Најважније из лекције
Линеарна једначина са две непознате: Облика \(ax + by = c\); решење је сваки уређени пар \((x, y)\) који задовољава једначину (има их бесконачно много и чине праву у равни).
Систем једначина: Тражење заједничког решења \((x, y)\) за две једначине.
Број решења:
Систем једначина: Тражење заједничког решења \((x, y)\) за две једначине.
Број решења:
- Јединствено решење: праве се секу у тачки \((x_0, y_0)\).
- Нема решења: праве су паралелне (долази се до нетачне једнакости типа \(0 \cdot x = 5\)).
- Бесконачно решења: праве се поклапају (долази се до идентитета \(0 \cdot x = 0\)).
- Метод замене: изразити једну непознату и уврстити у другу једначину (погодно када је уз неку непознату коефицијент \(1\) или \(-1\)).
- Метод супротних коефицијената: множењем подесним бројевима створити супротне коефицијенте уз исту непознату и сабрати једначине.
Линеарна једначина са две непознате \(x\) и \(y\) је свака једначина која се може трансформисати у облик:
\[ ax + by + c = 0 \quad (\text{или } ax + by = c) \]
где су \(a, b, c \in \mathbb{R}\), при чему коефицијенти \(a\) и \(b\) нису истовремено једнаки нули (\(a^2 + b^2 \neq 0\)).
Решење линеарне једначине са две непознате је сваки уређени пар реалних бројева \((x_0, y_0)\) који, када се уврсти уместо \(x\) и \(y\), даје тачну бројевну једнакост:
\[ ax_0 + by_0 + c = 0 \]
Линеарна једначина са две непознате има бесконачно много решења. Геометријски приказ свих њених решења у координатној равни представља праву. Једначина има онолико решења колико права има тачака.
За једначину \(3x + 2y - 1 = 0\):
- Пар \((1, -1)\) јесте решење јер важи \(3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0\).
- Пар \((0, 0)\) није решење јер важи \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 = -1 \neq 0\).
Одреди да ли је уређени пар \((3, -1)\) решење једначине \(2x - 5y = 11\).
Заменом \(x = 3\) и \(y = -1\) у леву страну једначине добијамо:
\[ 2 \cdot 3 - 5 \cdot (-1) = 6 + 5 = 11 \]
Пошто је вредност једнака десној страни (\(11 = 11\)), уређени пар \((3, -1)\) јесте решење дате једначине.
Општи облик система од две линеарне једначине са две непознате гласи:
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]
где су \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) дати реални бројеви.
Решење система је сваки уређени пар реалних бројева \((x_0, y_0)\) који представља заједничко решење обе једначине тог система.
Еквивалентни системи су они системи који имају исти скуп свих решења, или оба система немају решење.
Систем трансформишемо у њему еквивалентан систем применом следећих правила:
- Једначину система можемо заменити њој еквивалентном једначином (множењем или дељењем обе стране бројем различитим од нуле, пребацивањем чланова с једне стране на другу уз промену знака).
- Непознату у једној једначини можемо заменити одговарајућим изразом из друге једначине.
- Једну једначину система можемо заменити „збиром” или „разликом” једначина тог система.
Свакој линеарној једначини одговара једна права у Декартовом координатном систему. Графички приказ система две једначине чине две праве, чији узајамни положај одређује број решења система:
| Међусобни положај правих | Број решења система | Алгебарски облик / понашање |
|---|---|---|
| Праве се секу у једној тачки | Јединствено решење \((x_0, y_0)\) | Различити коефицијенти правца (\(k_1 \neq k_2\)). Добија се тачно одређена вредност за \(x\) и \(y\). |
| Праве су паралелне (различите) | Нема решења (немогућ систем) | Исти коефицијенти правца, различити слободни чланови. Долази се до нетачне једнакости, нпр. \(0 \cdot x = c\) (\(c \neq 0\)). |
| Праве се поклапају (иста права) | Бесконачно много решења (неодређен систем) | Једначине су еквивалентне. Долази се до идентитета \(0 \cdot x = 0\), а решења су сви парови облика \((x, y)\) са те праве. |
1. Метод замене
Из једне једначине изразити једну непознату преко друге (најпогодније је изабрати непознату испред које је коефицијент \(1\) или \(-1\)).
Тај израз уврстити у другу једначину уместо те непознате, чиме се добија једначина с само једном непознатом.
Решити добијену једначину са једном непознатом.
Добијену вредност уврстити у израз из корака 1 да би се одредила вредност друге непознате.
Решити систем:
\[ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]
Из прве једначине изразимо \(x\): \(x = 8 - 2y\).
Уврстимо у другу: \[ 2(8 - 2y) - y = 1 \implies 16 - 4y - y = 1 \implies -5y = -15 \implies y = 3 \] Вратимо вредност за \(y\): \(x = 8 - 2 \cdot 3 = 2\).
Решење је уређени пар \((2, 3)\).
Уврстимо у другу: \[ 2(8 - 2y) - y = 1 \implies 16 - 4y - y = 1 \implies -5y = -15 \implies y = 3 \] Вратимо вредност за \(y\): \(x = 8 - 2 \cdot 3 = 2\).
Решење је уређени пар \((2, 3)\).
2. Метод супротних коефицијената
Множењем једне или обе једначине подесним бројевима направити да коефицијенти уз исту непознату буду супротни бројеви (нпр. \(3\) и \(-3\)).
Сабрати обе једначине (лева страна са левом, десна са десном), чиме се та непозната елиминише.
Решити добијену једначину са једном непознатом.
Добијену вредност заменити у било коју од полазних једначина и одредити другу непознату.
Решити систем:
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 9 \\ 2x - 2y = 1 \end{cases} \]
Коефицијенти уз \(y\) су већ супротни бројеви (\(2\) и \(-2\)). Сабирањем једначина добија се:
\[ (3x + 2x) + (2y - 2y) = 9 + 1 \implies 5x = 10 \implies x = 2 \]
Уврстимо \(x = 2\) у прву једначину:
\[ 3 \cdot 2 + 2y = 9 \implies 6 + 2y = 9 \implies 2y = 3 \implies y = \frac{3}{2} \]
Решење је уређени пар \(\left(2, \frac{3}{2}\right)\).
Многи текстуални задаци из математике, физике, хемије, геометрије и свакодневног живота своде се на решавање система две линеарне једначине са две непознате.
Увођење непознатих: Јасно дефинисати шта представљају променљиве \(x\) и \(y\) (нпр. године, брзине, цене, дужине страница).
Састављање једначина: На основу сваког датог услова у тексту формирати по једну линеарну једначину.
Решавање система: Изабрати најпогоднији метод (замена или супротни коефицијенти) и решити систем.
Провера и одговор: Проверити да ли добијено решење задовољава полазне услове задатка и записати одговор са одговарајућим мерним јединицама.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решити систем једначина методом замене:
\[ \begin{cases} x = y - 1 \\ 5x + 3y = 75 \end{cases} \]
Уврстимо израз \(x = y - 1\) у другу једначину:
\[ 5(y - 1) + 3y = 75 \]
\[ 5y - 5 + 3y = 75 \]
\[ 8y - 5 = 75 \]
\[ 8y = 80 \implies y = 10 \]
Сада израчунамо вредност \(x\):
\[ x = 10 - 1 = 9 \]
Одговор: Решење система је уређени пар \((9, 10)\), тј. \(x = 9, y = 10\).
Задатак 2 (средњи): Збир два броја је \(10\), а трећина првог броја је за \(2\) већа од другог броја. Одредити те бројеве и њихов производ.
Означимо први број са \(x\), а други број са \(y\). На основу услова задатка састављамо систем:
\[ \begin{cases} x + y = 10 \\ \frac{1}{3}x = y + 2 \end{cases} \]
Множењем друге једначине са \(3\) добијамо:
\[ x = 3y + 6 \]
Уврстимо \(x = 3y + 6\) у прву једначину:
\[ (3y + 6) + y = 10 \]
\[ 4y + 6 = 10 \implies 4y = 4 \implies y = 1 \]
Вредност броја \(x\) је:
\[ x = 3 \cdot 1 + 6 = 9 \]
Тражени бројеви су \(9\) и \(1\), а њихов производ је:
\[ x \cdot y = 9 \cdot 1 = 9 \]
Одговор: Производ тих бројева је \(9\).
Задатак 3 (средњи): За коју вредност параметра \(a\) систем једначина
\[ \begin{cases} 3x + 10y = 14 \\ 15x + 2ay = 70 \end{cases} \]
има бесконачно много решења?
Да би систем имао бесконачно много решења, једначине морају бити еквивалентне (одговарају истој правој).
Ако прву једначину помножимо са \(5\), добијамо:
\[ 5 \cdot (3x + 10y) = 5 \cdot 14 \implies 15x + 50y = 70 \]
Поређењем са другом једначином \(15x + 2ay = 70\), коефицијенти уз \(y\) морају бити једнаки:
\[ 2a = 50 \implies a = 25 \]
Одговор: За \(a = 25\) систем има бесконачно много решења.
Задатак 4 (тежак): Ако дужину правоугаоника повећамо за \(3\text{ cm}\), а ширину за \(2\text{ cm}\), површина се повећа за \(25\text{ cm}^2\). Ако дужину повећамо за \(2\text{ cm}\), а ширину за \(3\text{ cm}\), површина се повећа за \(27\text{ cm}^2\). Одреди првобитне димензије тог правоугаоника.
Нека је \(a\) дужина, а \(b\) ширина правоугаоника. Првобитна површина је \(P = ab\).
Из услова задатка постављамо систем: \[ \begin{cases} (a + 3)(b + 2) = ab + 25 \\ (a + 2)(b + 3) = ab + 27 \end{cases} \] Размножавањем заграда добијамо: \[ \begin{cases} ab + 2a + 3b + 6 = ab + 25 \\ ab + 3a + 2b + 6 = ab + 27 \end{cases} \] Одузимањем \(ab\) и пребацивањем слободних чланова: \[ \begin{cases} 2a + 3b = 19 \\ 3a + 2b = 21 \end{cases} \] Применимо метод супротних коефицијената: помножимо прву једначину са \(2\), а другу са \(-3\): \[ \begin{cases} 4a + 6b = 38 \\ -9a - 6b = -63 \end{cases} \] Сабирањем једначина елиминишемо \(b\): \[ -5a = -25 \implies a = 5\text{ cm} \] Уврстимо \(a = 5\) у једначину \(2a + 3b = 19\): \[ 2 \cdot 5 + 3b = 19 \implies 10 + 3b = 19 \implies 3b = 9 \implies b = 3\text{ cm} \] Одговор: Дужина правоугаоника је \(5\text{ cm}\), а ширина је \(3\text{ cm}\).
Из услова задатка постављамо систем: \[ \begin{cases} (a + 3)(b + 2) = ab + 25 \\ (a + 2)(b + 3) = ab + 27 \end{cases} \] Размножавањем заграда добијамо: \[ \begin{cases} ab + 2a + 3b + 6 = ab + 25 \\ ab + 3a + 2b + 6 = ab + 27 \end{cases} \] Одузимањем \(ab\) и пребацивањем слободних чланова: \[ \begin{cases} 2a + 3b = 19 \\ 3a + 2b = 21 \end{cases} \] Применимо метод супротних коефицијената: помножимо прву једначину са \(2\), а другу са \(-3\): \[ \begin{cases} 4a + 6b = 38 \\ -9a - 6b = -63 \end{cases} \] Сабирањем једначина елиминишемо \(b\): \[ -5a = -25 \implies a = 5\text{ cm} \] Уврстимо \(a = 5\) у једначину \(2a + 3b = 19\): \[ 2 \cdot 5 + 3b = 19 \implies 10 + 3b = 19 \implies 3b = 9 \implies b = 3\text{ cm} \] Одговор: Дужина правоугаоника је \(5\text{ cm}\), а ширина је \(3\text{ cm}\).
