Најважније из лекције
Дељивост (\( b \mid a \)): Број \( a \) је дељив бројем \( b \) ако је дељење без остатка (\( a = b \cdot q \)). Скуп делилаца \( D_n \) је коначан (\( 1 \le d \le n \)), а скуп природних садржалаца \( S_n \) је бесконачан.
Својства:
Својства:
- Чинилац: \( a \mid b \implies a \mid (b \cdot c) \). (Пример: \( 4 \mid 12 \implies 4 \mid 120 \))
- Збир и разлика: \( a \mid b \land a \mid c \implies a \mid (b \pm c) \). Ако само један сабирак није дељив, збир није дељив.
- 2: парна последња цифра (\( 0, 2, 4, 6, 8 \))
- 5: последња цифра \( 0 \) или \( 5 \)
- 10, 100...: завршава се са барем толико нула
- 4: двоцифрени завршетак дељив са 4 (нпр. \( 316 \rightarrow 16 \))
- 25: двоцифрени завршетак је \( 00, 25, 50 \) или \( 75 \)
- 3 и 9: збир цифара дељив са 3, односно са 9 (нпр. за 342: \( 3+4+2=9 \), па је дељив и са 3 и са 9)
Број \( a \in \mathbb{N}_0 \) је дељив природним бројем \( b \) (\( b \neq 0 \)) ако постоји број \( q \in \mathbb{N}_0 \) такав да је \( a = b \cdot q \).
Пишемо \( b \mid a \) („\( b \) дели \( a \)“ или „\( a \) је дељиво са \( b \)“). Ако број \( b \) не дели број \( a \), пишемо \( b \nmid a \).
Ако \( b \mid a \), онда је број \( b \) делилац броја \( a \), а број \( a \) је садржалац броја \( b \).
Дељење \( a : b \) је рачунска операција (израз чија вредност је број), док је дељивост \( b \mid a \) релација (исказ који може бити тачан или нетачан).
Скуп свих делилаца броја \( n \) означава се са \( D_n \). Овај скуп је коначан. За сваки природан број \( n \) важи \( 1 \mid n \) и \( n \mid n \), па је најмањи делилац 1, а највећи сам тај број \( n \) (\( 1 \le d \le n \)).
Скуп свих природних садржалаца броја \( n \) означава се са \( S_n \). Овај скуп је бесконачан: \( S_n = \{n, 2n, 3n, 4n, \dots\} \). Најмањи природни садржалац је сам број \( n \), а највећи не постоји.
За број 12:
\[ D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \]
\[ S_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, \dots\} \]
Сваки делилац неког броја дели и све садржаоце тог броја:
\[ a \mid b \implies a \mid k \cdot b \quad (k \in \mathbb{N}) \]
Транзитивност дељивости:
\[ (a \mid b \land b \mid c) \implies a \mid c \]
Дељивост производа: Ако је бар један чинилац производа дељив бројем \( a \), онда је и цео производ дељив бројем \( a \):
\[ a \mid b \implies a \mid (b \cdot c) \quad \text{и} \quad a \mid c \implies a \mid (b \cdot c) \]
Пошто \( 7 \mid 21 \), одатле следи да \( 7 \mid (21 \cdot 13) \), односно \( 7 \mid 273 \), без потребе за множењем.
Ако број \( a \) дели сваки од сабирака, онда дели и њихов збир и њихову разлику:
\[ (a \mid b \land a \mid c) \implies a \mid (b + c) \]
\[ (a \mid b \land a \mid c \land b > c) \implies a \mid (b - c) \]
Ако број \( a \) дели један сабирак, а не дели други, онда не дели њихов збир ни њихову разлику:
\[ (a \mid b \land a \nmid c) \implies a \nmid (b + c) \quad \text{и} \quad a \nmid (b - c) \]
Ако број \( a \) не дели ниједан од сабирака, збир може бити дељив бројем \( a \).
На пример: \( 7 \nmid 10 \) и \( 7 \nmid 11 \), али \( 7 \mid (10 + 11) \) јер је \( 10 + 11 = 21 \), а \( 7 \mid 21 \).
На пример: \( 7 \nmid 10 \) и \( 7 \nmid 11 \), али \( 7 \mid (10 + 11) \) јер је \( 10 + 11 = 21 \), а \( 7 \mid 21 \).
Испитајмо дељивост броја \( 609 \) са 3:
\[ 609 = 6 \cdot 100 + 9 \]
Како \( 3 \mid 6 \implies 3 \mid (6 \cdot 100) \), и како \( 3 \mid 9 \), закључујемо да \( 3 \mid 609 \).
Дељивост декадним јединицама: Број је дељив декадном јединицом (\( 10, 100, 1\,000, \dots \)) ако се његов запис завршава са бар онолико нула колико их та декадна јединица има.
Дељивост бројем 2: Број је дељив са 2 ако му је последња цифра парна, тј. једнака неком од бројева из скупа \( \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
Дељивост бројем 5: Број је дељив са 5 ако му је цифра јединица \( 0 \) или \( 5 \).
Дељивост бројем 4: Број је дељив са 4 ако је његов двоцифрени завршетак дељив са 4.
Дељивост бројем 25: Број је дељив са 25 ако му је двоцифрени завршетак \( 00, 25, 50 \) или \( 75 \).
Остатак при дељењу неког броја бројем 10 одређује његова последња цифра, а остатак при дељењу са 100 његов двоцифрени завршетак.
Посматрајмо број \( 45\,372 \):
- Није дељив са 10 ни са 5 (последња цифра је 2).
- Дељив је са 2 (последња цифра је 2).
- Дељив је са 4 (двоцифрени завршетак је 72, а \( 72 : 4 = 18 \)).
- Није дељив са 25 (двоцифрени завршетак 72 није из скупа \( \{00, 25, 50, 75\} \)).
Дељивост бројем 3: Природан број је дељив са 3 ако је збир његових цифара дељив са 3.
Дељивост бројем 9: Природан број је дељив са 9 ако је збир његових цифара дељив са 9.
Све декадне јединице при дељењу са 9 (и са 3) дају остатак 1:
\[ 10 = 9 + 1, \quad 100 = 99 + 1, \quad 1\,000 = 999 + 1 \]
Растављањем броја на збир делова дељивих са 9 и збира цифара, дељивост целог броја зависи искључиво од дељивости збира његових цифара.
За број \( 7\,434 \):
Збир цифара је \( 7 + 4 + 3 + 4 = 18 \).
Пошто \( 3 \mid 18 \), број \( 7\,434 \) је дељив са 3.
Пошто \( 9 \mid 18 \), број \( 7\,434 \) је такође дељив и са 9.
Збир цифара је \( 7 + 4 + 3 + 4 = 18 \).
Пошто \( 3 \mid 18 \), број \( 7\,434 \) је дељив са 3.
Пошто \( 9 \mid 18 \), број \( 7\,434 \) је такође дељив и са 9.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
Одреди скуп свих делилаца броја 28 (\( D_{28} \)) и напиши првих пет природних садржалаца броја 7 (\( S_7 \)).
Делиоци броја 28 су сви природни бројеви којима се 28 може поделити без остатка:
\[ D_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} \]
Првих пет природних садржалаца броја 7 добијамо множењем броја 7 бројевима 1, 2, 3, 4 и 5:
\[ S_7 = \{7, 14, 21, 28, 35, \dots\} \]
Задатак 2 (средњи):
Дат је број \( 51\,660 \). Користећи правила дељивости, испитај да ли је овај број дељив бројевима 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25.
- Са 2: Да, јер се завршава цифром 0.
- Са 5: Да, јер се завршава цифром 0.
- Са 10: Да, јер се завршава најмање једном нулом.
- Са 4: Двоцифрени завршетак је 60. Како је \( 60 : 4 = 15 \), број је дељив са 4.
- Са 25: Двоцифрени завршетак је 60, што није у скупу \( \{00, 25, 50, 75\} \), па број није дељив са 25.
- Са 3 и 9: Збир цифара је \( 5 + 1 + 6 + 6 + 0 = 18 \).
Како је 18 дељиво са 3, број је дељив са 3.
Како је 18 дељиво са 9, број је дељив са 9.
Задатак 3 (средњи):
Без израчунавања бројевне вредности, образложи да ли је:
а) Израз \( 6 \cdot 41 + 18 \) дељив са 6;
б) Израз \( 7 \cdot 29 + 15 \) дељив са 7.
а) Израз \( 6 \cdot 41 + 18 \) дељив са 6;
б) Израз \( 7 \cdot 29 + 15 \) дељив са 7.
а) Први сабирак \( 6 \cdot 41 \) је дељив са 6 (јер садржи чинилац 6). Други сабирак је 18, а како је \( 18 = 6 \cdot 3 \), и он је дељив са 6. Пошто су оба сабирка дељива са 6, збир је дељив са 6.
б) Први сабирак \( 7 \cdot 29 \) је дељив са 7 (садржи чинилац 7). Други сабирак је 15, који није дељив са 7 (\( 7 \nmid 15 \)). Пошто један сабирак јесте дељив, а други није, збир није дељив са 7.
б) Први сабирак \( 7 \cdot 29 \) је дељив са 7 (садржи чинилац 7). Други сабирак је 15, који није дељив са 7 (\( 7 \nmid 15 \)). Пошто један сабирак јесте дељив, а други није, збир није дељив са 7.
Задатак 4 (тежак):
Одреди све цифре \( x \) тако да петоцифрени број \( \overline{42x16} \) буде дељив бројем 9. Након тога провери да ли је тај број дељив и бројем 4.
1. Дељивост са 9:
Збир цифара броја \( \overline{42x16} \) је:
\[ 4 + 2 + x + 1 + 6 = 13 + x \]
Да би број био дељив са 9, збир \( 13 + x \) мора бити дељив са 9. Пошто је \( x \) цифра (\( x \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \)), вредност \( 13 + x \) може бити између 13 и 22. Једини садржалац броја 9 у том интервалу је 18:
\[ 13 + x = 18 \implies x = 5 \]
Дакле, једина цифра је \( x = 5 \), а тражени број је \( 42\,516 \).
2. Дељивост са 4: Посматрамо двоцифрени завршетак броја \( 42\,516 \), а то је 16. Пошто \( 4 \mid 16 \) (\( 16 : 4 = 4 \)), број \( 42\,516 \) јесте дељив бројем 4.
2. Дељивост са 4: Посматрамо двоцифрени завршетак броја \( 42\,516 \), а то је 16. Пошто \( 4 \mid 16 \) (\( 16 : 4 = 4 \)), број \( 42\,516 \) јесте дељив бројем 4.
