на три дисјунктна дела:
- Само у првом скупу: \( A \setminus B \)
- У оба скупа (пресек): \( A \cap B \)
- Само у другом скупу: \( B \setminus A \)
Придруживање је поступак додељивања вредности (најчешће бројева) одређеним објектима или појмовима. Основни поступци придруживања су бројање и мерење.
Уочавањем правилности између редног броја члана низа (\( n \)) и одговарајуће величине формира се израз са променљивом који омогућава рачунање било ког члана без продужавања цртања или појединачног бројања.
Низ квадрата од палидрваца:
За 1 квадрат потребно је \( 4 = 1 + 3 \cdot 1 \) палидрвца.
За 2 спојена квадрата потребно је \( 7 = 1 + 3 \cdot 2 \) палидрваца.
За \( n \) спојених квадрата потребно је \( 1 + 3n \) палидрваца.
За 1 квадрат потребно је \( 4 = 1 + 3 \cdot 1 \) палидрвца.
За 2 спојена квадрата потребно је \( 7 = 1 + 3 \cdot 2 \) палидрваца.
За \( n \) спојених квадрата потребно је \( 1 + 3n \) палидрваца.
Формуле за обим и површину правоугаоника представљају правилности са две променљиве (\( a \) и \( b \)):
\[ O = 2a + 2b = 2(a + b) \qquad P = a \cdot b \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дати су скупови \( A = \{2, 3, 5, 7\} \) и \( B = \{1, 3, 5, 9\} \).
Одредити: а) \( A \cap B \); б) \( A \cup B \); в) \( A \setminus B \).
Одредити: а) \( A \cap B \); б) \( A \cup B \); в) \( A \setminus B \).
а) Пресек чине заједнички елементи: \( A \cap B = \{3, 5\} \).
б) Унију чине сви елементи из оба скупа без понављања: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\} \).
в) Разлику чине елементи који су у \( A \), а нису у \( B \): \( A \setminus B = \{2, 7\} \).
б) Унију чине сви елементи из оба скупа без понављања: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\} \).
в) Разлику чине елементи који су у \( A \), а нису у \( B \): \( A \setminus B = \{2, 7\} \).
Задатак 2 (средњи): У једном одељењу са 25 ученика сваки ученик учи бар један страни језик: енглески или немачки. Енглески учи 17 ученика, а немачки 14 ученика.
а) Колико ученика учи оба језика?
б) Колико ученика учи само немачки?
а) Колико ученика учи оба језика?
б) Колико ученика учи само немачки?
Нека је \( E \) скуп ученика који уче енглески, а \( N \) немачки. Знамо да је укупно ученика \( 25 \), односно у унији има 25 елемената.
Збир броја ученика по групама: \( 17 + 14 = 31 \).
а) Разлика између овог збира и укупног броја ученика представља оне који су бројани два пута (пресек): \[ 31 - 25 = 6 \] Дакле, 6 ученика учи оба језика (\( E \cap N \)).
б) Број ученика који уче само немачки добија се одузимањем пресека од укупног броја оних који уче немачки: \[ 14 - 6 = 8 \] Дакле, 8 ученика учи само немачки (\( N \setminus E \)).
Збир броја ученика по групама: \( 17 + 14 = 31 \).
а) Разлика између овог збира и укупног броја ученика представља оне који су бројани два пута (пресек): \[ 31 - 25 = 6 \] Дакле, 6 ученика учи оба језика (\( E \cap N \)).
б) Број ученика који уче само немачки добија се одузимањем пресека од укупног броја оних који уче немачки: \[ 14 - 6 = 8 \] Дакле, 8 ученика учи само немачки (\( N \setminus E \)).
Задатак 3 (средњи): На основу тврдње: „Свака пастрмка је риба”, одредити која су од следећих закључивања тачна:
а) Ако је животиња пастрмка, онда је она риба.
б) Ако животиња није пастрмка, онда она сигурно није риба.
в) Ако животиња није риба, онда она сигурно није пастрмка.
а) Ако је животиња пастрмка, онда је она риба.
б) Ако животиња није пастрмка, онда она сигурно није риба.
в) Ако животиња није риба, онда она сигурно није пастрмка.
Означимо скуп пастрмки са \( P \), а скуп риба са \( R \). Из реченице следи \( P \subset R \).
а) Тачно. Будући да је \( P \subset R \), сваки члан скупа \( P \) истовремено је и члан скупа \( R \).
б) Нетачно. Постоје друге рибе које нису пастрмке (нпр. шаран је риба, а није пастрмка).
в) Тачно. Ако животиња није у ширем скупу \( R \), никако не може бити ни у његовом подскупу \( P \).
а) Тачно. Будући да је \( P \subset R \), сваки члан скупа \( P \) истовремено је и члан скупа \( R \).
б) Нетачно. Постоје друге рибе које нису пастрмке (нпр. шаран је риба, а није пастрмка).
в) Тачно. Ако животиња није у ширем скупу \( R \), никако не може бити ни у његовом подскупу \( P \).
Задатак 4 (тежак): Фигуре у низу састављају се од једнаких троуглова од жице:
- 1. фигура има 1 троугао и састоји се од 3 жице.
- 2. фигура има 2 спојена троугла (деле једну заједничку страницу) и састоји се од 5 жица.
- 3. фигура има 3 у низу спојена троугла и састоји се од 7 жица.
а) Написати израз којим се одређује број жица за \( n \)-ту фигуру у низу.
б) Колико је жица потребно за 75. фигуру?
в) Која по реду фигура је састављена од тачно 81 жице?
- 1. фигура има 1 троугао и састоји се од 3 жице.
- 2. фигура има 2 спојена троугла (деле једну заједничку страницу) и састоји се од 5 жица.
- 3. фигура има 3 у низу спојена троугла и састоји се од 7 жица.
а) Написати израз којим се одређује број жица за \( n \)-ту фигуру у низу.
б) Колико је жица потребно за 75. фигуру?
в) Која по реду фигура је састављена од тачно 81 жице?
Уочавамо законитост:
1. фигура: \( 3 = 1 + 2 \cdot 1 \)
2. фигура: \( 5 = 1 + 2 \cdot 2 \)
3. фигура: \( 7 = 1 + 2 \cdot 3 \)
Сваки нови троугао у низу захтева 2 нове жице (једна је већ постојећа).
а) Формула за \( n \)-ту фигуру је: \( 2n + 1 \) (или \( 1 + 2n \)).
б) За \( n = 75 \): \[ 2 \cdot 75 + 1 = 150 + 1 = 151 \text{ жица} \]
в) Постављамо једначину: \[ 2n + 1 = 81 \] \[ 2n = 80 \implies n = 40 \] Дакле, у питању је 40. фигура у низу.
1. фигура: \( 3 = 1 + 2 \cdot 1 \)
2. фигура: \( 5 = 1 + 2 \cdot 2 \)
3. фигура: \( 7 = 1 + 2 \cdot 3 \)
Сваки нови троугао у низу захтева 2 нове жице (једна је већ постојећа).
а) Формула за \( n \)-ту фигуру је: \( 2n + 1 \) (или \( 1 + 2n \)).
б) За \( n = 75 \): \[ 2 \cdot 75 + 1 = 150 + 1 = 151 \text{ жица} \]
в) Постављамо једначину: \[ 2n + 1 = 81 \] \[ 2n = 80 \implies n = 40 \] Дакле, у питању је 40. фигура у низу.
